初三数学几何的动点问题专题练习

动点问题专题训练

1、如图，已知ABC

△中，10

AB AC

==厘米，8

BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD

△与

CQP

△是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度

为多少时，能够使BPD

△与CQP

△全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度

从点B同时出发，都逆时针沿ABC

△三边运动，求经过多长时间点P

与点Q第一次在ABC

△的哪条边上相遇？

2、直线

3

6

4

y x

=-+与坐标轴分别交于A B

、两点，动点P Q

、同时从O点出发，

同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，

点P沿路线O→B→A运动．

（1）直接写出A B

、两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ

△的面积为S，求出S

与t之间的函数关系式；

（3）当

48

5

S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点

O P Q

、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

1

2 3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，

B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P .

（1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？

4 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），

点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．

（1）求直线AC 的解析式；

（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．

3 5在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点

B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -B

C -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；

（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ

的面积S 与

t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）

（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成

为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．

写出t 的值．

6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；

②当α= 度时，四边形E D B C 是直角梯形，此时AD 的长为 ；

（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．

图

16

（备用图）

4 7如图，在梯形ABCD

中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终

点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．

（2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．

8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =?∠. （1）求点E 到BC 的距离；

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.

C M A

D

E B

F C

图4（备用）

A

D

E B

F C

图5（备用）

A D E B

F C

图1 图2

A D

E

B

F C P

N M 图3

A D E

B

F

C

P

N M

（第25题）

5 9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在

第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．

(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；

(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；

(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．

10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E

是边BC 的中点．90AEF ∠= ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，

求证：AE =EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

A D F C G

B 图1 A D F

C G B 图2 A D

F G B 图3

6 11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，

，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．

（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；

（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；

（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．

7 12问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当

12CE CD =时，求AM BN

的值．

类比归纳

在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14

CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN

的值等于 ．（用含n 的式子表示）

联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D

，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n

=>=，，则AM BN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）

方法指导： 为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（2） A B C D E F M 图（1） A

B C D E F M N

8 1.解：（1）①∵1t =秒，

∴313BP CQ ==?=厘米，

∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点，

∴5BD =厘米．

又∵8PC BC BP BC =-=，厘米，

∴835PC =-=厘米，

∴PC BD =．

又∵AB AC =，

∴B C ∠=∠，

∴BPD CQP △≌△． ············································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，

又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，

∴点P ，点Q 运动的时间433BP t =

=秒， ∴515443

Q CQ v t

===厘米/秒． ·································································· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得

1532104x x =+?， 解得803

x =秒． ∴点P 共运动了803803

?=厘米． ∵8022824=?+，

∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过803

秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ········································· （12分） 2.解（1）A （8，0）B （0，6） ············· 1分

（2）86OA OB == ，

10AB ∴=

点Q 由O 到A 的时间是881

=（秒） ∴点P 的速度是61028

+=（单位/秒） · 1分 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，

2S t = ·········································································································· 1分 当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,

9 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865

t PD -=， ······························ 1分 21324255

S OQ PD t t ∴=?=-+ ······································································· 1分 （自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）

（3）82455P ??

???

， ···························································································· 1分 12382412241224555555I M M 2??????-- ? ? ???????

，，，，， ···················································· 3分 3.解：（1）⊙P 与x 轴相切.

∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），

与y 轴交于B （0，－8），

∴OA =4，OB =8.

由题意，OP =－k ，

∴PB =P A =8+k .

在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2，

∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径，

∴⊙P 与x 轴相切.

（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P

在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E .

∵△PCD 为正三角形，∴DE =

12CD =32，PD =3， ∴PE

. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ，

∴△AOB ∽△PEB ，

∴2,AO PE AB PB PB

=，

∴PB =

∴8PO BO PB =-=，

∴8)P -，

∴8k =-. 当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,

8)， ∴k =

8， ∴当k

8或k =

8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.

10 4.

5.解：（1）1，8

5

；

11 （2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC

，4BC ==， 得

45QF t =．∴4

5

QF t =． ∴14(3)25

S t t =-?， 即22655

S t t =-+．

（3）能．

①当DE ∥QB 时，如图4．

∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°． 由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP AC AB

=

， 即335t t -=

． 解得9

8

t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．

此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得

AQ AP

AB AC

=

， 即353t t -=． 解得158

t =．

（4）52t =

或45

14

t =． ①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．

连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．

PC t =，222QC QG CG =+2234

[(5)][4(5)]55

t t =-+--．

由2

2

PC QC =，得2

2234

[(5)][4(5)]55

t t t =-+--，解得52t =．

②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7． 22234

(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514

t =】

6.解（1）①30，1；②60，1.5；

（2）当∠α=900

时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900

，∴BC //ED .

∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中，∠ACB =900

，∠B =600

,BC =2,

∴∠A =300.

∴AB =4,AC 图4

P

图5

12 ∴AO =12

AC

……………………8分 在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2.

∴BD =2.

∴BD =BC .

又∵四边形EDBC 是平行四边形，

∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分

7.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK

是矩形

∴3KH AD ==． ················································································ 1分 在Rt ABK △中，sin 4542

AK AB =?== ．

cos 454BK AB =?== ·························································· 2分 在Rt CDH △

中，由勾股定理得，3HC

∴43310BC BK KH HC =++=++= ················································· 3分

（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥

∴MN DG ∥

∴3BG AD ==

∴1037GC =-= ············································································· 4分 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，．

∵DG MN ∥

∴NMC DGC =∠∠

又C C =∠∠

∴MNC GDC △∽△ ∴

CN CM CD CG

= ··················································································· 5分 即10257

t t -= 解得，5017t = ···················································································· 6分 （图①） A D C B K H （图②） A D C B G M N

13 （3）分三种情况讨论：

①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103

t = ·························································································· 7分

②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：

由等腰三角形三线合一性质得()11

102522

EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC t

c NC t -== 又在Rt DHC △中，3

cos 5

CH c CD =

= ∴53

5

t t -= 解得25

8

t = ······················································································· 8分

解法二：

∵90C C DHC NEC =∠=∠=?∠∠， ∴NEC DHC △∽△

∴

NC EC

DC HC = 即553t t -= ∴258

t = ·························································································· 8分

③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.11

22

FC NC t ==

解法一：（方法同②中解法一）

1

3

2cos 1025t

FC C MC t ===-

解得60

17

t =

解法二：

∵90C C MFC DHC =∠=∠=?∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴

FC MC

HC DC

= A

D

C

B M

N

（图③）

（图④）

A

D C

B

M N

H E

（图⑤）

A D

C

B

H N M

F

14 即1102235

t t -= ∴6017

t = 综上所述，当103

t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 ··············· 9分 8.解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ··················· 1分

∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==． 在Rt EBG △中，60B =?∠，∴30BEG =?∠． ············ 2分

∴112BG BE EG ====， 即点E 到BC

····································· 3分

（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．

∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥．

∵EF BC ∥，∴EP GM =

，PM EG ==

同理4MN AB ==． ·················································································· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，

∴6030NMC B PMH ==?=?∠∠，∠．

∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =?= ． 则35422

NH MN MH =-=-=． 在Rt PNH △

中，PN == ∴PMN △的周长

=4PM PN MN ++． ······································· 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．

当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =． 类似①，32

MR =

． ∴23MN MR ==． ··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．

此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分 图1 A D E B F C G

图2 A D E B F C

P N H

15 当MP MN =时，如图4

，这时MC MN MP ===

此时，615x EP GM ===-=

当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==?∠∠．

则120PMN =?∠，又60MNC =?∠， ∴180PNM MNC +=?∠∠．

因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．

∴tan 301MC PM =?= ．

此时，6114x EP GM ===--=．

综上所述，当2x =或4

或(5-时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分 9解：（1）Q （1，0） ····················································································· 1分 点P 运动速度每秒钟1个单位长度．································································· 2分 （2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．

在Rt △AFB

中，10AB 3分 过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=?= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．

∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 则△APM ∽△ABF ． ∴

AP AM MP AB AF BF ==． 1068

t A M M P

∴==

． ∴3455AM t PM t ==，． ∴34

10,55

PN OM t ON PM t ==-==．

设△OPQ 的面积为S （平方单位）

∴213473

(10)(1)5251010

S t t t t =?-+=+-（0≤t ≤10） ················································· 5分

说明:未注明自变量的取值范围不扣分．

∵3

10a =-

<0 ∴当474710

362()10

t =-=

?-时， △OPQ 的面积最大． ························· 6分 图3

A D E B

F

C

P

N M 图4

A D E

B

F C

P

M N 图5

A D E

B

F （P ）

C

M

N G

G

R

G

16 此时P 的坐标为（9415，5310

） ． ····································································· 7分 （4） 当 53t =或29513

t =时， OP 与PQ 相等． ················································· 9分

10.解：（1）正确． ················································· （1分）

证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． （2分） BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF 是外角平分线，

45DCF ∴∠=°， 135ECF ∴∠=°．

AME ECF ∴∠=∠．

90AEB BAE ∠+∠= °，90AEB CEF ∠+∠=°，

∴BAE CEF ∠=∠．

AME BCF ∴△≌△（ASA ）． ··································································· （5分） AE EF ∴=． ························································································· （6分）

（2）正确． ····················································· （7分）

证明：在BA 的延长线上取一点N ．

使AN CE =，连接NE ． ··································· （8分） BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．

四边形ABCD 是正方形，

AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠．

NAE CEF ∴∠=∠．

ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． ································································· （10分） AE EF ∴=． （11分）

11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合，

则ACD BCD △≌△.

设点C 的坐标为()()00m m >，.

则4BC OB OC m =-=-.

于是4AC BC m ==-.

在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，

即()22242m m -=+，解得32

m =. ∴点C 的坐标为302?? ???

，. ··················································································· 4分 （Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',

则B CD BCD '△≌△.

由题设OB x OC y '==，， A D F C G E B M A D F G E B N

17 则4B C BC OB OC y '==-=-，

在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222

B C OC OB ''=+. ()2

224y y x ∴-=+， 即2128

y x =-

+ ···························································································· 6分 由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，

∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求. ∴ 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，

y ∴的取值范围为322

y ≤≤. ····································································· 7分 （Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥.

则OCB CB D ''''∠=∠.

又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠ ，

，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△. 有OB OC OA OB

''=，得2OC OB ''=. ·································································· 9分 在Rt B OC ''△中，

设()00OB x x ''=>，则02OC x =. 由（Ⅱ）的结论，得2001228

x x =-+，

解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C

的坐标为()

016. ··································································· 10分

12解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．

由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．

∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． ···································· 1分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． ∵112

CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-． N 图（1-1） A B C E F M

18 在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．

∴()22221x x =-+．解得54x =，即54

BN =． ········································· 3分 在Rt ABM △和在Rt DEM △中，

222AM AB BM +=，

222DM DE EM +=，

∴2222AM AB DM DE +=+．

····························································· 5分 设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．

解得14y =，即14

AM =． ····································································· 6分 ∴15

AM BN =． ····················································································· 7分 方法二：同方法一，54

BN =． ································································ 3分 如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．

∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形．

∴NG CD BC ==．

同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54

AG BN ==． ∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．

90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠ ，°，．

在BCE △与NGM △中

90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠??=??∠=∠=?

，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ························· ５分 ∵114AM AG MG AM =--=5，=

．4 ····················································· 6分 ∴

15

AM BN =． ··················································································· 7分 类比归纳 25（或410）；917； ()2211

n n -+ ································································· 10分 联系拓广

N 图（1-2）

A B C D E F M G

19 2222211

n m n n m -++ ······················································································ 12分

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