论文修改本

广东教育数学系毕业论文 作者：彭俊洋

从一道不等式证明看数学的思想与方法

【摘要】解题时就从“研究题目的条件与结论的特征”入手，通过变化问题，提出多种解题方法，不至陷于“某某类型题用某种方法解”的局限之中，从而领略数学的思想与方法之美。

【关键词】数学思想，数学方法，解题方法

学习数学，贵在得法。著名数学家和教育家波利亚曾说：“如果不‘变化问题’，我们几乎不可能有什么进展。”善于“变化问题”意味着掌握数学。可见，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法，巧解法。下面这道题通过“变化问题”也能体现其中蕴含的重要的数学思想。本文就此题做简单探究。

【原题】 函数f(x)?1?x2,a,b为两个不同的求正证实：数，f(a)?f(b)?a?b。

一、单就数学证明的实质而言，只有综合法和分析法两种，再无其它，但对

于如何运用综合法和分析法则见仁见智，其中有一个共同点就是都有各自的特别措施和手段。下面先从解题方法介绍这些特别措施和手段。

1、分析法与综合法 证法一（分析法）：证明：已知得：

要证f(a)?f(b)?a?b，只需证

f(a)?f(b)?1?a2?1?b2。1?a2?1?b2?a?b 。

两边平方整理得：(1?a2)(1?b2)?1?ab。 事实上，因为a?b且a,b?R?，所以，(1?a2)(1?b2)?1?(a2?b2)?a2b2?1?2ab?a2b2?(1?ab)2，

即(1?a2)(1?b2)?1?ab成立。

所以原命题得证。

证法二（综合法）：证明：由已知得：f(a)?1?a2,f(b)?1?b2，

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所以f(a)?f(b)?1?a?1?b?22a2?b21?a?1?b22?a?b1?a?1?b22a?b又因为a?b且a,b?R?，所以1?a2?a?0,1?b2?b?0。

所以a?b1?a?1?b22?1。 a?b所以f(a)?f(b)?1?a?1?b22a?b?a?b，故原命题成立。

评析：

①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．

②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论 已知．

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知 结论．

③分析法的特点是：从\结论\探求\需知\，逐步靠拢\已知\，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．

综合法的特点是：从\已知\推出\可知\，逐步推向\未知\，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件． ④各有其优缺点：

从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论． 从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．

也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．

⑤一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．

以上两种证法都有涉及放缩法，这是证明不等式中常用的方法，也是一种非常重要的方法。所谓放缩法，要证明不等式A

2、反证法

证法三：证明：假设原命题不成立，则有

f(a)?f(b)1??a?b（a?b）即： f(a)?f(b)?a?b。

1?a2?1?b2a2?b2??22a?b?a-b?1?a?1?b??a?b1?a2?1?b2。事实上

a?b1?a2?1?b2?a?b?1，这导致矛盾，所以假设不成立，原命题成a?b2

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立。

评析:反证法的定义：证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件、公理、定理、常识性事实相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬法。 反证法的实质：

事实上，反证法就是去证明一个命题的逆否命题是正确的，这与直接证明是等价的，但是可能其逆否命题比较容易证明。上述的得出了矛盾，事实上就是得出了“假设与题设不相融”这个结论，所以我们不能接受这个假设，所以这个假设的反面就是正确的，从而命题得证。

适用范围:证明一些命题,且正面证明有困难,情况多或复杂,而否定则比较浅显。

具体方法:

命题r=在C下,若A则B 反证:若A则￢B

证明￢B与A的矛盾

举例：欲证“若P则Q”为真命题，从否定其结论即“非Q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非Q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法,

本题证法的关键是是如何从假设出发推导出与已知条件、公理、定理、常识性事实相矛盾的结果。

3、导数法

证法四：证明：由已知显然f(x)?1?x2在闭区间?a,b?连续，在开区间?a,b?可

f?a??f?b?。

a?b导，那么在开区间?a,b?内至少存在一点c,使f'?c??而f'?c??x1?x2?11?1x2，此导数在?0,???上单调递增，所以0?f'?x??1。

又因为a?0,b?0，所以?a,b???0,???,所以0?f'?c??1。 所以

f?a??f?b??1，故原命题得证。 a?b评析: 导数作为微积分学的基础内容，有着极广泛的应用。对于不等式的证明，利用导数证明是种行之有效的好方法，在不等式证明的种种方法中，占有重要的一席之位。本证法应用拉格朗日中值定理（若函数f?x?满足下列条件：1）在闭区

间?a,b?连续;2)在开区间?a,b?可导，则在开区间?a,b?内至少存在一点，使

f?a??f?b?。）建立函数式，再求f?x?的一阶导数的值域从而确定函数式a?b的值域。 f'?c??

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二、以上从代数的方法证明，其实代数问题也能转化为几何问题。接下来从

几何的角度谈谈“变化问题”所涵盖的数学思想方法。

1.换元法与化归思想

?（0，），??? 证法五：证明：依题意设a?tan?,b?tan?,且?，??2则f?a??1?tan2?,f?b??1?tan2?，cos??0,cos??0。 ∴f(a)?f(b)?1?tan2??1?tan2??cos??cos?11。 ??cos?cos?cos??cos?sin(???)cos??cos?。

而 a?b?tan??tan??∴要证： f(a)?f(b)?a?b， 即证： cos??cos??sin(???)， 相当于证: 2sin???2sin???2?2sin???2cos???2,

也就是证： sin???2?cos???2。

???????????????（0，）?0，cos?0。 ?（0，),?(0,)所以sin由?，??，???得。2222224???????cos故只需证： sin。 22???????????????cos而sin=sincos?sincos?coscos?sinsin 2222222222????=(sin?cos)(cos?sin)。

2222????????（0，）又由?，??得，?(0,)，所以sin?cos，cos?sin。

22242222???????????cos所以 sin=(sin?cos)(cos?sin)<0， 222222???????cos即： sin。 综上原命题得证。 22评析:解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条

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件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。本题证法用三角换元法把问题化归为三角函数问题，其中蕴含着重要的化归思想。

“化归”是转化、归结的简称。在数学研究中人们总是把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结为已经能解决或者比较容易解决的问题，从而使问题得到最终的解决。

化归思想是一种分析问题解决问题的基本思想方法，化归方法有三个要素：化归对象、化归目标和化归途径。实现化归的关键是实现问题的规范化、模式化，化未知为已知是化归的方向。在数学中通常的作法是：将一个非基本的问题通过分解、变形、代换…，或平移、旋转、伸缩…等多种方式，将它化归为一个熟悉的基本的问题，从而求出解答．如学完一元一次方程、因式分解等知识后，学习一元二次方程我们就是通过因式分解等方法，将它化归为一元一次方程来解的．后来我们学到特殊的一元高次方程时，又是化归为一元一次和一元二次方程来解的．对一元不等式也有类似的作法．又如在平面几何中我们在学习了三角形的内角和、面积计算等有关定理后，对n边形的内角和、面积的计算，也是通过分解、拼合为若干个三角形来加以解决的．再如在解析几何中，当我们学完了最基本、最简单的圆锥曲线知识以后，对一般圆锥曲线的研究，我们也是通过坐标轴平移或旋转，化归为基本的圆锥曲线(在新坐标系中)来实现的．其它如几何问题化归为代数问题，立体几何问题化归为平面几何问题，任意角的三角函数问题化归为锐角三角函数问题来表示的例子就更多了．所以，掌握化归的思想方法对于数学学习有着重要的意义．总之，化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的解答． 2.图象法与数形结合思想

证法六：证明：函数f(x)?但由已知可令x>0,而f?x??1。1?x2的定义在R上，

所以f(x)?1?x2，（x>0）的图像如图（一）所示。 设A(a,f?a?),B(b,f?b?),a?b, 过A,B两点的直线的斜率为kAB：

kAB=

f?a??f?b?。

a?b而y?x刚好是f(x)?1?x2的渐近线，

如图。由图可知kAB<1。 图（一）

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所以f(a)?f(b)?a?b。

评析:中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：

一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。

本证法是利用函数的图象来直观说明直线斜率变化过程的规律，使数与形直观、形象、巧妙和谐地结合在一起，从而使抽象问题直观化。所谓图象法：利用图象这种特殊且形象的数学语言工具，来表达各种现象的过程和规律的方法。

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3.构造法、向量法与转化思想

?2??2?2?????x2联想到证法七（构造法）：证明：由f?x??1?x???2??2?????长方体对角线的长度公式，故构造如图（二）所示的长方体， 其中宽和高均为

2，长AB=a,AE=b。 22222?2??2?'?????a2?f?a?, 则有DB???2??2??????2??2??????b2?f?b?。 D'E???2??2?????‘B?D'E?EB?AB?AE， BE中，D’在?D22即： f(a)?f(b)?a?b。证毕。

图（二）

证法八（向量法）：证明：由于向量求模公式与f(x)?依题可设OA?(a,1),OB?(b,1),(其中a?0,b?0,a?b)， 则OA?1?a，OB?1?b,OA?OB??????2?2??1?x2有相同之处，

???a?b?2?a?b

在三角形OAB中OA?OB?OA?OB ，即1?a2?1?b2?a?b。 又因为f(a)?1?a2,f(b)?1?b2， 所以f(a)?f(b)?a?b。 证毕。

评析:构造法的实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已

知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式；或者利用具体问题的特征，为待解决的问题设计一个合理的框架，从而使问题转化并得到解决的方法。

美国数学家斯苇恩说过：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”本题中立体几何的构造，引出了三角形的三边关系的性质，实现论文“数”与“形”的有机转化，为不等式问题的解决提供了广阔的思维空间。

从函数的表达式联想到相关的已学知识——向量的性质来解之，使问题更简单化。正如匈牙利数学家路莎.波得所说：“数学家们也往往不是对问题正面攻击，

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而是不断的将它变形，直到它转化成能够得到解决的问题。”这充分体现转化思想在解题中的作用。

转化思想就是从已知条件出发，联想已经学过的知识方法，盯着目标设法实施有效的转化，在条件和结论之间架起一座合理化归的桥梁。转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。

在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。

【参考文献】

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