西农概率论与数理统计习题册答案

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随机事件与概率

§1.1 随机试验 随机事件 一、选择题

1. 设B表示事件“甲种产品畅销”，C表示事件“乙种产品滞销”，则依题意得A=BC.于是对立事件 甲产品滞销或乙产品畅销 ，故选D.

2. 由A B B A B ，故选D.也可由文氏图表示得出. 二 写出下列随机试验的样本空间

1. 3,4， ，20 2 0,100 3. {(x,y,z)|x 0,y 0,z 0,x y z 1},x,y,z分别表示折后三段长度。

三、（1）任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验，易知共有6个不同的结果.设试验的样本点 i "出点i点"， i 1,2,3,4,5,6；则A 2, 4, 6 ，B 3, 6

（2） 1, 3, 5 ， 1, 2, 4, 5 ，A B 2, 3, 4, 6 ，AB 6 ，A B 1, 5

四、（1）；（2）；（3）“A、B、C不都发生”就是“A、B、C都发生”的对立

A B C；事件，所以应记为ABC；（4）（5）“A就是“A、B、CB、C、中最多有一事件发生”

中至少有二事件发生”的对立事件，所以应记为：AB AC BC.又这个事件也就是“A、B、C中至少有二事件不发生”，即为三事件的并，所以也可以记为

.

§1.2 随机事件的概率 一、填空题

1. 试验的样本空间包含样本点数为10本书的全排列10！，设A 指定的3本书放在一起 ，所以A中包含的样本点数为8! 3!，即把指定的3本书捆在一起看做整体，与其他三本书全排，然后这指定的3本书再全排。故P(A)

8! 3!1

。 10!15

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2. 样本空间样本点n 7! 5040，设事件A表示这7个字母恰好组成单词SCIENCE，则因为C及C, E及E是两两相同的，所以A包含的样本点数是A 2! 2! 4，故P(A)

2! 2!1

7!1260

二、求解下列概率

1515

C52C3C75!C3A7

1. (1) 2 0.36; (2) 0.375 66

C8C86!A84A12

2. 1 4 0.4271

12

3. 由图1.1所示，样本点为随机点M

落在半圆0 y a为正常数)内，所以样本空间测度可以用半圆的面积S表示。设事件A表示远点O与随机点M的连线OM与x轴的夹角小于

所以

，则A的测度即为阴影部分面积s， 4

a2

a s 1 1P(A) 2S2 a

2

2

a

a

§1.3概率的性质 一． 填空题 1．0.3; 2. 1 p; 3.

二． 选择题

1. C; 2. A; 3. D; 4. B; 5. B. 三． 解答题

2a

图1.1

17; 4. 612

解：因为AB A A B,所以由概率的性质可知：P(AB) P(A) P(A B).又因为P(AB) 0,所以可得 P(A B) P(A) P(B),于是我们就有

P(AB) P(A) P(A B) P(A) P(B).

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如果A B,则AB A, P(AB) P(A)； 如果B A,则A B A,这时有P(A) P(A B).

0,这时有P(A B) P(A) P(B). 如果AB ,则P(AB）

§1.4 条件概率与事件的独立性 一． 填空题 1.

221

；2. 0.3、0.5；3. ；4. ； 5. 2； 334

，则有AAB B,(A)B( A)B ABAB

5. 因为AB B，所以(AB)(AB )

A B ,,所以A与B是对立事件，即A B ， 因为AB 且A B

A B。所以，P(AB) P(AB) 1,于是P(AB) P(AB) 2

二． 选择题

1. D； 2. B；3. A；4. D；5. B

1． 已知P(AB) P(A) 1,又P(AB) P(A) 1,所以P(AB) P(),于是

得

P(AB)P()

，注意到P() P(A) P(AB),P() 1 P(B),代入上式并整理后

P(B)P()

可得P(AB) P(A)P(B)。由此可知，答案D。 三． 解答题 1.

332

； 2. 105n

§1.5 全概率公式和逆概率（Bayes）公式 解答题 1. 0.973

2. （1）0.85；（2） 0.941 3.（1）0.943；（2）0.848 §1.6 贝努利概型与二项概率公式 一． 填空题

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1. 1 (1 p)n,(1 p)n np(1 p)n 1；2. 二． 解答题 1. 0.5952.

2 3

n 2

2. 0.94，Cn(0.94)n 2(0.06)2，1 n(0.94)n 1(0.06) (0.94)n

n

3.（1）0.0839，（2）0.1240，（3）0.9597

章节测验

一． 填空题 1.

884

； 2. 对立；3. 0.7； 4.

21725

二． 选择题 1.B 2.C 3.C 4.A 5.D 三、解答题 1.（1）0.69； （2）2. .0038

四、证明题（略）。 2.1 随机变量 分布函数

一、填空题

1.1 F(a)；F(1) F( 1)；二、选择题

1、D； 2、A； 三、计算题

1.

2

23

1F(b) F(a) 1

；2. a ,b 1/π；3.1 2e

2F(b)

所以得随机变量X的分布函数为

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x 3 0,

1

,3 x 4 10

F(x)

4,4 x 5 10 1,x 5

2.解：（1）由条件知，当x 1时，F(x) 0； 由于P{X 1}

11

，则F( 1) P{X 1} ； 88

从而有 P{ 1 X 1} 1 P{X 1} P{X 1} 1

115

； 488

由已知条件当 1 x 1时，有 P{ 1 X x 1 X 1} k(x 1)； 而P{ 1 X 1 X 1} 1，则k 于是，对于 1 X 1有

1

2

P{ 1 X x} P{ 1 X x, 1 X 1} P{ 1 X 1} P{ 1 X x 1 X 1}

5x 15(x 1) 8216

所以 F(x) P{X 1} P{ 1 X x} 当x 1时，F(x) 1，从而

15(x 1)5x 7

81616

x 1 0,

5x 7 F(x) , 1 x 1

16

x 1 1,

（2）略。

2.2 离散型与连续性随机变量的概率分布 一、填空题

1．

二、选择题

1.C； 2.A； 3.B

三、计算题

27

；2.2 38

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0,x 0 2 x,0 x 1

3 21.（1）A 1,B 2；（2）F(x) ；（3）

2

4 2x x 1,1 x 2

2

1,x 2

2.略。

2.3 常用的几个随机变量的概率分布 一、填空题

1.

92 2

；2.e；3.0.2 64334

二、计算题

1、；2、0.352；3、0.5167；4、（1） (2.5) (1.5) 1 0.9270；（2）d 3.29 2.4 随机向量及其分布函数 边际分布 一、填空题

1、F(b,b) F(a,b) F(b,a) F(a,a)；F(b,b) F(a,b)； 2、0；1 二、计算题

1、（1）A

1

2

,B

2

,C

2

；（2）

1

； 16

（3）FX(x)

1 x1 y

( arctan),x R，FY(y) ( arctan),y R 22 23

1 e 2x,x 0 1 e y,y 0

2、（1）FX(x) ，FY(y) ,；

0,x 00,y 0

（2）e

2

e 4。

0,x 00,y 0

1 1

3、FX(x) (sinx 1 cosx),0 x ，FY(y) (siny 1 cosy),0 y

22 2 2

1,x 1,y 22

2.5 二维离散型与连续性随机向量的概率分布

一、填空题

7111、；2、 pij， pij；3、；4、

844i 1j 1

二、计算题

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1

,y 0 e x,x 0

1、c 1；fX(x) ；fY(y) (y 1)2

0,x 0 0,y 0

6,(x,y) D

2、（1）f(x,y) ；

0,其它

6(x x2),0 x 1 y),0 y 1

（2）fX(x) ；fY(y)

0,其它

0,其它

3、

2.6 条件分布 随机变量的独立性

一、选择题

1、B； 2、A； 3、D； 4、C； 5、D 二、计算题

1、

2、fX|Y(x|y)

2x,0 x 1 2y,0 y 1

,fY|X(y|x)

0,其它 0,其它

X1

；（3）不独立。 24

3、（1）c 8；（2）P{Y

1

1

1 e2 1 (1) 4、

2.7 随机变量函数的概率分布

一、填空题

1、

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2、fY(y) 二、选择题

1,0 y 1

0,其它

1、B； 2、D； 三、计算题

z 0 0,

1,0 y 1 z

1、f(y) ； 2、fZ(z) 1 e,0 z 1

0,else (e 1)e z,z 1

0,z 0 0,z 0

1

z

3、fZ(z) ,0 z 1；FZ(z) ,0 z 1

2 2

1 1,z 11 ,z 1 2z

第二章测验

一、填空题

1、

1

；2、4；3、0；4、0.2 4

二、选择题

1、C； 2、A； 3、B 三、计算题

1、X~B(3,0.4)，则随机变量的概率函数为

其分布函数为：

0,x 0 27 ,0 x 1125 81

F(x) ,1 x 2

125 117

125,2 x 3 1,x 3

2、（1）A 24；

12x2(1 x),0 x 1 12y(1 y2),0 y 1

（2）fX(x) ，fX(x) ；

0,其它0,其它

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（3）不独立；

2(1 x) 2y,0 x 1,0 y 1 ,0 x 1,0 y 12

（4）fX|Y(x|y) (1 y)。 ,fY|X(y|x) x2

0, 0,其它其它

1

,z 0 ze z,z 0 2

f(z) 3、（1）Z；（2）fZ(z) (z 1)

0,z 0 0,z 0

第三章 随机变量的数字特征

3.1数学期望 一 、填空题 1、

123547，， ； 2、21，0.2 3、 2 ， 332496

k 1

二、计算题

aka a 1. 解： E(X) k k k 12 (1 a)(1 a)k 1k 1 1 a

根据公式

kx

k 1

k 1

1 x

xk 2

1 x 1 x k 1

''

(x 1) 得到

E(X)

a1

a 22

(1 a) a

1 1 a

2． 0 ；3．:

2 a

4. 2/3，4/3 ，-2/3，8/5 ； 5．4/5，3/5，1/2，16/15 3.2方差

一、填空题

1. 0.49 ；2. 1/6 ； 3. 8/9 ；4. 8 ，0.2 二、计算题

1.： 0.6 ，0.46 提示： 设

Xi

0,部件i个不需要调整

1,部件i个需要调整

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则X1,X2,X3相互独立，并且X X1 X2 X3，显然X1 B(1,0.1),

X2 B(1,0.2),X3 B(1,0.3)

2.：1/3，1/3 ； 3．： 16/3 ，28

三、 证明题

提示： D(XY) E XY E(XY) E XY EX EY) E XY YEX YEX EX EY)

E Y(X EX) EX(Y EY) DX DY 3.3协方差与相关系数 一、 选择题

1. A； 2.C ； 3.C 二、 计算题

1. E X E(Y) 0，D(X) D(Y) 0.75， X与Y不独立 2. 0 ，0

XY 0， D(X Y) 1. 5

22

2

2

1 1 y 1

提示：fY(y) 0其它

E(Y)

1

1

y 0 D(Y) 0.25

同理可得E X E(Y) 0，D(X) D(Y) 0.25

Cov(X,Y) E(XY)

a2 b2

3. ：2 2

a b

3.4矩与协方差矩阵

x2 y2 1

xy

dxdy 0

1.

3 v3 3v2v1 2v13

2.（1）0.7，0.6，0.21，0.24 ；（2）-0.02 ；（3）-0.0089

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（4）

0.21 0.02

0.020.24

第三章 测验 一、 填空题

1．18.4 ； 2. 1 ，0.5； 3． ab 二、 选择题

1．B ； 2.A；3.D

三、 计算题

1.解：设X表示该学徒工加工的零件中报废的个数，又设 Xi 则由题设知

0,第i个零件未报废

1,第i个零件报废

1 0

Xi i1

i 1i 1

于是有 X

Xi 且E(Xi)

i 1

10

10

10

1

(i 1,2, ,10) i 1

10

从而E(X) E(

Xi) E(Xi)

i 1

i 1

i 1

1111

2.02 i 12311

2.： 10分25秒

提示：设乘客到达车站的时间为X，由题意可知X为[0,60]

上的均匀分布，根据发车时间可以得到等候时间Y，且Y是关于X的函数

10 X 30 X

Y g(X)

55 X 70 X

3. 0,0

0 X 10

10 X 30

30 X 5555 X 60

第四章习题

4.1 切比雪夫不等式 随机变量序列的收敛性 1．解：由切比雪夫不等式知，

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P(3 X 7) P(|X 5| 2) 1 P(|X 5| 8)

21 8232

21 222

X

为频率． n

X11X10.75 0.25E() E(X) n 0.75 0.75,D() 2D(X) nnnnnn

X

0.8} 0.9, 由题意知P{0.7 n

0.75 0.25

X而由切比雪夫不等式有P{| 0.75| 0.05} 1 n0.052

0.75 0.25

所以有1 0.9，得n 750 20.05

2．解：设X为在n次试验中事件A出现的次数，则X~B(n,p)，

4.2 大数定理

n

n

E(Xn) -n

Xn的方差为

2

0 1 nn 1

2

1

n

0

1 2

D(Xn) E X [E(Xn)] 02 1

n n

2

n

2

2

1

2 n

故X

1

N

Xn的数学期望 n

1

N

1

EX E N

方差

1 X n

Nn 1 1 X n 2

Nn 1

N

N

E Xn n

1

N

1

DX D N

D Xn

n 1

N

1

N

2

2

n 1

N

2

N

在利用车比雪夫不等式得

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DX2

PX EX

N

2

2

N 0

因此，X1，X2， ，Xn， 服从大数定理。

2．证：由于X1，X2， ，Xn相互独立，且E(Xi) i，D(Xi)存在，

1n

令 Xn Xi

ni 1

则 E有限。

X

n

1n 1n 1n

E Xk E Xk k

ni 1 ni 1 ni 1

DXn

1n 1nn

D Xk 2 D Xk 0

ni 1 ni 1

0。

故由车比雪夫不等式知，

PXn EXn 1

DXn

1 D X

k 1

n

k

n

1

2n2 2

1n1n

即 limP{| Xi i| } 1

n ni 1ni 1

4.3 中心极限定理

1．解：设X为抽取的100件中次品的件数，则X B(100,0.2)，

E(X) 100 0.2 20,D(X) 20 0.8 16

则

18 20X 2025 201X 205P{18 X 25} P{ } P{ 444244

(1.25) ( 0.5) (1.25) (0.5) 1 0.8944 0.6915 1 0.5859

2．解：（1） 设X为一年中死亡的人数，则X B(n,p)，其中n=10000，p=0.006 保险公司亏本则必须1000X>120000，即X>120 P{保险公司亏本}=P{X

120}=P

7.769} 1 (7.769) 0

=P

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（2）P{保险公司获利不少于40000元

}

P{120000 1000X 40000} P{X 80}

P (2.59) 0.995

3．解：设Xi={每个加数的舍入误差}，则Xi ~ U(-0.5, 0.5)，

E Xi 0，D Xi ，i = 1, 2,

故由独立同分布中心极限定理知X1，X2， 服从中心极限定理。

（1）

1500

1500 1500

P X 15 1 PX 15 1 P 15 X 15 i i i

i 1 i 1 i 1

1500

Xi 1500 0

15 1500 0 i 1 15 1500 0 1-P 11 1 12 12 12 1 (1.34) ( 1.34) 1 2 (1.34) 1 2 1 (1.34) 2 (1 0.9099) 0.1802

（2）

n

X n

i| P{| Xi| 10} 0.9

，P | 0.9

i 1 由中心极限定理得，2 1 0.9, 0.95，所以

1.65，解得n 440．

第四章 测验

一、填空题 1．1/4；1

1． k2

2

2．1 ．提示：利用切比雪夫不等式估计．

n 2

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3．1/12 4．0． 5．0.5． 6． (x)． 二、选择题

1．A 2．C 3 D．

三、应用题

1．解：设X为1000次中事件A出现的次数，则X B(1000,0.5)

E(X) 500,D(X) 500 0.5 250 P{400 X 600} P{|X 500| 100} 1

2．解：设至少要掷n次，有题设条件知应有

25039

0.975

1000040

P0.4 Xn 0.6 0.9

其中Xn

Xi，

ni

1

1

n

i=1，2，

独立同分布，且

P Xi 1 P Xi 0 0.5， E(Xi) 0.5， D(Xi) 0.5 0.5 0.25

（1） 用切比雪夫不等式确定

P0.4 Xn 0.6 PXn 0.5 0.1 1

1

而D(Xn) D n

1 X i n2

n

DXn

0.1

2

D Xi

i 1

n

1

n2

0.52

i 1

n

0.25

n

0.25n

0.90 即要求1 2

0.1

即n

0.25

250(次) 30.1

即至少应掷250次才能满足要求。 （2）用中心极限定理确定

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P0.4 Xn 0.6 P

2 5 5 5 1 0.90

1 0.90

0.95 得 5 2

查标准正态分布表的

n 1.645， 5 1.645 8.225

所以n

8.2252 67.65 68

即在这种情况下至少应掷68次才能满足要求。

3．解：设X为每天去阅览室上自习的人数。

则有X B(12000,0.08),E(X) 12000 0.08 960,D(X) 960 0.92 883.2 （1）

P{X 880} 1 P{X 880}

1 P 1 ( 2.692) (2.692) 0.996

（2）设总座位数为

n

P{X n} 0.8,P 0.8

由中心极限定理知，

0.8=0.85，n 986，所以应增添986-880=105个座

位。

4．解：令n为该药店需准备的治胃药的瓶数

X为在这段时间内购买该药的老人数

则由题意知X B(2000,0.3)，E(X) 2000 0.3 600,D(X) 600

0.7

P{X n} 0.99

由中心极限定理知，

P 0.99

0.99 2.33，所以n 648

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四、证明题

1．证明：设

则有Mn

X

k 1

n

k,E(Xk) pk,D(Xk) (1 pk)pk

1 4

pk n

Mn11nE() E( Xk) E(Xk) k 1.

nnk 1nk 1n

n

1

n

Mn11n41D() 2D( Xk) 2 D(Xk) k 12 .

nnnk 1n4nk 1

n

Mn

)

1 P{|Mn p1 p2 pn| }， 由切比雪夫不等式得，1 1 4n 2 2nnMp p2 pn

| } 1，即 所以当n 时1 P{|n 1

nn

Mp p2 pnP{|n 1| } 1．

nn

D(

2．证：因为X1,X2, Xn, 相互独立且同分布，所以X1，X2， ，Xn相互独立且同分布，且有相同的数学期望与方差：

2

2

2

EXi

2

a2，DXi2 EXi4-EXi2

n

1

2

a4 a2 2 0

2

满足独立分布中心极限定理条件，所以

Xi i

2

近似服从正太分布N

na,n ，即

2

2

Yn

a4 (a2)2 Xi近似服从N a2,

nni 1

1

n

2

第五章 数理统计的基本概念

5.1 总体 样本 统计量

一、选择题 1.(D)

2.(A) S

2

X

i 1

9

i

2

9 1

X

i 1

9

2

i

9 2

9 1

285 9 25

7.5

8

西农概率论与数理统计习题册答案

3. (D)

二、应用题

1. 5，2.44

1

f(x1,x2,...x5) fXi(xi) (b a)5,a x1,...x5 b2. i 1 0,其它

5

0,x 1 1

,1 x 2 F(x) 43.

3,2 x 3 4

1,x 3

5.2抽样分布 一、选择题 1.(C) 注：

~t(n1 1)才是正确的.

n

n 1 S2 222

2.(B) 根据得到~ n 1(X X)~ n 1 i2

i 1

3.(A) 解：

X

i 1

9

i

~N(0,9) Xi~N 0,1 ， Yi2~ 2 9

2

i 1

i 1

99

由t

t 9 二、应用题 1. F(n 1,1)

3

~N(10,) (2) 0.2061 2. (1)

2

3. 26.105

第五章 测验

一、选择题 1. ( C )

西农概率论与数理统计习题册答案

2.（C） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数 3（D）

对于答案D,由于

Xi

~N(0,1),i 1,2, ,n，且相互独立，根据 2分布的定义有

(X

i 1

n

i

)2

~x2(n)

2

4.(C) 注：X~N(0,)1n

~t(n 1)才是正确的

5.(C) P{max(X1,X2,X3,X4,X5) 15}

1 P{max(X1,X2,X3,X4,X5) 15} 1 P X1 15, ,X5 15 =1 [ (1.5)]5 二、填空题 1. ，

n

2

n

i

X

2.

i 1

n

2k1n1nk1n

，

，，， X XX i i n 1i 1ni 1ni 1i

3. p,4. 2

pq

n

5 (n 1)

三、应用题

n

n(n 1)2n

2

1.

f(x1,x2,...xn) (

i 1

k

k!

e ) e n

k!

i 1

2. 0.1 3.

t(n 1)

第六章 参数估计

6.1参数的点估计

西农概率论与数理统计习题册答案

一、选择题 1.A 2.A 二、解答题

dqx 1

1.解 （1）E X xP{X x} x 1 p p p qx p dqx 1x 1x 1 1 q

1

q 1 p p

用代替E X ，则得p的矩估计量

1p

（2）分布参数p的似然函数

1n Xi

ni 1

L p P{X xi} 1 p

i 1

i 1

nn

xi 1

p p 1 p i 1

n

xi n

n

n

取对数 lnL p nlnp xi n ln 1 p

i 1 dlnL p n1 n

解似然方程 xi n 0

dpp1 p i 1

1

得p的极大似然估计量 p

2.解 （1）E X

1n

Xi

ni 1

6x2

xf x; dx 0

3

1n

x dx ，用 Xi代替总

2ni 1

体均值E X ，则得参数 的矩估计量为 2

（2）

1n 4

D D 2 4D 4D Xi 2

ni 1 n

4

D X n

i

i 1

n

2

nD X

4

D X n

为

因

D X EX

2

3 6x 2 2

[E X ] xf x; dx 3 x dx

　0 420 2

2

2

2

4 2 2

所以 D n205n

西农概率论与数理统计习题册答案

3.解 取 X1,X2, ,Xn C Xi 1 Xi 2,由定义

i 1

n 1 n 12

E X1,X2, ,Xn E C Xi 1 Xi C E Xi 1 Xi 2 i 1 i 1

n 1

C EXi2 1 2Xi 1Xi Xi2 C E Xi2 1 2E Xi 1Xi E Xi2

i 1

i 1

n 1

n 1

C EX

i 1

n 1

2

i 1

2E X E X E X C E X 2E X E X

i 1

i

2i

n 1i 1

2i 1

2

2i

C 2 2 C n 1 2 2 2

i 1

n 1

所以 C

1

2n 16.2 参数的区间估计 一、选择题

1. C 2. A

6.3 一个总体均值的估计

1.解 由于1 0.99, 故 0.01,

又n 1 3,查t分布表得t0.01 3 5.841,又

2

8.34%,s 0.03%, 故得 的99%的置信区间为

0.030.03 (8.34 5.841 )%,(8.34 5.841 )% 8.252%,　　8.428%

44

2.解 计算得样本均值 2.125,（1） 0.10,

s2 0.0171,n 16

u0.1 1.645, 0.01, 总体均值 的90%的置信区间为

2

u u 2.121,2.129

22

（2） 0.10,

n 1 15.查t分布表得t0.1 15 1.753t0.10 15 1.753，总体均值

2

的90%的置信区间为

tn 1 tn 1

2.117,2.133

22

3.解：计算得 65,s

2

3000, ，-1=7，查t分布表得0. 0n5

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