高二数学上学期期末考试试题（实验班）

福建师大附中2016-2017学年上学期期末考试

高二(实验班)数学试卷

时间： 试卷说明：

(1)本卷共三大题，23小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。 (2)考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

t?t??x?2?21．参数方程?，(t为参数)表示的曲线是( *** ) t?t??y?2?2120分钟 满分： 150分 A．双曲线 B．双曲线的上支 C．双曲线的下支 D．椭圆 2．设a，b，c都是正数，则三个数a?111，b?，c?( *** ) bacA．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2 3．若正数x、y满足xy?4，则x?2y的最小值是( *** ) A．334 B．34 C．433 D．33 4．下列命题：

(1)“若a?b，则am2?bm2”的逆命题； (2)“全等三角形面积相等”的否命题；

(3)“若a?1，则关于x的不等式ax2?0的解集为R”的逆否命题； (4)命题“p?q为假”是命题“p?q为假”的充分不必要条件 其中真命题的个数是( *** )

A．1 B．2 C．3 D．4

2 1

x2y2x2y25．已知a?b?0，椭圆C1的方程为2?2?1，双曲线C2的方程为2?2?1，C1与C2的离

abab心率之积为15，则C2的渐近线方程为( *** ) 4A．x?2y?0 B．2x?y?0 C．x?2y?0 D．2x?y?0

3ax2y26．设F1、F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?上一点，?F1PF22ab是底角为30的等腰

三角形，则E的离心率为( *** ) A．

1234 B． C． D． 2345x2y27．已知椭圆E:2?2?1 (a?b?0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两

ab点．若AB的中点坐标 为(1,?1)，则E的方程为( *** )

x2y2??1 A．

4536x2y2??1 B．

3627x2y2??1 C．

2718x2y2??1 D．

189x2?y2?1上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，8．已知M(x0,y0)是双曲线C:若MF1MF2?0，2则y0的取值 范围是( *** ) A．(?333322222323,) B．(?,) C．(?,) D．(?,) 33663333 B为平面内两个不重合的定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N．若9．已知A、MN??ANNB,

其中?为常数,则动点M的轨迹不可能是( *** )

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

22b2x2y210．定长为l(l?)的线段AB的两个端点都在双曲线2?2?1(a?0，b?0)的右支上，

aba则AB中点M的横坐标的最小值为( *** )

2

A．a(2a?l)2a?b22 B．a?l2a?b22 C．a(l?2a)2a?b22 D．al2a?b22 11．设抛物线y2?2x的焦点为F，过点M(3,0)的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于C，

|BF|?2, 则?BCF与?ACF的面积之比

A．

S?BCF=( *** ) S?ACF4241 B． C． D． 5372x|x|y|y|???1表示的曲线即为函数y?f(x)，有如下结论： 12．方程169①函数f(x)在R上单调递减；

②函数F(x)?4f(x)?3x不存在零点； ③函数y?f(x)的值域是R；

④若函数g(x)和f(x)的图象关于原点对称，则函数y?g(x)的图象就是方程定的曲线．

其中所有正确的命题序号是( *** )

A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置.

y|y|x|x|??1确169y213．若双曲线C经过点(2,22)，且与 ?x2?1具有相同的渐近线，则C的标准方程为 *** ．

414．已知关于x的不等式|x?3|?|x?4|?a的解集非空，则参数a的取值范围是 *** ． 15. 右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后， 水面宽 *** 米． 16．已知p:3??1，q:x2?x?a2?a(a?0),若?q成立的一个充分而不必要条件是?p，x?1则实数a的取值范围为 *** ．

x2y217．已知椭圆2?2?1(a?b?0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若

ab

3

AF?BF，设?ABF??，

且??[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为 *** ．

??6318．如右图，?ABC的顶点A(?5,0)，B(5,0)，?ABC的内切圆圆心在直线x?3上， 则顶点C的轨迹方程是 *** ．

三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本小题满分10分）选修4?4：坐标系与参数方程

?x2?x?2cos?已知曲线C1:?，(?为参数)，曲线C2:?y2?1．

10??y?6?2sin?(1)写出曲线C1的普通方程，曲线C2的参数方程； (2)在曲线C1，C2上分别取点P，Q，求|PQ|的最大值．

20．（本小题满分12分）

x2y2y2x2??1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q:双曲线??1的离心率已知命题p:方程

2m9?m5me?(

6,2)，若命题p?q为真命题，p?q为假命题，求实数m的取值范围． 221．（本小题满分12分）选修4?5：不等式选讲 已知函数f(x)?|x?1|

4

(1)求不等式f(x)?|2x?1|?1的解集M； (2)设a，b?M，证明：f(ab)?f(a)?f(?b)

22．（本小题满分12分）

x2y22已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点构成的三角形的

ab2周长为22?2 （1）求椭圆C的方程；

（2）设过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在定点M，使MAMB=?

23．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，已知点Q(1,2)，P是动点，且三角形POQ的三边所在直

7成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 16111??线的斜率满足． kOPkOQkPQ（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）过F作倾斜角为600的直线L，交曲线C于A，B两点，求?AOB的面积；

5

l2，（3）过点D(1,0)任作两条互相垂直的直线l1，分别交轨迹C于点A，B和M，N，设线段AB，

MN的中点分别为E，F．求证：直线EF恒过一定点．

6

福建师大附中2016-2017学年期末考试卷参考答案

高二数学（创新班）

一、选择题

1-6 BCABCC 7-12 DACAAD 二、填空题

x2y2??113． 28； 14． (1,??)； 15． 26；

?2,3?1?16. ?1?a?0?； 17．?2??； 18．

x29?y216=1(x?3). 三、解答题

19．解：(1) C1:x2??y?6?2?2，C?2:???x?10cos?sin?,(?为参数) ??y…………4分

(2)曲线C2上任意一点Q(10cos?,sin?)到到圆心O(0,6)的距离

d?(10cos??0)2?(sin??6)2 ………6分

??9sin2??12sin??46??9(sin??23)2?50?52 ………8分 当sin???23时，d取最大值52，此时|PQ|max?52?2?62 ………………10分

20

．

解

：

若

p真，则有

9?m?m?20?m?3； ………………2分

……

………

………

即：

7

，若

q真，则有

m?0，且

b2m3e?1?2??1?a522(，,即2)：

5?m?5 ………………4分 2若命题p?q为真命题，p?q为假命题，则

假． ………………5分

p、q一真一

q假，若p真、则0?m?3，且m?5或m?8分

550?m?；，即： ………………22q真，若p假、则m?3或m?0，且

11分 故

所

求

53?m?5；?m?5，即： ………………

252m的取值范围为

0?m?或

3?m?5． ………………12分

21．解：法一：（Ⅰ）（ⅰ） 当x≤?1时，原不等式可化为?x?1??2x?2，解得x??1， 原

不

等

式

的

解

是

x??1； ………………2分

（ⅱ）当?1?x??时，原不等式可化为x?1??2x?2，解得x??1，原不等式无解； ………………4分 （ⅲ）当x≥?121时，原不等式可化为x?1?2x，解得x?1，原不等式的解是2上

，

x?1； ………………6分

综

M??xx??1或x?1?． ………………

7分 （

Ⅱ

）

因

为

f?ab??ab?1??ab?b???1?b? ………………8分

≥ab?b?1?b

?ba?1?1?b． ………………10分

因

为

a,?b，M所以

b?1，

8

a?1?0， ………………11分

所

以

f?ab??a?1?1?b，即

f????? ?b?f………………12分a?a?．

f法二：（Ⅰ）同解法一． （

Ⅱ

）

因

为

f?a??f??b??a?1??b?1≤a?1???b?1??a?b， ………………8分

所

以

，要

证

f?ab??f?a??f??b?，只需证

ab?1?a?b，ab?12?a?b2 ………………10分

即

证

a2?b22a?1b?22?a，?a即b证

ba2b?2a?b2?1?02，?a2?1??b2?1??0． ……………11分

因为a,b?M，所以a2?1,b2?1，所以?a2?1??b2?1??0成立，所以原不等式成立．…………12分

22．解：（1）由题意，e?c2a?2，由椭圆的定义可得，2a?2c?22?2， ………………2分

解得a?2，c?1，b?1，椭圆C的方程为

x2C:2?y2?1； ………………4分

（2）假设x轴上存在点M(m,0)，使得MAMB=?716成立． 椭圆的右焦点为F(1,0)，当直线l的斜率为0时，A(2,0)，B(?2,0)， 则(2?m)(?2?m)??716，解得m??54 ① ………………5分 当直线l的斜率不存在时，可得A(1,2272)，B(1,?2) ，则MAMB=?16， 即证

即证

…

9

即为(1?m,153227)(1?m,?)=?，即为(1?m)2?，解得m?或m? ②

16442216由①②可得：m?5 4 ………………7分 下面证明m?57时，MAMB=?成立． 416当直线l的斜率为0时，结论成立；

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x?ty?1，A(x1,y1)，B(x2,y2)， 直线方程代入椭圆方程，整理可得：

(t2?2)y2?2ty?1?0， ………………9分

?y1?y2??y1y2??2t，2?t21， ………………10分 2?t25511?MAMB=(x1?,y1)(x2?,y2)?(ty1?)(ty2?)?y1y24444 2211?2t?2?t17?(t2?1)y1y2?t(y1?y2)?????4162(t2?2)1616综上，x轴上存在点M(,0)，使得MAMB=?547成16立． ………………12分 23．解：(1)设点P的坐标为P（x，y），则2分 由

+

=

，得

．整理得点P的轨迹的方程为：y2=4x（y≠0，y≠

，kOQ=2，

， ………………

2）； ………………4分

2??y?4x(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?

??y?3(x?1)得：

y2?43y?4?0 3?y1?y2??S??

43,y1y2??4 ………………6分 3116114?16=?|OF|?|y2?y1|??1?(y1?y2)2?4y1y2??3 …

2223310

……………8分

（3）证明：设点A，B的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则点E的坐标为由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）， 由9分

∵直线l1与抛物线交于A，B两点，∴

，

2

，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，△=（2k2+4）﹣4k4=16k2+16＞0． ………………

．

， ………………10分

∴点E的坐标为2k）．……11分

．由题知，直线l2的斜率为

，同理可得F的坐标为（1+2k，﹣

2

当k≠±1时，有．此时直线EF的斜率为：，

∴直线EF的方程为0） …………13分

，整理得．恒过定点（3，

当k=±1时，直线EF的方程为x=3，也过点（3，0）．综上所述，直线EF恒过定点（3，0）．………………14分

11

……………8分

（3）证明：设点A，B的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则点E的坐标为由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）， 由9分

∵直线l1与抛物线交于A，B两点，∴

，

2

，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，△=（2k2+4）﹣4k4=16k2+16＞0． ………………

．

， ………………10分

∴点E的坐标为2k）．……11分

．由题知，直线l2的斜率为

，同理可得F的坐标为（1+2k，﹣

2

当k≠±1时，有．此时直线EF的斜率为：，

∴直线EF的方程为0） …………13分

，整理得．恒过定点（3，

当k=±1时，直线EF的方程为x=3，也过点（3，0）．综上所述，直线EF恒过定点（3，0）．………………14分

11

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