北京理工大学随机信号分析实验报告汇总

本科实验报告

实验名称： 随机信号分析实验

课程名称： 随机信号分析 任课教师： 实验教师： 学生姓名： 学号/班级： 学 院： 专 业： 实验时间： 实验地点： □ 原理验证 实验类型： ■ 综合设计 □ 自主创新 组 号： 同组搭档： 成 绩：

实验一 随机序列的产生及数字特征估计

一、实验目的

1、学习和掌握随机数的产生方法。 2、实现随机序列的数字特征估计。

二、实验原理

1、随机数的产生

随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。

在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。

(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即 U(0，1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：

y0?1,ynkyn?1(modN)

xn?yn/N

序列?xn?为产生的(0，1)均匀分布随机数。 下面给出了上式的3组常用参数： 1、N?1010,k?7，周期?5?10；

2、（IBM 随机数发生器）N?231,k?216?3,周期?5?10； 3、（ran0）N?231?1,k?75,周期?2?10；

由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。

定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有

987X?Fx?1(R)

由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。

2、MATLAB 中产生随机序列的函数

（1）(0，1)均匀分布的随机序列 函数：rand 用法：x = rand(m,n)

功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。 （2）正态分布的随机序列 函数：randn 用法：x = randn(m,n)

功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从N(?,?2)分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。 （3）其他分布的随机序列

MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，下表列出了部分函数。

MATLAB 中产生随机数的一些函数

3、随机序列的数字特征估计

对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定随机序列 X (n)为遍历过程，样本函数为x(n)，其中n=0,1,2，…，N-1。那么，X (n)的均值、方差和自相关函数的估计为

利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。 （1）均值函数 函数：mean 用法：m = mean(x)

功能：返回按上面第一式估计X (n)的均值，其中x 为样本序列x(n)。

（2）方差函数 函数：var

用法：sigma2 = var(x)

功能：返回按上面第二式估计X (n)的方差，其中x 为样本序列x(n)，这一估计为无偏估计。

（3）互相关函数 函数：xcorr 用法：c = xcorr(x,y)

c = xcorr(x)

c = xcorr(x,y,'opition') c = xcorr(x,'opition')

功能：xcorr(x,y)计算 X (n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算 X (n)的自相关。 option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计，即

'unbiased' 无偏估计，即按上面第三式估计。 'coeff' m = 0 时的相关函数值归一化为1。 'none' 不做归一化处理。

三、实验内容

1、采用线性同余法产生均匀分布随机数1000 个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。改变样本个数重新计算。

线性同余法的公式如下：

y0?1,ynkyn?1(modN)

xn?yn/N

实验代码：

Num=input('Num='); N=2^31; k=2^16+3; Y=zeros(1,num); X=zeros(1,num); Y(1)=1; for i=2:num

Y(i)=mod(k*Y(i-1),N); end X=Y/N; a=0; b=1;

m0=(a+b)/2;

sigma0=(b-a)^2/12; m=mean(X); sigma=var(X);

delta_m=abs(m-m0);

delta_sigma=abs(sigma-sigma0);

plot(X,'k'); xlabel('n'); ylabel('X(n)'); delta_m delta_sigma axis tight

实验结果：

A、Num=1000 delta_=0.0110 delta_sigma=0.0011

[Pxx,f] = periodogram(x,window,nfft,fs) periodogram(...)

功能：实现周期图法的功率谱估计。其中： Pxx 为输出的功率谱估计值； f 为频率向量； w 为归一化的频率向量；

window 代表窗函数，这种用法对数据进行了加窗，对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差，下图列出了产生常用窗函数的MATLAB函数。

nfft设定FFT算法的长度； fs表示采样频率；

三、实验内容

1、按如下模型产生一组随机序列

x(n)?0.8x(n?1)??(n)

其中?(n)是均值为1，方差为 4的正态分布白噪声序列。估计过程的自相关函数和功率谱。

实验代码：

y0=randn(1,500); %产生一长度为500的随机序列 y=1+2*y0; x(1)=y(1); n=500; for i=2:1:n

x(i)=0.8*x(i-1)+y(i); %按题目要求产生随机序列

x(n)=0.8x(n-1)+w(n)

end

subplot(311); plot(x); title('x(n)');

subplot(312);

c=xcorr(x); %用xcorr函数求x(n)的自相关函数 plot(c); title('R(n)');

p=periodogram(x); %用periodogram函数求功率谱密度 subplot(313); plot(p); title('S(w)');

实验结果：

x(n)200-200x 10450100150200250R(n)3003504004505002100100200300400500S(w)6007008009001000200010000050100150200250300

上图中分别为长度为500的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。

2、设信号为

其中 f1?0.05,f2?0.12，w(n)为正态分布白噪声序列，试在N =256和N=1024点时，分别产生随机序列x(n)，画出x(n)的波形并估计x(n)的相关函数和功率谱。

实验代码：

（1）、N=256时 N=256;

w=randn(1,N); %用randn函数产生一个长度为256的正态分布白噪声序列 n=1:1:N; f1=0.05; f2=0.12;

x=sin(2*pi*f1*n)+2*cos(2*pi*f2*n)+w(n); %产生题目所给信号 R=xcorr(x); %求x(n)的自相关函数 p=periodogram(x); %求x的功率谱 subplot(311);

plot(x);title('x(n)'); subplot(312);

plot(R);title('R(n)'); subplot(313);

plot(p);title('S(w)');

实验结果：

x(n)50-510000-1000100500050100150R(n)2002503000100200300S(w)400500600020406080100120140

上图中分别为长度为256的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。 （2）、N=1024时

将上述第一行代码改为N=1024；即可。

实验结果：

x(n)100-1050000-500040020000200400600R(n)8001000120005001000S(w)1500200025000100200300400500600

上图中分别为长度为1024的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。可明显看出，功率谱集中在两个频率分量处。

四、实验心得体会

这次实验学会了在MATLAB中求解并绘制随机序列的自相关函数和功率谱密度。用MATLAB可以用具体的函数来求自相关函数和功率谱，极大的方便了学习过程。通过本次实验，学习了利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法并且熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。

实验三 随机过程通过线性系统的分析

一、实验目的

1、理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。

2、学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。

二、实验原理

1、白噪声通过线性系统

设连续线性系统的传递函数为H( )或H(s)，输入白噪声的功率谱密度为SX( )=N0/2，那么系统输出的功率谱密度为

SY ()=|H()|2

输出自相关函数为

RY ()=

输出相关系数为

（3.3）

输出相关时间为

0=

（3.1）

H()|2

（3.2）

（3.4）

输出平均功率为

E

=

H()|2

（3.5）

上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性|H()|决定，不再是常数。

2、等效噪声带宽

在实际中， 常常用一个理想系统等效代替实际系统的H()，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。

实际系统的等效噪声带宽为

=

或

=

H()|2

（3.6）

（3.7）

3、线性系统输出端随机过程的概率分布

（1）正态随机过程通过线性系统

若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。 （2）随机过程的正态化

随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。

三、实验内容

1、仿真一个平均功率为1的白噪声带通系统，白噪声为高斯分布，带通系统的两个截止频率分别为3kHz和4kHz，估计输出的自相关函数和功率谱密度函数。（假设采样频率为10kHz）

实验代码：

Fs=10000; %抽样频率为10kHz

x=randn(1000,1); %产生随机序列，模拟高斯白噪声

figure(1); subplot(3,1,1); plot(x);grid on; xlabel('t'); subplot(3,1,2);

x_corr=xcorr(x,'unbiased'); %计算高斯白噪声的自相关函数 plot(x_corr);grid on; subplot(3,1,3);

[Pxx,w]=periodogram(x); %计算功率谱密度 x_Px=Pxx;plot(x_Px);grid on;

figure(2); subplot(2,1,1);

[x_pdf,x1]=ksdensity(x); %高斯白噪声一维概率密度函数

plot(x1,x_pdf);grid on;

subplot(2,1,2); f=(0:999)/1000*Fs; X=fft(x);

mag=abs(X); %随机序列的频谱 plot(f(1:1000/2),mag(1:1000/2)); grid on; xlabel('f / Hz');

figure(3); subplot(3,1,1);

[b,a]=ellip(10,0.5,50,[3000,4000]*2/Fs);

[H,w]=freqz(b,a); %带通滤波器 plot(w*Fs/(2*pi),abs(H));grid on; xlabel('f / Hz'); ylabel( 'H(w)'); subplot(3,1,2); y=filter(b,a,x);

[y_pdf,y1]=ksdensity(y); %滤波后的概率密度函数 plot(y1,y_pdf);grid on;

y_corr=xcorr(y,'unbiased'); %滤波后自相关函数 subplot(3,1,3); plot(y_corr);grid on;

figure(4); Y=fft(y);

magY=abs(Y); %随机序列滤波后频谱 subplot(2,1,1);

plot(f(1:1000/2),magY(1:1000/2));grid on; xlabel('f / Hz'); subplot(2,1,2); nfft=1024;

index=0:round(nfft/2-1); ky=index.*Fs./nfft;

window=boxcar(length(y_corr));

[Pyy,fy]=periodogram(y_corr,window,nfft,Fs); %滤波后高斯白噪声功率谱

y_Py=Pyy(index+1); plot(ky,y_Py);grid on;

实验结果：

高斯白噪声序列50-50100200300500600700t高斯白噪声自相关函数400800900100020-20200400600800100012001400160018002000高斯白噪声功率谱密度2100100200300400500600高斯白噪声一维概率密度函数0.40.30.20.10-5-4-3-2-1012345模拟高斯白噪声序列频谱80604020005001000150020002500f / Hz30003500400045005000带通滤波器1H(w)0.5005001000250030003500f / Hz带通滤波后一维概率密度函数1500200040004500500010.50-1.5-1-0.500.511.52限带高斯白噪声自相关函数0.20-0.20200400600800100012001400160018002000

2、设白噪声通过下图所示的RC 电路，分析输出的统计特性。

（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。

（2）采用MATLAB 模拟正态分布白噪声通过上述RC 电路，观察输入和输出的噪声波形以及输

出噪声的概率密度。

（3）模拟产生均匀分布的白噪声通过上述RC 电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声

的概率密度。

（4）改变RC 电路的参数（电路的RC 值），重做（2）和（3），与之前的结果进行比较。

（1）、由图中所示电路，根据电路分析的相关知识，可推导出

N输出功率谱密度为： S(w)?

2?2w2C2R2?N?RCe 相关函数为： R?4RC相关时间为： ??RC 等效噪声带宽为： B?? 2RC（2）、实验代码：

R=100; C=0.01; b=1/(R*C); n=1:1:500;

h=b*exp(-n*b); %RC电路的冲击响应 x=randn(1,1000); %产生正态分布的白噪声 y=conv(x,h);

[fy y1]=ksdensity(y) %求输出噪声的概率密度 subplot(3,1,1); plot(x);

实验四 窄带随机过程的产生及其性能测试

一、实验目的

1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。

2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。

二、实验原理

1.窄带随机过程的莱斯表达式

任何一个实平稳窄带随机过程X (t)都可以表示为

上式称为莱斯表达式，根据上式可以模拟产生窄带随机过程，具体过程下图所示。

2.窄带随机过程包络与相位的概率密度 包络的概率密度为

，服从瑞利分布。

相位的概率密度为，呈均匀分布。

3.窄带随机过程包络平方的概率密度 包络平方的概率密度为

0，为指数概率密度函数。

三、实验内容

1、按上图所示结构框图，基于随机过程的莱斯表达式，用MATLAB产生一满

足条件的窄带随机过程。

实验代码：

n=1:1:1000; h=exp(-n);

c1=randn(1,1000); a=conv(c1,h);

c2=randn(1,1000); %产生两个正态分布的高斯白噪声 b=conv(c2,h); %通过低通滤波器 fc=10000;

x=zeros(1,1000);

for i=1:1000 %卷积结果相加，得到窄带随机过程

x(i)=a(i)*cos(2*pi*fc*i)-b(i)*sin(2*pi*fc*i); end plot(x);

title('窄带随机过程');

实验结果：

窄带随机过程21.510.50-0.5-1-1.501002003004005006007008009001000

2、画出该随机过程的若干次实现，观察其形状。 实验结果：

窄带随机过程1.510.50-0.5-1-1.501002003004005006007008009001000窄带随机过程1.510.50-0.5-1-1.5-201002003004005006007008009001000窄带随机过程1.510.50-0.5-1-1.501002003004005006007008009001000

3、编写MATLAB程序计算该随机过程的均值函数、自相关函数、功率谱、包络、包络平方及相位的一维概率密度，画出相应的图形并给出解释。

实验代码：

n=1:1:1000; h=exp(-n);

c1=randn(1,1000); a=conv(c1,h); c2=randn(1,1000); b=conv(c2,h); fc=10000;

x=zeros(1,1000); for i=1:1000

x(i)=a(i)*cos(2*pi*fc*i)-b(i)*sin(2*pi*fc*i); end

%得到窄带随机过程

m=mean(x) figure(1) plot(m);

title('均值') %均值函数

R=xcorr(x); figure(2) plot(R);

title('自相关函数') %自相关函数

[S,w]=periodogram(x); figure(3) plot(S);

title('功率谱密度')

B=zeros(1,1000); for i=1:1000

B(i)=sqrt(a(i)^2+b(i)^2);end

[fB2 j]=ksdensity(B); figure(4) plot(fB2);

title('包络概率密度')

B=zeros(1,1000); for i=1:1000

B(i)=(a(i)^2+b(i)^2); end

[fB2 j]=ksdensity(B); figure(5) plot(fB2);

title('包络平方概率密度')

for i=1:1000

fai(i)=atan(b(i)/a(i)); end

[fp j]=ksdensity(fai); figure(6);

%功率谱密度函数

plot(fp);

title('相位一维概率密度函数')

实验结果：

均值1.510.50-0.5-100.20.40.60.811.21.41.61.82

m = 0.0038

自相关函数200150100500-500200400600800100012001400160018002000功率谱密度0.90.80.70.60.50.40.30.20.100100200300400500600包络一维概率密度函数1.510.500102030405060708090100包络平方一维概率密度函数2.521.510.500102030405060708090100

相位一维概率密度函数0.350.30.250.20.150.10.0500102030405060708090100

实验结果分析：

生成的两个高斯白噪声，分别通过低通滤波器得到a(t)和b(t)。用莱斯表达式的原理产生一个窄带随机过程。从上述实验结果可以看出，窄带随机过程的均值为零，包络服从瑞利分布，相位按均匀分布，而包络的平方呈指数型分布。

四、实验心得体会

这次实验描述了窄带随机过程，对于其均值、包络、包络平方、相位的分布也有了直观的表达。通过本次实验，认识了通过莱斯表达式产生窄带随机过程的方法，并且掌握窄带随机过程的特性。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8pe5.html