2014-2015《三维设计》高三数学湘教版（文）一轮复习选修4-4 坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程

第一节坐标系

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

?x，?λ＞0?，?x′＝λ·φ：?的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直?y′＝μ·y，?μ＞0??

角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：

如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标：

设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．

一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化

设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

点M 互化公式 直角坐标(x，y) ??x＝ρcos θ? ρsin θ??y＝极坐标(ρ，θ) ρ＝x＋y??? y??tan θ＝x?x≠0?222 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π) ρ＝2rcos_θ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ?－π≤θ≤π? 2??2ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π) πr，?，半径为r的圆 圆心为??2? (1)θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0) 过极点，倾斜角为α的直线 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 πa，?，与极轴平行的直线 过点??2? ππ－＜θ＜? ρcos_θ＝a?2??2ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)

1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．

2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．

注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标． [试一试]

1．点P的直角坐标为(1，－3)，求点P的极坐标．

π

解：因为点P(1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，

3π2，－?. 所以点P的极坐标为?3??

2．求极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程． 解：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ，

∴x2＋y2－2x－y＝0.故故极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ表示的曲线直角坐标方程为x2＋y2－2x－y＝0.

1．确定极坐标方程的四要素

极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤

y

(1)运用ρ＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)

x

y

(2)在[0,2π)内由tan θ＝(x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．

x[练一练]

1．在极坐标系中，求圆心在(2，π)且过极点的圆的方程． 解：如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－90°，OBρ＝22＝，化简得ρ＝－22cos θ.

sin?θ－90°?

π2

2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋)＝，求极点到该直线的距离．

42

?2?2π2

sin?＋cos?解：极点的直角坐标为O(0,0)，ρsin(θ＋)＝ρ?＝，∴ρsin θ＋?42?2?2??ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x＋y－1＝0.∴点O(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝

π222θ＋?＝的距离为. ，即极点到直线ρsin??4?222

1

2

考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 1??x′＝2x，

1.(2014·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为?求在这一坐标变

??y′＝3y，换下正弦曲线y＝sin x的方程．

1x＝2x′，???x′＝2x，?

解：∵?∴?1

y＝y′.???y′＝3y，?3代入y＝sin x得y′＝3sin 2x′.

x′＝2x，??π

2．求函数y＝sin(2x＋)经伸缩变换?14y′＝y?2?1x′＝2x，????x＝2x′，解：由?得?① 1

y′＝y，??2??y＝2y′.

π1π

将①代入y＝sin(2x＋)，得2y′＝sin(2·x′＋)，

4241π

即y′＝sin(x′＋)．

24

后的解析式．

??x′＝3x，y2

3．求双曲线C：x－＝1经过φ：?变换后所得曲线C′的焦点坐标．

64?2y′＝y?

2

1??x＝3x′，y22

解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将?代入x－＝64

??y＝2y′，x′24y′2x′2y′2

1得－＝1，化简得－＝1，

964916

x2y2

即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求． 916 [类题通法]

?x，?λ>0??x′＝λ·

平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换?下，直

?y′＝μ·y，?μ>0??

线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．

考点二 极坐标与直角坐标的互化 [典例] (2013·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．

(1)求曲线C1的直角坐标方程；

x2y2

(2)曲线C2的方程为＋＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|

164的最小值．

[解] (1)曲线C1的方程可化为3(x2＋y2)＝12x－10， 2

即(x－2)2＋y2＝.

3

(2)依题意可设Q(4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆C1的圆心坐标为C1(2,0)． 故|QC1|＝?4cos θ－2?2＋4sin2θ ＝12cos2θ－16cos θ＋8 ＝2

22

cos θ－?2＋， 3?3?3?26

， 3

6. 3

|QC1|min＝

所以|PQ|min＝[类题通法]

直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性

质，可转化直角坐标系的情境进行．

[针对训练]

(2013·安徽模拟)在极坐标系中，判断直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系．

解：直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x－y＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.圆心(0,1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝

考点三 |0－1＋1|

＝0<1.故直线与圆相交． 2 极坐标方程及应用[典例] (2013·郑州模拟)已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

??x＝2＋2cos θ，?(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以?y＝2sin θ?

π

原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin(θ＋)＝22.

4

(1)求曲线C在极坐标系中的方程； (2)求直线l被曲线C截得的弦长．

[解] (1)由已知得，曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4， 即x2＋y2－4x＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ. (2)由题意知，直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0，

22??x＋y－4x＝0，由?得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为22. ?x＋y＝4，?

π在本例(1)的条件下，求曲线C与曲线C1：ρcos θ＝3(ρ≥0,0≤θ<)交点的极坐标. 2??ρcos θ＝3，

解：由曲线C，C1极坐标方程联立?

?ρ＝4cos θ，?

33π

∴cos2θ＝，cos θ＝±，又ρ≥0，θ∈[0，)．

422∴cos θ＝

π3π

23，?. ，θ＝，ρ＝23，故交点极坐标为?6??26

[类题通法]

求曲线的极坐标方程的步骤

(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；

(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． [针对训练]

(2013·荆州模拟)在极坐标系中，求过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐

标方程．

解：ρ＝6cos θ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于x轴的直线方程为x＝3，其在极坐标系下的方程为ρcos θ＝3.

[课堂练通考点]

π

1．(2014·南昌调研)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝(ρ>0)所表示的图形的交

4点的极坐标．

π

解：圆ρ＝2cos θ可转化为x2－2x＋y2＝0，直线θ＝可转化为y＝x(x>0)，两个方程联

4π

立得交点坐标是(1,1)，可得其极坐标是(2，)．

4

ππ

2．(2013·惠州模拟)在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为(3，)、(4，)，求

36△AOB(其中O为极点)的面积．

ππ1

解：由题意知A，B的极坐标分别为(3，)、(4，)，则△AOB的面积S△AOB＝OA·OB·sin

3621π

∠AOB＝×3×4×sin ＝3.

26

3．(2013·天津高考改编)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P的极坐标为

?4，π?，求|CP|的值．

?3?解：由ρ＝4cos θ可得圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，圆心C(2,0)．点P的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝23.

4．在极坐标系中，求圆：ρ＝2上的点到直线：ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离的最小值． 解：由题意可得，圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4，圆的半径为r＝2，直线的直角坐标|0＋3×0－6|方程为x＋3y－6＝0，圆心到直线的距离d＝＝3，所以圆上的点到直线的距

2离的最小值为d－r＝3－2＝1.

??x＝－t，π

5．(2013·银川调研)已知直线l：?(t为参数)与圆C：ρ＝42cos(θ－)．

4?y＝1＋t?

(1)试判断直线l和圆C的位置关系； (2)求圆上的点到直线l的距离的最大值．

解：(1)直线l的参数方程消去参数t，得x＋y－1＝0.

π

由圆C的极坐标方程，得ρ2＝42ρcos(θ－)，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，所以圆C

4的直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，即(x－2)2＋(y－2)2＝8，故该圆的圆心为C(2,2)，半径r

＝22. |2＋2－1|32

从而圆心C到直线l的距离为d＝22＝2， 1＋132显然<22，所以直线l和圆C相交．

2

32

(2)由(1)知圆心C到直线l的距离为d＝，所以圆上的点到直线l的距离的最大值为

23272＋22＝. 22

[课下提升考能]

1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的π

θ－?＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点． 极坐标方程为ρcos??3?

(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程． π13

θ－?＝1得ρ?cos θ＋sin θ?＝1， 解：(1)由ρcos??3?2?2?13

从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋3y＝2.

22θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)． π2323π?

θ＝时，ρ＝，所以N?. 23?3，2?

23?(2)由(1)得点M的直角坐标为(2,0)，点N的直角坐标为?0，.

3??所以点P的直角坐标为?1，

?

3?23π?，则点P的极坐标为?， 3??3，6?π

所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．

6

π

1，?，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上运动，当2．在极坐标系中定点A??2?线段AB最短时，求点B的极坐标．

解：∵ρcos θ＋ρsin θ＝0， ∴cos θ＝－sin θ，tan θ＝－1.

3π

∴直线的极坐标方程化为θ＝(直线如图)．

4

过A作直线垂直于l，垂足为B，此时AB最短． 易得|OB|＝22

. ∴B点的极坐标为?

23π?2，4?

?

.

3．(2014·扬州模拟)已知圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcos??θ－π

4??＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程；

(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值． 解：(1)原方程变形为： ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0. x2＋y2－4x－4y＋6＝0.

(2)圆的参数方程为??x＝2＋2cos α，

?y＝2＋2sin α

(α为参数)，

所以x＋y＝4＋2sin??α＋π4??

. 那么x＋y的最大值为6，最小值为2.

4．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：???x′＝3x，

??

2y′＝y.

(1)求点A?1

?3，－2??经过φ变换所得的点A′的坐标； (2)点B经过φ变换得到点B′??－3，1

2??，求点B的坐标； (3)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得到的直线l′的方程．

x′＝3x，

解：(1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：???x′＝3x，

????y′＝y

得到??

?

y′＝12

y，坐标为?1

?3，－2??

， 于是x′＝3×13＝1，y′＝1

2×(－2)＝－1，

∴A′(1，－1)为所求．

(2)设B(x，y)，由伸缩变换φ：????x′＝3x，

?x＝3x′，??y′＝y

1

得到??

?y＝2y′.

由于点B′的坐标为??－3，1

2??， 于是x＝13×(－3)＝－1，y＝2×1

2

＝1，

A的

由于点∴B(－1,1)为所求．

???x＝，?x′＝3x，3(3)由伸缩变换φ：?得?

?2y′＝y，??

x′

?y＝2y′.

代入直线l：y＝6x，得到经过伸缩变换后的方程y′＝x′， 因此直线l的方程为y＝x.

5．(2014·南京模拟)在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos

?θ＋π?＝1.

?3?

(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；

(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．

解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2

3

的直角坐标方程为x－3y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d＝>1，

2所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．

??ρρ0＝2，

(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则?

??θ＝θ0，

2??ρ0＝ρ，即?① ??θ0＝θ.

因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上， π

θ0＋?＝1，② 所以ρ0cos?3??π2

θ＋?＝1， 将①代入②，得cos?ρ?3?

π13

θ＋?为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为?x－?2＋?y＋?2＝1，因即ρ＝2cos??3??2??2?13

此点P的轨迹是以?，－?为圆心，1为半径的圆．

2??2

π2

θ－?＝. 6．(2014·苏州模拟)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin??4?2(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y， 即x2＋y2－x－y＝0，

π2θ－?＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 直线l：ρsin??4?2则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.

22

???x＋y－x－y＝0，?x＝0，π

1，?. (2)由?得?故直线l与圆O公共点的一个极坐标为??2??x－y＋1＝0???y＝1，

第二节参数方程

1．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求

??x＝f?t?，

出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，?就是曲线的参数方程．

?y＝g?t??

2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 直线 普通方程 y－y0＝tan α(x－x0) 参数方程 ??x＝x0＋tcos α ???y＝y0＋tsin α (t为参数) 圆 x＋y＝r x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2222??x＝rcos θ?(θ为参数) ?y＝rsin θ??x＝acos φ??(φ为参数) ?y＝bsin φ?椭圆

?x＝x0＋tcos α，?

1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程?

??y＝y0＋tsin α.

(t为参数)

注意：t是参数，α则是直线的倾斜角．

2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． [试一试]

?

3．(2014·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为?23y＝＋?22t1x＝t，2

(t为参

数)，若以直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐π

θ－?.若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos??4?值．

解：首先消去参数t，可得直线方程为3x－y＋为?x－

2

＝0，极坐标方程化为直角坐标方程2

1－?

106?2＝.

2?4?

?

2?2?2

＋y－?2＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB|＝22??2?4．(2013·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ＝cos θ.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

?x＝2－22t，(2)若直线l的参数方程为?

2y＝?2t

点，求|AB|的值．

(t为参数)，直线l与曲线C相交于A，B两

解：(1)将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入ρ2sin2θ＝ρcos θ中，得y2＝x， ∴曲线C的直角坐标方程为：y2＝x.

?x＝2－22t，

(2)把?

2y＝?2t，

代入y2＝x整理得，

t2＋2t－4＝0，Δ>0总成立．

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， ∵t1＋t2＝－2，t1t2＝－4，

∴|AB|＝|t1－t2|＝?－2?2－4×?－4?＝32.

[课下提升考能]

??x＝t＋1，1．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?(t为参数)，曲线C的

?y＝2t?

2

??x＝2tanθ，

参数方程为?(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共

?y＝2tan θ?

点的坐标．

??x＝t＋1，

解：因为直线l的参数方程为?(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝

?y＝2t?

2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.

同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.

?y＝2?x－1?，?1

解方程组?2得公共点的坐标为(2,2)，(，－1)．

2??y＝2x，

2．(2014·长春模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴

?x＝5＋23t，

正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为?1

y＝?2t

(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

(t为参数)．

(2)设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．

解：(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x；

?x＝5＋23t，

由?1

y＝?2t

(t为参数)，得y＝

1

(x－5)，即直线l的普通方程为x－3y－5＝0. 3

|2－3×0－5|3

(2)由(1)可知C为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d＝＝，

21＋3弦长|PQ|＝2

?x＝2＋2cos φ，?

3．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是?(φ为参数)和

?y＝2sin φ???x＝cos φ，

?(φ为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． ?y＝1＋sin φ?

322－??2＝7，因此以PQ为一条边的圆C的内接矩形面积S＝2d·|PQ|＝37.

2

(1)求圆C1和C2的极坐标方程；

(2)射线OM：θ＝α与圆C1的交点为O，P，与圆C2的交点为O，Q，求|OP|·|OQ|的最大值．

解：(1)圆C1和圆C2的普通方程分别是(x－2)2＋y2＝4和x2＋(y－1)2＝1， 所以圆C1和C2的极坐标方程分别是ρ＝4cos θ和ρ＝2sin θ. (2)依题意得，点P，Q的极坐标分别为P(4cos α，α)，

Q(2sin α，α)，所以|OP|＝|4cos α|，|OQ|＝|2sin α|.从而|OP|·|OQ|＝|4sin 2α|≤4，当且仅当sin 2α＝±1时，上式取“＝”，

即|OP|·|OQ|的最大值是4.

4．(2013·福建模拟)如图，在极坐标系中，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为1. (1)求圆C的极坐标方程；

(2)若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知直线l

?x＝－1＋tcos 6，的参数方程为?π

y＝tsin ?6

OM，BM，在Rt△OBM中，

|OM|＝|OB|cos ∠BOM， 所以ρ＝2cos θ.

π

(t为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．

解：(1)如图，设M(ρ，θ)为圆C上除点O，B外的任意一点，连接

π

可以验证点O(0，)，B(2,0)也满足ρ＝2cos θ，

2故ρ＝2cos θ为所求圆的极坐标方程．

?(2)由?π

y＝tsin ?6

πx＝－1＋tcos ，

6

(t为参数)，得直线l的普通方程为y＝3

(x＋1)， 3

即直线l的普通方程为x－3y＋1＝0.

由ρ＝2cos θ，得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1. |1×1－3×0＋1|

因为圆心C到直线l的距离d＝＝1，

2所以直线l与圆C相切．

5．(2014·郑州模拟)在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(－1,0)，其倾斜角为α.以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋5＝0.

(1)若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围； (2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．

解：(1)将曲线C的极坐标方程ρ2－6ρcos θ＋5＝0化为直角坐标方程为x2＋y2－6x＋5＝0.

??x＝－1＋tcos α，直线l的参数方程为?(t为参数)．

?y＝tsin α?

?x＝－1＋tcos α，?

将?(t为参数)代入x2＋y2－6x＋5＝0整理得，t2－8tcos α＋12＝0. ??y＝tsin α

∵直线l与曲线C有公共点，∴Δ＝64cos2α－48≥0，

∴cos α≥33或cos α≤－. 22

π?5??0，?∪∵α∈[0，π)，∴α的取值范围是?，??. ?6???6? (2)曲线C的方程x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，

??x＝3＋2cos θ，

其参数方程为?(θ为参数)．

?y＝2sin θ?

∵M(x，y)为曲线C上任意一点，

π

∴x＋y＝3＋2cos θ＋2sin θ＝3＋22sin(θ＋)，

4∴x＋y的取值范围是[3－22，3＋22]．

?x＝acos φ，

6．(2014·昆明模拟)已知曲线C的参数方程是?(φ为参数，a>0)，直线l的

?y＝3sin φ

?x＝3＋t，?

参数方程是?(t为参数)，曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为

?y＝－1－t?

极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．

(1)求曲线C的普通方程； (2)若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋

2π4π111

)，C(ρ3，θ＋)在曲线C上，求的值． 2＋2＋33|OA||OB||OC|2x2

解：(1)直线l的普通方程为x＋y＝2，与x轴的交点为(2,0)．又曲线C的普通方程为2＋ay2x2y2

＝1，所以a＝2，故所求曲线C的普通方程是＋＝1. 343

2π4π

ρ2，θ＋?，C?ρ3，θ＋?在曲线C上，即点A(ρ1cos θ，ρ1sin θ)，(2)因为点A(ρ1，θ)，B?3??3??2π4π4π2π

θ＋?，ρ2sin(θ＋，Cρ3cos?θ＋?，ρ3sin?θ＋?在曲线C上． Bρ2cos?3?3?3????3

故

111111

2＋2＋2＝2＋2＋2 |OA||OB||OC|ρ1ρ2ρ3

2??4???11??2?＝?cos2?＋cos2??＋＋cos?＋????＋3 433???????22??4???2?2?sin?＋sin?＋＋sin?＋????? ?3?3??????4??8?????1＋cos2?＋1＋cos2?＋????＋cos2?1?13?3?????＋ ＋＋＝?4222???????4??8?????1－cos2?＋1－cos2?＋????－cos2?1?13?3??13137????＝4×2＋3×2＝8. ＋＋3222??????

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