《篮球最佳出场阵容的选拔》

篮球最佳出场阵容的选拔

选题：A题 最佳出场阵容问题 在高校篮球联赛中，某高校男子篮球队要从8名队员中选择平均身高最高的出场阵容，队员的号码、身高及擅长的位置如下表所示：

队员号码 身高（米） 位置 队员号码 身高（米） 位置 1 1．92 中锋 5 1．85 前锋 2 1．90 中锋 6 1．83 后卫 3 1．88 前锋 7 1．80 后卫 4 1．86 前锋 8 1．78 后卫

同时，要求出场阵容必须满足以下条件：（1）中锋只能有一个上场；（2）至少有一名后卫；（3）如果1号队员和4号队员都上场，则6号队员不能上场；（4）2号队员和6号队员必须至少保留一个不出场。 如何确定符合要求的出场阵容？

摘要：篮球是世界上公认的三大球类运动之一，在世界各地都有着广泛而深远的影响。在我国篮球同样也是一项十分普及的运动 深受广大人民群众尤其是青少年的喜爱。我们知道运动员比赛过程中的技术表现是决定竞赛成绩的主要因素之一，而作为篮球比赛，不仅每个选手的技术能力要过硬，同时整个团队的技术也要过硬。这就要求，一个团队的各个队员之间，配合要默契，技术水平要相当，同时团队整体综合能力要数一数二。在篮球比赛中，因为得分的需要，教练通常都会选择身高相对比较高的选手，以便利用身高的优势进行强球，防守，灌篮等技术动作。而如何选择球员才能使他们的平均身高最高，团结力最强，技术最佳呢？本文中，针对篮球队员身高的选择我们进行数学建模，建立0-1规划模型。

在0-1规划模型中，通过定义变量来确定某位置的队员是否上场参赛，在出场阵容约束的相关条件下，列出约束条件表达式，通过Lindo进行求解，以得到最优的出场阵容的选择。同时，根据题中约束条件，我们通过穷举法得知，满足条件的出场阵容组合共有14中方案可供选择。

关键词：篮球，出场阵容，0-1规划模型

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一、问题重述

1.1问题重述

在高校篮球联赛中，某高校男子篮球队要从8名队员中选择平均身高最高的出场阵容，队员的号码、身高及擅长的位置如下表所示：

队员号码 身高（米） 位置 队员号码 身高（米） 位置 1 1．92 中锋 5 1．85 前锋 2 1．90 中锋 6 1．83 后卫 3 1．88 前锋 7 1．80 后卫 4 1．86 前锋 8 1．78 后卫

同时，要求出场阵容必须满足以下条件：（1）中锋只能有一个上场；（2）至少有一名后卫；（3）如果1号队员和4号队员都上场，则6号队员不能上场；（4）2号队员和6号队员必须至少保留一个不出场。 如何确定符合要求的出场阵容？ 1.2问题分析

在篮球比赛中球员的身高占有很重要的比例，球员可以在比赛过程中利用自身身高的优势进行抢篮板，防守，盖帽等多种操作。在本题中，因为有球员的身高，擅长位置及球员间商场阵容的限制，我们要通过进行数学建模来确定最佳的出场阵容。

二、问题假设

1.题中所给的8名球员身高均为真实准确的个人身高。 2.题中所列各球员的位置均为8名球员最擅长的位置。

三、符号说明

用0-1变量表示球员不上场和上场，X(i)表示第i个球员的上场与否，X(i)=0，表示第i个球员不上场，X(i)=1表示第i个球员上场，i=1，2，3，4，5，6，7，8;h(i)表示第i个球员的身高高度，单位为米。

四、建模过程

4.1模型的建立过程

根据问题分析和0-1模型相关理论，我们通过设置变量X(i)表示球员的上场与否，将题中约束条件用变量表示为： (1)中锋只能有一个上场：X(1)+ X(2)=1； (2)至少有一名后卫：X(5) +X(6)+ X(7)>=1；

(3)如果1号队员和4号队员都上场，则6号队员不能上场： 如果X(1) +X(4)=2，则 X(6)=0；

(4)2号队员和6号队员必须至少保留一个不出场：X(2) +X(6)<=1 所以在一个篮球队中，要想从八名选手中选出五名平均身高最高的出场阵容，就有目标函数为：

Max=[ X(1)* h(1)+X(2)* h(2)+X(3)* h(3) +X(4)* h(4)+ X(5) * h(5)+X(6)* h(6)+X(7) * h(7)+X(8)* h(8)]/8

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4.2模型的求解过程

通过变量X(i)的设置以及目标函数的设定，我们选择用Lingo进行求解，Lingo代码如下：

model: sets:

r/1..8/:X,h; endsets data:

h=1.92,1.90,1.88,1.86,1.85,1.83,1.80,1.78; enddata

@for(r:@bin(X)); @sum(r:X)=5; X(1)+X(2)=1;

X(6)+X(7)+X(8)>=1;

X(6)=@if(X(1)+X(4)#eq#2,0,1); X(2)+X(6)<=1;

max=@sum(r:X*h)/5; end

所以通过求解，我们得出最优解为：X(1)= X(3)=X(4)= X(5) =X(7)=1，其他变量为0，所以最佳出场阵容球员编号为：1，3，4，5，7，他们的平均身高为1.862（米），通过表格表示为： 队员号码 身高（米） 位置 1 1.92 中锋 3 1.88 前锋 4 1.86 前锋 5 1.85 前锋 7 1.80 后卫 4.3模型的验证

我们假设随机从八名球员中选取在满足约束条件下的五名球员号为：2，3，4，5，8，他们的身高分别为：1.90，1.88，1.86，1.85，1.78，则他们的平均身高为（1.90+1.88+1.86+1.85+1.78）/5=1.845；再假设1，3，5，6，7，他们的身高分别为：1.92，1.88，1.85，1.83，1.80，则他们的平均身高为：(1.92+1.88+1.85+1.83+1.80)/5=1.856 ,随机选择虽然不具有代表性，且不具有普遍性，不能涵盖所有可能性，但通过随机选取也没有找到比最优解更为最佳的选择。

五、模型的优缺点

模型最大的优点就是求解简单，没有涉及很多繁琐的计算方法，求解原理也简单易懂，为模型的构建过程省去了很多设想。但是，但一个球队可选择的球员数目很大时，就会使得计算复杂，而且要在计算机中开辟很多内存存储各个球员的身高，因此，该模型只适用于数据相对较少的实际问题应用。

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六、参考文献

c语言大学实用教程 苏小红 电子工业出版社 2007.4

数学建模竞赛赛题简析与论文点评 赫孝良等 西安交通大学出版社 2002 数学建模导论 陈理荣 海洋出版社 2000 数学模型讲义 雷功炎 北京大学出版社1999 数学建模方法 杨学桢 河北大学出版社2000

大学生数学建模竞赛辅导教材（四） 叶其孝等 湖南教育出版社 2001

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8qor.html