C题数学建模模拟高校后勤集团评估问题

高校后勤集团评估问题

摘要

高校后勤保障与管理工作是学校常规管理工作的重要环节，关系到社会、学校和师生的稳定，保障着广大师生生活、工作等各方面的顺利进行，是各高校重要的组成部分，随着教育改革的不断深入和学校布局调整，高校后勤工作的任务越来越重，责任越来越大。本文研究了该后勤集团的多项指标，了解其运营情况，我们从不同角度分析处理数据，提出既令顾客满意，又可以追求经济效益的建议，对更好的实现高校后勤集团社会化改革具有重大的指导意义。

针对问题一：我们采用主成分分析法分析该后勤集团的经济效益、发展潜力以及内部运营情况，首先运用MATLAB求出标准化矩阵，相关系数矩阵，特征值与特征向量，主成分贡献率与累计贡献率，其次根据累计贡献率的大小确定各指标中的主成分，建立主成分与特征向量之间的关系，用构成的综合评价函数F进行评价。并且用excel表格进行作图，观察它们的变化趋势。最后运用多项式拟合的方法进行预测，运用回归模型的线性关系进行检验。

针对问题二：运用两种方法进行综合分析，（1）主成分分析法：运用MATLAB求出标准化矩阵，主成分矩阵，特征值与特征向量，主成分贡献率与累计贡献率，其次根据累计贡献率的大小确定各指标中的主成分，建立主成分与特征向量之间的关系，用构成的综合评价函数F进行评价。并且用excel表格进行作图，观察它们的变化趋势。（2）模糊评价法：采取百分制将满意程度划分为五个等级，很不满意在0—40分之间；不满意在40—60分之间；基本满意在60—70分之间；满意在70—90分之间；非常满意在90—100分之间。最后计算每年总的平均分，并对平均分进行排序，观察客户满意指标的走势。

针对问题三：先将客户满意度指标分别与经济效益指标，发展能力指标，内部运营指标进行拟合，从而得到满意度指标与内部运营指标之间的线性关系，最后根据客户满意指标与愿意到后勤消费的比例之间的关系，得到客户满意度与经济效益呈正比关系，最后先分析相应的原因，再提出对应的建议。

关键词：主成分分析法 模糊评价法 多项式拟合 MATLAB Excel

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1．问题的重述

某高校后勤集团为了研究公司运营绩效走势，详细调查了公司2000年至2009年的运营指标，包括经济效益指标、发展能力指标、内部运营指标以及客户满意度指标，详细数据见附录（表一至表四），从不同角度分析数据，运用数学建模知识回答下述问题。 第一，分别对该后勤集团的经济效益、发展潜力以及内部运营情况作综合分析。找出这些指标表现优劣的年份以及未来三年走势。

第二，综合分析客户满意指标，阐述客户满意指标的走势。

第三，分析客户满意指标与经济效益指标、发展潜力指标以及内部运营指标之间的动态关系。研究既要顾客满意，又要追求经济效益的政策措施，最后提供1000字左右的政策与建议。

2．问题的分析

某高校为了研究公司运营绩走势，分别对经济效益指标，发展能力指标，内部运营指标以及客户满意度指标进行了详细的调查。分别对该后勤集团的经济效益、发展潜力以及内部运营情况作综合分析。

对于问题一: 对该后勤集团的经济效益、发展潜力以及内部运营情况作综合分析。由于各指标需要考虑的因素较多，因此可以运用主成分分析法，主成分分析法可以将各指标进行合理的简化，选出主成分，建立主成分与特征向量之间的关系，用构成的综合评价函数F进行评价。运用excel进行作图，观察其优劣年份，最后对未来三年进行预测。

对于问题二：综合分析客户满意指标，阐述客户满意指标的走势。不妨假设5个满意指标都需要考虑，即5个主成分xi (i=1,2,3,4,5),以每个主成分的方差贡献率hi作为权重系数，第i个主成分的得分Fi（i=1,2,3,4,5）。根据主成分分析法构造综合评估函数：F= h1F1+h2F2+?+h5F5，运用主成分分析法分析每年的满意指标并观察其未来的走势，同时运用模糊评价法分析每年的满意指标再预测。最后两种方法进行对比。 对于问题三：在前两题中我们得到了客户满意度指标、经济效益指标、发展能力指标和内部运营指标的综合得分，本题需研究既要顾客满意，又要追求经济效益的政策措施,可运用回归分析方法对客户满意指标分别与经济效益指标、发展潜力指标和内部运营指标之间的综合得分进行三次和五次多项式拟合，分别得到相应的拟合图，观察客户满意度与哪个指标呈现线性关系，根据分析提出相应的建议。

3．模型的假设与符号说明

3．1 模型的假设

（1）假设所提供的高校后勤集团数据真实可靠； （2）假设未来三年企业不受外界经济环境影响；

（3）假设后勤集团在短时间内不会出现大的变故，基本运行正常。 3．2 符号的说明

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xi (i=1,2,3,4,5):标准化后的矩阵 Fi：系数得分 Ci：特征向量

?i：特征值

hi：方差贡献率

Hi：累计贡献率 p3：主成分分析矩阵 F:综合得分 s:标准化矩阵 p：相关系数矩阵 sc：主成分得分矩阵

4．模型的建立与求解

4.1问题1的模型建立与求解

4.1.1首先对经济效益指标进行分析：（1）先用MATLAB对数据进行标准化，得到标准化矩阵（具体程序见附录一）

??1.09142??1.07917???1.04854???0.67278??0.4581s=??0.18389?0.50962??0.95965?1.22335???1.47351?1.34214??1.45447?1.34197?1.2829?1.23282???0.94104?0.93643?1.11929?1.02258???0.28939?0.29388?0.27236?0.54325??0.014720.14852?0.11838?0.12278??

0.38740.227520.064480.38179?0.68541?0.014750.641930.54997??0.938530.901670.834420.80226?1.031881.19661.123141.13863??1.110871.454671.411871.39091???1.45447?1.34197?1.2829（2）用MATLAB计算各指标的相关系数，从而得到相关系数矩阵p（具体程序见附录二）

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10.9517377390.9479302660.9766544760.98356???0.951737739?10.9603068660.9823547560.984929??10.9676845660.971381? p=?0.9479302660.960306866??0.9766544760.9823547560.96768456610.98891????1?0.9835597160.984928710.9713812840.988910072?(3)再用MATLAB求出m个非负特征值和特征向量,并求出各主成分的方差贡献率和累计

贡献率,即hi=?i/??k，Hi=

k?1m??/??kk?1k?1imk（i=1,2, ?m），得到的结果如下表排列整理得

到下表（具体程序见附录三）：

表1：经济效益指标特征值、方差贡献率、累计贡献率 特征值 4.8864 0.0555 0.0416 0.0126 0.0040 特征向量 C1 0.4448 0.4466 0.4436 0.4499 0.4511 方差贡献率 0.9773 0.0111 0.00831 0.002512 0.000806 累计方差贡献率 0.9773 0.9884 0.9967 0.9992 1 C5 -0.4139 -0.428 -0.1099 0.1611 0.7794 表2：经济效益指标特征向量 C2 C3 C4 0.7118 -0.2826 -0.6273 0.0764 0.1186 0.3163 -0.683 0.6299 -0.173 -0.0826 0.1552 0.2664 0.0291 -0.8578 0.4101 x1 x2 x3 x4 x5 （4）根据方差贡献率的大小，我们选取前三个主成分进行分析： F1=0.4448* x1+0.4466* x2+0.4436* x3+0.4499* x4+0.4511* x5 综上分析得到的经济效益指标函数为： F=4.8864 F1

代入数据的得到的综合得分如下表：

表3：经济效益指标综合得分 年份 2000 2001 2002 2003 2004 综合得分（F） -14.2338 -13.9662 -11.0770 -4.5270 -1.2367 4

2005 2006 2007 2008 2009 2.7216 5.1949 9.6911 12.4835 14.9498 将上面数据用excel绘制成如下图像：

图1：经济效益随年度变化趋势

由上面图像可以看出，2003年和2007年表现的最好，2000年和2001年表现最差。 （5）利用多项式拟合（程序见附录四）进行预测，输入x, y为要拟合的数据，参数a为需要拟合的次数，y=amxm+?a1x+a0为拟合多项式，将数据代入得到的多项式得到下表：

表4：预测未来三年经济效益指标走势 -15.9589 2001 -13.9662 -12.4124 2002 -11.0770 -8.866 2003 -4.5270 -5.3196 2004 -1.2367 -1.7732 2005 2.72126 1.7732 2006 5.1949 5.3196 2007 9.6911 8.866 2008 12.4835 12.4124 2009 14.9498 15.9589 2010 19.5053 2011 23.0517 2012 26.5981 4.1.2（1）为了避免不必要的误差，我们对原始的数据进行标准差法做标准化处理，即将原始数据除以各列的标准差，得到的标准化矩阵如下：

年份 2000 指标 -14.2338 预测 5

??1.5888??1.69731???0.86028??0.11625?0.37976s=??0.67427?0.62777??0.86028?0.72077???0.76728?0.9928?1.67968?0.97159?1.67968?0.71702?0.119611.927610.251741.48213?0.038180.11738?0.48367?0.5756?0.11961?0.119610.244410.452421.076450.972440.97244?1.57883??1.22???0.86118???0.32294??0.14353??

0.21529?0.57412??0.93294?1.11236??1.29177??（2）运用MATLAB求出相关系数矩阵，并求出特征值?i和特征向量，其结果如下表： 特征值：?1=3.0287 ?2=0.8929 ?3=0.054 ?4=0.0244

表5：特征根向量 特征根向量 X1 X2 X3 X4 C1 0.5687 0.2712 0.5534 0.5448 C2 -0.0386 -0.9332 0.2054 0.2957 C3 -0.2924 0.0236 0.8017 -0.5207 mC4 0.7678 -0.2387 -0.0942 -0.587 (3)求出个主成分的方差贡献率hi和累计贡献率Hi,即hi=?i/??k，Hi=

k?1??/??kk?1k?1imk（i=1,2, ?m），得到的结果如下表： 方差贡献率 0.7571 0.2322 0.0135 0.0061 累计贡献率 0.7572 0.980 0.994 1 （4）由上表可知，前两个主成分的累计贡献率为98%，已大于90%，因此取前两个进行分析，并且有：

F1 =0.5687*x1+0.2712*x2+0.5534*x3+0.5448*x4; F2=-0.0386*x1-0.9332*x2+0.2054*x3+0.2957*x4; 综合函数为：F=3.0287*F1+0.8929*F2 代入数据得到：

表6：综合函数 年份 2000 2001 2002 2003 2004 F -8.8162 -8.3128 -3.315 -0.6655 0.14112 6

2005 2006 2007 2008 2009 1.98842 3.00024 5.23818 5.15931 5.58222 由上表可知，F值越大，则说明发展潜力指标越好，由于负值没意义，不用考虑，所以2004年的发展潜力最差，2009年的发展潜力最好。 （5）利用多项式拟合对其未来三年进行预测：

表7：预测数值 年份 指标 预测 2000 -8.81625 -9.0466 2001 -8.31282 -6.2871 2002 -3.31501 -5.1474 2003 -0.66548 -2.1671 2004 0.141116 1.0477 2005 1.988423 2.9565 2006 3.000239 4.3895 2007 5.238177 5.11 2008 5.159305 6.3305 2009 5.582224 6.639 2010 6.5964 2011 6.904 2012 7.1927 4.1.3内部运营： （1）为了避免不必要的误差，我们对原始的数据进行标准差法做标准化处理，即将原始数据除以各列的标准差，得到的标准化矩阵如下：

??0.8900??0.7747???0.8280???1.0053??1.0283S???0.6548?0.3781??1.5540?1.0468???0.8854?1.1213?1.1159?1.2579?0.5970?0.29120.32470.69100.87681.14491.34601.62651.41300.51320.40640.1777?0.3942?0.5315?0.9661?1.0653?1.1797?1.5339??1.1943???1.3670???0.0029?0.9180??

0.4461?1.0965??0.1698?0.6993??0.7684??（2）运用MATLAB求出相关系数矩阵，并求出特征值?i和特征向量，其结果如下表： 特征值：?1=3.4421 ?2= 0.4637 ?3=0.0687 ?4=0.0256

表8：内部运营特征向量 特征向量 C1 C2 C3 C4 7

x1 x2 x3 x4 0.4792 0.5323 -0.5254 -0.6158 -0.0538 0.0122 -0.2975 -0.3415 -0.8507 -0.5070 0.7727 -0.0131 0.4593 0.7563 -0.2670 m-0.3817 im(3) 求出个主成分的方差贡献率hi和累计贡献率Hi,即hi=?i/??k，Hi=

k?1??/??kk?1k?1k（i=1,2, ?m）,得到的结果如下表： 0.860503 0.115922 0.017175 0.0064 方差贡献率 0.860503 0.976426 0.9936 1 累计贡献率 由上表可知，前两个主成分的累计贡献率为95.65%，已大于90%，因此去前两个主成分进行分析，并且有：

F1=0.4792*x1+0.5323*x2-0.5254*x3+0.4593*x4; F2=-0.6158*x1-0.0538*x2+0.0122*x3+0.7563*x4; 综合函数为：F=3.4421*F1+0.4637*F2 代入数据得到：

表9：内部运营综合分析 年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 将上表数据用excel绘制出如下图像：

F -9.120647 -7.914727 -6.944949 -3.171465 -0.4587 3.041283 4.8343 5.7479 6.7506 7.2364 8

图2：内部运营随年度变化趋势

从上面图像我们可以看出内部运营随年度呈上升趋势，我们可以根据斜率来看优劣年度，其中2005表现最优，2009年表现最差。 （5）利用多项式拟合进行预测得到下表：

表10：内部运营状况预测 年份 指标 预测 2000 -9.12065 -9.2483 2001 -7.91473 -8.3443 2002 -6.94495 -6.9258 2003 -3.17147 -6.0321 2004 -0.4587 -0.466 2005 3.041286 2.2576 2006 4.834312 5.9778 2007 5.747883 6.7725 2008 6.750599 6.6714 2009 7.236387 7.5155 2010 7.7404 2011 8.159 2012 8.5314 4.2问题2的模型建立与求解

要研究解决这类实际问题,我们采用主成分分析法并按照下面的步骤进行建模分析：

（1）根据2000~2009年对消费者（学生、教工）满意度调查（对后勤服务满意程度评价），我们获取评估的样本数据（见附录）；

（2）一般来说不同的客户都有自己的主观倾向性，所以给出的满意指标会有一定的差异。为此我们需要对原始的数据用标准差法做标准化处理，即将原数据除以各列的标准差；

（3）计算各指标的相关系数xi (i=1,2,3,4,5)，从而得到相关系数矩阵或称协方差矩

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阵，并求出5个非负特征值，求出各成分的方差贡献率hi和累计贡献率Hi,即

hi=?i/??k，Hi=

k?1m??/??kk?1k?1imk（i=1,2, ?m）

（4）根据各满意指标的方差贡献率的大小，选取前s个作为主元素F1,F2?, F,使得累计贡献率Hs>=90%，于是取s个满意指标的线性组合：用F1,F2 ,?, F和h1,h2?,

hi构造满意指标综合评估函数：利用综合评估函数F可计算出客户的满意度，F越大，说明客户的满意度越大。对客户满意指标综合分析问题，我们根据表 （见附录）做出如下求解过程： 4.2.1主成分分析法

(1）我们应用MATLAB软件，通过运行主成分分析程序（见附录），将满意指标图表中的数据进行处理，分别求出各个变量的标准差，将原始数据采集标准化，进而输出标准化数据，得到问题的主成分系数矩阵为：

0.1166?0.67680.4373?0.3615???0.4543??0.4548?0.2053?0.5685?0.0751?0.6498??p3??0.4305?0.7254?0.3506?0.1965?0.3562?

??0.43790.6461?0.0799?0.2927?0.5466???0.8239?0.1465??0.4580?0.0240?0.2991? 即协方差矩阵的特征值为：

?1=4.7130 ?2= 0.2281 ?3=0.0484 ?4=0.0104 ?5=0.0000

协方差矩阵的特征值对应的特征向量在主成分中的得分所构成的矩阵（即主成分的得分矩阵，称为载荷矩阵）为

??2.6591??2.6172???2.4781???1.4417?0.0540sc???0.7587?0.8993??2.1604?2.5006???2.8231?0.7815?0.36300.62600.62030.4129?0.39730.1232?0.3184?0.16880.24650.1881?0.0380?0.0000??0.04090.0340?0.0000???0.0039?0.0279?0.0000???0.01330.0470?0.0000??0.1783?0.0828?0.0000??

?0.29410.1917?0.0000?0.1866?0.0458?0.0000??0.1811?0.1009?0.0000??0.3385?0.1061?0.0000??0.31320.3180?0.0000?? (2）运用MATLAB编程（程序在附录中）得到上述相关矩阵的特征值?i及特征向量Ci（i=1,2,3,4,5）后，求出其对应的贡献率hi=?i/??k和累计贡献率，如下表：

k?1m 10

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