2022届高考数学(文)专题复习习题：第1部分 专题三 三角函数及解

限时规范训练九 三角恒等变换与解三角形

限时45分钟，实际用时________

分值81分，实际得分________

一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)

1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12

，则sin αcos α＝( ) A ．－34 B ．－

310 C ．－43 D.43

解析：选B.解法一：由sin α＋cos αsin α－cos α＝12

，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.又sin αcos α＝

sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－310，故选B.

解法二：由题意得1＋2sin αcos α1－2sin αcos α＝14

，即 4＋8sin αcos α＝1－2sin αcos α

∴10sin αcos α＝－3

即sin αcos α＝－310

，故选B. 2．已知向量a ＝? ????sin ?

????α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ?

????α＋4π3＝( ) A ．－34 B ．－14

C.34

D.14 解析：选B.∵a ⊥b ，

∴a ·b ＝4sin ?

????α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3

＝43sin ?

????α＋π3－3＝0， ∴sin ?

????α＋π3＝14. ∴sin ? ????α＋4π3＝－sin ?

????α＋π3＝－14. 3．在△ABC 中，若3cos 2

A －

B 2＋5sin 2A ＋B 2＝4，则tan A ·tan B ＝( ) A ．4

B.14 C ．－4

D ．－14 解析：选B.由条件得3×cos A －B ＋12＋5×cos C ＋12

＝4，即3cos(A －B)＋5cos C ＝0，所以3cos(A －B)－5cos(A ＋B)＝0，所以3cos Acos B ＋3sin Asin B －5cos Acos B ＋5sin Asin B ＝0，即cos Acos B ＝4sin Asin B ，所以tan A ·tan B ＝sin Asin B cos Acos B ＝14

. 4．已知sin ? ????π6－α＝13，则cos ????

??2? ????π3＋α的值是( ) A.79

B.13 C ．－13 D ．－79

解析：选D.cos ??????2? ????π3＋α＝2cos 2? ??

??π3＋α－1 ＝2sin 2? ??

??π6－α－1＝2×19－1＝－79. 5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝

π3，b ＝2acos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34

C.36

D.38

解析：选B.由正弦定理得sin B ＝2sin Acos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin

π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝

π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bcsin A ＝12×1×1×32＝34

. 6．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且acos C ＋

32

c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( ) A.π4 B.π6 C.π3

D.π12 解析：选B.因为acos C ＋32c ＝b ，所以sin Acos C ＋32

·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ，所以

32sin C ＝cos Asin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6

，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc ，

联立????? 1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B

，得sin B ＝bsin A a ＝1×121＝12，∵b ＜c ，∴B ＜C ，则B ＝π6

，故选B. 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

7．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为334，a ＝3，B ＝π3

，则b ＝________. 解析：由题意可得S ＝12acsin B ，解得c ＝1，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2accos

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