直线的参数方程及应用

直线的参数方程及应用

一、直线的参数方程

1.定义：若 为直线l的倾斜角，则称e (cos ,sin )为直线l的(一个)方向向量.

2.求证：若P,Q为直线l上任意两点，e (cos ,sin )为l的方向向量,则有PQ//e.

证明：

3.设直线l过点M0(x0,y0)的倾斜角为 ，求它的一个参数方程.

归纳小结

二、弦长公式、线段中点参数值

证明：

例1 已知直线l:x y 1 0与抛物线y x2交于A,B两点，求线段AB的长和点M( 1,2)到A,B两点的距离之积.

x2y2

例2 经过点M(2,1)作直线l，交椭圆 1于A,B两点.如果点M恰好为线段AB的中点，

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求直线l的方程.

练习

1.设直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为

3. （1）求直线l的参数方程；

（2）求直线l和直线x y 0的交点到点M0的距离； （3）求直线l和圆x2 y2 16的两个交点到点M0的距离的和与积.

2.已知经过点P(2,0)，斜率为43的直线l和抛物线y2 2x相交于A,B两点，设线段AB的中点为M.求点M的坐标.

3.经过点M(2,1)作直线l交双曲线x2 y2 1于A,B两点，如果点M为线段AB的中点，求直线AB的方程.

4.经过抛物线y2 2px(p 0)外的一点A( 2, 4)且倾斜角为45 的直线l与抛物线分别相交于

M1,M2.如果|AM1|，|M1M2|，|AM2|成等比数列，求p的值.

5.已知曲线C1:

x 4 cost, x 8cos ,

(t为参数),曲线C2: ( 为参数)．

y 3 sint.y 3sin .

（1）化C1、C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C1上的点P对应的参数为t 2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线

x 3 2t,C3: （t为参数）距离的最小值.

y 2 t.

解：

练习：

1.直线l的方程为

x 1 2t,

（t为参数），则l上任一点到点(1,2)的距离是

y 2 3t.

A.t B.|t| C

t| D

t|

x tsin20 3,

2.直线 （t为参数）的倾斜角是

y tcos20.

A.20 B.70 C.110 D.160 x x0 tcos ,

3.已知直线 （t为参数）上的点A、B所对应的参数分别为t1、t2，点P分AB所

y y0 tsin .成的比为 ，则点所对应的参数是

A.

t1 t2t tt t2t t1

B.12 C.1 D.2 21 1 1

x 2cos ,

的位置关系是

y 2sin .

4.直线3x 4y 9 0与圆

A.相交但直线不过圆心 B.相交且直线过圆心 C.相切 D.相离 5.下列参数方程都表示过点M0(1,5)，斜率为2的直线，其中有一个方程的参数的绝对值表示动点M和M0的距离，这个参数方程是

x 1 x 1 t,

A. B

. y 5 2t. y 5

1

, x 1 x 1 t,

C

. D. 2 y 5 . y 5 t. ,

6.直线

x 3 acos , x 2 bsin ,

（a为参数）与直线 （b是参数）的位置关系为 C

y 2 asin .y 3 bcos .

A.关于y轴对称 B.关于原点对称 C.关于直线y x对称 D.互相垂直

x 2 cos ,y

7.曲线C的参数方程为 （ 为参数，0 2 ），则的取值范围是

x y sin .A

.[B

.( , )C

.[8. 参数方程

) D

.( , x 2cos ,

（ ）所表示的曲线是22 y 2sin .

x 2

9.

直线

y 3

,（t为参数）上到点M(2,

3)M下方的点的坐标.是 .

10.点(1,

5)与两直线

x 1 t,

（t

是参数）及x y 0的交点的距离是 .

y 5

11.两圆

x 3 2cos , x 3cos ,

（ 是参数）与 （ 是参数）的位置关系是 .

y 4 2sin .y 3sin .

12.已知直线l经过点P(1,0)，倾斜角为 （1）写出直线l的参数方程；

6

.

（2）设直线l与椭圆x2 4y2 4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积. B.化一般参数方程

x x0

at,

为标准参数方程

y y bt.

【巩固与应用】

例 将下列直线的一般参数方程化成标准参数方程形式:

x 4 x 4 2t,

(1) (t为参数) (2)

y 3 t. y 3

x 4

结果

(1)

y 3

(t 为参数) (2)

x 4

y 3

,

x x

0 at,(t为参数) (3) (t为参数)

y y bt.0 .

,(t 2t为参数) .(3)令

x x0 cos t, cos a,

则 于是(cos )2 (sin )2 2 a2 b2,取 sin b.y y sin t 0

则cos ,sin ,t ,

x x0

于是得直线的标准参数方程为 (t 为参数).

y y0

x 4

例

求直线l1:

y 3

,

(t为参数)与直线l2:x y 2 0的交点到定点(4,3)的距离 .

题型三：参数方程 【知识链接】

x x0 at,

中参数t具有几何意义的条件

y y0 bt.

【巩固与应用】

1 x 2 t, 2 x cos ,

例4 求直线l

： (t为参数

)

被曲线 （ 为参数）所截得的弦长.

y . y .

编排本题意图：通过两种解法说明“非标准参数方程中，只要参数t系数平方和为1，

则参数t就

有几何意义”这个事实.

y2

解一：消参得直线与椭圆的普通方程分别为：y x2 1，联立消元，整理得

3

x2 x 0，于是两交点为A(0,，B(1,0)，故|AB| 2.

解二：椭圆的普通方程为：

y2

x2 1，将直线参数方程代入并整理得，t2 6t 8 0，解得t1 2或t2 4，故|AB| |t1 t2| |2 4| 2．

3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8pbe.html