泰勒公式毕业论文

本科学年论文（设计）

论文题目：泰勒公式的应用

学生姓名： 孙逸瑛 学 号： 1004970234 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数学1002 指导教师： 严惠云

完成日期： 2013 年 3月 8 日

泰勒公式的应用

内容摘要

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。

本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一步的研究中。

关键词： 泰勒公式 极限 函数不等式 函数方程

目 录

序言?????????????????????????????1

一、Taylor公式概述………………………………………………………… 1 （一）Taylor公式的基本形式?????????????????? 1 （二）Taylor公式余项类型??????????????????? 2 （三）Taylor公式的定理???????????????????? 5 二、Taylor公式的应用……………………………………………………… 5 （一）利用Taylor公式求极限?????????????????? 6 （二）利用Taylor公式判断函数的极值?????????????? 7 （三）利用Taylor公式判定广义积分敛散性???????????? 7 （四）利用Taylor公式证明中值定理??????????????? 8 （五）利用Taylor公式求行列式的值???????????????10 （六）Taylor公式在关于界的估计的应用?????????????11 三、总结???????????????????????????13 参考文献???????????????????????????14

序言

随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f，设它在点x0存在直到n阶的导数，由这些导数构成一个n次多项式

f?(x0)f??(x0)f(n)(x0)2Tn(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n,

1!2!n!称为函数f在点x0处的泰勒多项式，若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有

f(x)?Tn(x)??((x?x0)n),

f??(x0)f(n)(x0)2(x?x0)???(x?x0)??((x?x0)n). 即f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?2!n!称为泰勒公式.

众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

一、Taylor公式简介

（一）Taylor公式的基本形式

无论在近似计算或理论研究上，我们总是希望用一个多项式来近似地表示一个比较复杂的函数，这样做将会带来很大的方便。比如，为了计算多项式的值，只须用加、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其他函数甚至很简单的初等函数所不具有的特点。

设给定了一个函数f?x?，我们要找到一个在指定点x?x0附近与f?x?很近似的多项式。现在可以回顾一下函数的微分。在研究微分用于近似计算时，我们有一个近似公式

f?x??f?x0??f??x0??x?x0?，

即

f?x??f?x0??f??x0??x?x0??o?x?x0? (1) 公式表明，在点x0附近的函数值f?x?可以用?x?x0?的一次多项式f?x0??f??x0??x?x0?近似表示，且当x?x0（此时?x?x0?是无穷小），所产生的误差o?x?x0?为较?x?x0?高阶的无穷小。现在的问题是，用这样的一个一次多项式来近似计算f?x?，它的精确度往往并不能满足实际的需要。因此我们希望找到一个关于?x?x0?的n次多项式

Pn?x??a0?a1?x?x0??a2?x?x0????o?x?x0? (2)

1

2n

x?x0?高阶的无穷小。要来近似表示f?x?，并使当x?x0时，其误差f?x??Pn?x?是较?想这样，那么多项式的系数a0,a1,?,an，究竟应当取何数呢？这个问题，无疑要根据给定的函数

nf?x?来确定，并且可以从前面的(1)式得到启发，我们把

f?x??f?x0??f??x0??x?x0?，

与一次多项式

P1?x??a0?a1?x?x0?，

对照一下，可知应该取

a0?f?x0?,a1?f??x0?，

而a0,a1的这两个数值可以由等式

??P1?x0??f?x0?,P1?x0??f?x0?，

分别求得。事实上，

P1?x0??a0?a1?x0?x0???P1?x0????a0?a1?x0?x0???

x?x0?a1由此不难推想，为了确定n次多项式Pn?x?的全部系数，我们应该假定f?x?在点x0附近具有直到n+1阶的导数，别且满足下列条件：

Pn?x0??f?x0?,Pn??x0??f??x0?,Pn???x0??f???x0?,?,Pn?由(2)计算Pn?x?在x0点的各阶导数值，代入上面等式(3)，得

n??x0??f?n??x0? (3)

a0?f?x0?,a1?f??x0?,2!a2?f???x0?,?,n!an?f?n??x0?，

即

f???x0?f???x0?， a0?f?x0?,a1?f??x0?,a2?,?,an?2!n!n代入(2)式则得

f???x0?f???x0?2n? P (4) x?fx?fxx?x?x?x???x?x????????????n000002!n!n这就是我们找的关于?x?x0?的n次多项式，称为f?x?在x0点的n次泰勒多项式。它的各项系数是以f?x?在x0点的各阶导数表出的。

（二）Taylor公式余项类型

泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。定性的余项如佩亚诺型余项o((x?x0)n)，表示余项是比(x?x0)n（当x?x0时）高阶的无穷小。如

2

x2x23xe?1?x??o(x)，表示当x?0时，e用1?x?近似，误差（余项）是比x3高阶的无穷

2!2!x小。定量的余项如拉格朗日型余项

1 f(n?1)(?)(x?x0)(n?1)（?也可以写成x0??(x?x0)）。

(n?1)!泰勒多项式表示f?x?时所产生的误差

rn?x??f?x??Pn?x?，

当x?x0时，它是比?x?x0?高阶的无穷小。其中rn?x?称为n阶余项。

根据上面的假定，rn?x?在x0点附近具有n+1阶导数（因已假定f?x?在x0点附近具有n+1阶导数，而多项式P，并注意到等式(3)，则有 n?x?具有任何阶导数）

nrn?x0??f?x0??Pn?x0??0,rn??x0??f??x0??Pn??x0??0,rn???x0??f???x0??Pn???x0??0,?rn?因此，当x?x0时，

n?

?x0??nf?n??x0??Pn?n??x0??0,rn?x0??x?x0??limx?x0是

0型不定式。我们反复应用洛比达法则，可推得 0

x?x0limrn?x?rn??x?n?x?x0?n?1?x?x0?n ?limx?x0rn???x?n?n?1??x?x0?n?2

rnn?x? ?lim

x?x0n!rnn?x0?0??0 ?n!n!即 limrn?x?x?x0?x?x0?n?0。

n这就证明了，当x?x0时，余项rn?x?是比?x?x0?高阶的无穷小。因此所找到的多项式

Pn?x?满足了我们最初提出的要求。我们记

3

rn?x??o?x?x0?，

这样一来，给定的函数f?x?就可以表示为

?n?f?x??Pn?x??rn?x?

f???x0?2?f?x0??f??x0??x?x0???x?x0??2!

?n?f?x0?nn???x?x0??o?x?x0?,?x?x0?n!??余项rn?x??o??x?x??叫做皮亚诺（Peano）型余项。应给指出的是，皮亚诺余项只是对余

n0n项给出一个阶的估计，它仅说明当x?x0时rn?x?是比?x?x0?还要高阶的无穷小。因此只是说明了rn?x?在x?x0时的极限性质。如果在x0点附近具体取定了一个x值，那么余项rn?x?到底有多大，从皮亚诺余项是无从得知的。

下面介绍利用f?x?的导数表示的余项，即所说的拉格朗日型余项。 我们先对两个函数rn?x?和?x?x0?n?1在以x0和x为断点的区间上应用柯西中值定理，得

rn?x??x?x0?n?1?rn?x??0?x?x0??x?x0?n?1?0?rn?x??rn?x0?n?1??x0?x0?n?1

?rn???1??n?1???1?x0?nn （?在x0与x之间）

再对两个函数rn??x?和?n?1??x?x0?在以x0及?1为端点的区间上应用柯西中值定理，得

rn???1??n?1???1?x0?n?rn???1??0?n?1???1?x0?n?0

?rn???1??rn??x0??n?1???1?x0?rn????2?n?0

?如此继续进行n+1次后，便得

?n?1?n??2?x0?n?1 （?2在x0与?1之间）

4

rn?x??x?x0?而rn?n?1?nrn?????? （?在x0与x之间）

n?1!??n?1，故由?x??f?n?1??x??Pnn?1?x??f?n?1??x?（因Pn?x?是n次多项式，所以Pnn?1?x??0）

上式得

rn?????nrn?x???x?x0? （?在x0与x之间）

?n?1?!n?1这就是f?x?的导数表示的余项，称为拉格朗日型余项。

综合以上的讨论，我们得到了一下的重要定理。

（三）Taylor公式的定理

定理1.1（泰勒定理） 如果函数f?x?在x0点的附近有直到n+1阶的导数，则对于x0点附近的x，

f?x?可表示为?x?x0?的n次多项式与余项rn?x?的和

f?x??f?x0??f??x0??x?x0???其中 rn?x??12f???x0??x?x0??? 2!1?n?nf?x0??x?x0??rn?x? (5) n!1n?1n?1f??????x?x0? （?在x0与x之间）

?n?1?!定理中的(1.5)式称为具有拉格朗日型余项的泰勒公式。 当n?0时，泰勒公式(1.5)式变为

f?x??f?x0??f?????x?x0?，

这就是拉格朗日中值公式。可见泰勒公式是拉格朗日公式的推广。 在泰勒公式(5)式中，令x0?0，则得

f?x??f?0??f??0??x??其中 rn?x??11f???0?x2???f?n??0?xn?rn?x? (6) 2!n!1n?1n?1f??????x?x0? （?在x0与x之间）

?n?1?!公式(6)是f?x?在原点的泰勒公式，也称为麦克劳林(Maclaurin)公式。

二、Taylor公式的应用

泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具。其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性

5

的问题。因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题。

（一）利用Taylor公式求极限

为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出。

?x22例1 求极限 limcosx?ex?0x4

分析：此为

0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cosx和e0?x22分别用泰勒展开式

代替,则可简化此比式。

解 ： 由cosx?1?xx??o(x4),e2!4!?x2224?x22x22(?)x22?o(x4)得 ?1??22cosx?e?(111?2)x4?o(x4)??x4?o(x4), 4!2?2!12于是

x22lim

cosx?ex?0x4?14x?o(x4)1?lim124?? x?0x12?100??21?x???1?60x?/x 例2 求极限 I?lim?4060x?0????1?2x??1?2x??解： I?lim??1?100x?x?0??????40???41??2x2?ox2? 100?992??x?o?x2???1?40??2x???????22?????60???61????22?2x??o?x???1?60x?/x2 ??1?60?2x???2???? ?lim1?100x?4950xx?0??2??1?80x?3280x??1?120x?7320x??o?x??1?60x?/x2222

6

?limx?0?8000?4950?3280?7320?21600?x2?o?x2?x2

?1950可以想象，若用洛比达法则，将是非常麻烦的。

（二）利用Taylor公式判断函数的极值

例3 (极值的第二充分条件)设f在x0的某邻域U(x0;?)内一阶可导,在x?x0处二阶可导,且

f'(x0)?0,f''(x0)?0.

(i)若f''(x0)?0,则f在x0取得极大值.

(ii) 若f''(x0)?0,则f在x0取得极小值.

证明 ： 由条件，可得f在x0处的二阶泰勒公式

f'(x0)f''(x0)f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)2?o((x?x0)2).

1!2!由于f'(x0)?0,因此

f''(x0)f(x)?f(x0)?[?o(1)](x?x0)2.(*)

2又因f''(x0)?0,故存在正数???,当x?U(x0;?')时,

'1''1f(x0)与f''(x0)?o(1)同号.所以,22当f''(x0)?0时,(*)式取负值,从而对任意x?U(x0;?')有

f(x)?f(x0)?0,

''即f在x0取得极大值.同样对f(x0)?0,可得f在x0取得极小值.

（三）利用Taylor公式判定广义积分敛散性

在判定广义积分

???af(x)dx敛散性时, 通常选取广义积分???a1dx(p?0)进行比较, 在此xp通过研究无穷小量f(x)(x???)的阶来有效地选

???a1dx中的p值，从而简单地判定xp??a???af(x)dx的敛散性（注意到：如果???af(x)dx得收敛，则? 7

。 f(x)dx得收敛）

例4 广义积分

?（4??x?3?x?3?2x）dx的敛散性.

（1?x）??1??x?解 ：

?(??1)2!1x2?o(x2)

f(x)?x?3?x?3?2x133?x(1?)2?(1?)2?2xx

3191131911?x(1?*?*2?o(2))?(1?*?*2?o(2))?22x8xx2x8xx?9?2??x?o(x2)433因此，lim??f(x)x?32x???3?????319?，即f(x)?0是(x???)的阶，而?x2dx收敛，故?f(x)dx442x4收敛，从而

?（41x?3?x?3?2x）dx。

xsinx?0arctanx?xdx是否收敛？

134解: ?sinx?x?x?o(x)

3!xsinxf(x)?arctanx?x1x(x?x3?o(x4))3!? 1315x?x?x?o(x6)?x3!5!3??o(x2)x1111xsinxf(x)???dx又??dx发散，?lim?1，?f(x)是(x?0)的一阶无穷大量，

0x0arctanx?xx?03x?x例5 广义积分也发散。

（四）利用Taylor公式证明中值定理

接下来，我们通过例题来说明，泰勒公式是如何证明中值公式的。 例6 设函数f?x?在?a,b?上三阶可导，试证：存在c??a,b?，使 f?b??f?a??f??证明 ： 设k为使下式成立的实数：

13?a?b????。 b?a?fcb?a???????24?2? 8

f?b??f?a??f??令

13?a?b?b?a?kb?a?0。 ?????24?2?13?a?x?， g?x??f?x??f?a??f??x?a?kx?a?????24?2?则

g?a??g?b??0。

根据罗尔定理，????a,b?使g????0，即

?a????a??????a?1???a???f?????f???f??????k??

22222????????而将f????在

2a??展开有： 2?a????a??????a?1??????a???f?????f???f??????f?c???。 ?2??2??2?2?2?其中????2?a???,????a,b?，比较得k?f????c?，其中c??a,b?。

?2?例7 设f?x?在?a,b?上有二阶导数。试证：?c??a,b?，使得

证明：

法1 对函数F?x??法2 将函数F?x???ba3?a?b?1??f?x?dx??a,b?f?f?c??b?a? (1) ???2?24?f?t?dt利用上例结果，或重复上例的证明即得。

axxa?bb?ah?处按泰勒公式展开，记，则 ?a2211F?x0?h??F?x0??f?x0?h?f??x0?h2?f?????h3，

2611F?x0?h??F?x0??f?x0?h?f??x0?h2?f?????h3，

26f?t?dt在点x0?其中?,???a,b?。于是

?f?x?dx?F?xab0?h??F?x0?h?

??b?a?f?x0??b?a??483?f??????f?????? (2)

9

注意到导函数的介值性，?c??a,b?，使得

f???c??代入(2)式即得欲证的式(1)。 法3 记x0?f??????f?????，

2a?b，在泰勒展开式 2f?x??f?x0??f??x0??x?x0??12f??????x?x0? 2两端，同时取?a,b?上的积分。注意右端第二项积分为0.第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：?c??a,b?，使得

?baf??????x?x0?dx?f???c???x?x0?dx?a2b213f???c??b?a? 12因此(3.1)式成立。

（五）利用Taylor公式求行列式的值

若一个行列式可看做x0的函数（一般是x0的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处x0展开,用这一方法可求得一些行列式的值. 例 8

求n阶行列

xyy?yzxy?yzx?y （1） D=z?????zzz?x解 ： 记fn(x)?D,按泰勒公式在z处展开：

fn(z)fn''(z)fn(n)(x?z)2fn(x)?f(z)?(x?z)?(x?z)??(x?z)n, （2）

1!2!n!易知

'z?y00 D???00z?y0??000??000?0yyy?yz?yk阶 10

z?y????00?z(z?y)k?1 （3）

?z?y

由（3）得,fk(z)?z(z?y)k?1,k?1,2,?,n时都成立. 根据行列式求导的规则,有

fn'(x)?nfn?1(x),fn'?1(x)?(n?1)fn?2(x),?,f2'(x)?2f1(x),f1'(x)?1(因为f1(x)?x).

于是fn(x)在x?z处的各阶导数为

fn'(z)?fn'(z)|x?z?nfn?1(z)?nz(z?y)n?2,

fn''(z)?fn''(z)|x?z?nfn'?1(z)?n(n?1)z(z?y)n?3,

? ? ? ?

fnn?1(z)?fnn?1|x?z?n(n?1)?2f1(z)?n(n?1)?2z

fn(n)(z)?n(n?1)?2?1

把以上各导数代入（2）式中,有

nn(n?1)z(z?y)n?2(x?z)?z(z?y)n?3?(x?z)21!2!

n(n?1?2)n(n?1)?2?1???z(x?z)n?1?(x?z)n(n?1)!n!fn(x)?z(z?y)n?1?若z?y,有fn(x)?(x?y)n?1[x?(n?1)y],

z(x?y)n?y(x?z)n若z?y,有fn(x)?.

z?y（六）Taylor公式在关于界的估计的应用

我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的，有的有上节，而有的有下界，再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们探讨泰勒公式关于界的估计，这里通过例题来分析界的估计.

数学分析中，有很多计算都是涉及到函数的界的，接下来，我们就用泰勒公式对函数的界进行估计。

例9 设函数f?x?在?0,1?上二阶可导，当0?x?1时，f?x??1， f???x??2。 试证：当0?x?1时，f??x??3。 证明 ： 因

f?1??f?x??f??x??1?x??12f??????1?x?， 212f?0??f?x??f??x???x??f???????x?，

2 11

所以

1122f??????1?x??f???????x?， 2211222f??x??f?1??f?0??f''????1?x??f???????x??2??1?x??x2?3。

22f?1??f?0??f??x??例10 设函数f?x?在上三阶可导，并且f?x?和f????x?在???,???上有界，证明：f??x?和f???x?也在???,???上有界。 证明 ： 因

f?x?h??f?x??hf??x??取h?1得

11f???x?h2?f??????h3， 23!f?x?1??f?x??f??x??11f???x??f??????， 23!11f?x?1??f?x??f??x??f???x??f??????，

23!1f???????f??????????， 3!两式相减得

f?x?1??f?x?1??2f??x??所以

2f??x??2M0?M3，?x????,???，

其中 Mk?sup同理两式相加得

???x???f?k??x?,?k?0,3?，

1f???x??4M0?M3，?x????,???

3故f??x?和f???x?也在???,???上有界。 例11 设f?x?????x????为二次可微函数

Mk?sup试证： M1?sup证明 ：

???x??????x???f?k??x???? ?k?0,2?

f??x????，且M12?2M0M2。f?0??x?表示f?x?。

1f?????h2 （?在x与x?h之间）， 212 f?x?h??f?x??f??x?h?f?????h （?在x?h与x之间），

2法1 f?x?h??f?x??f??x?h?二式相减

1f?x?h??f?x?h??2f??x?h?h2?f??????f??????? 2? 12

12h?f??????f??????， ??212f??????f??????所以 2f??x?h?f?x?h??f?x?h??h?? 2?即 2f??x?h?f?x?h??f?x?h?? ?2M0?h2M2 (1)

2即 2M0?hM2?2f??x?h?0对一切h成立。

故判别式 f??x??2M0M2?0， 即 f??x??2M0M2对一切x成立。 所以 M1?sup法2 (1)式可改写成

22???x???f??x????，且M12?2M0M2。

M01?hM2 ?h?0， (2) h2M1M11而 0?hM2?M0M2 为常数。所以(9)式右端作为h的函数时，当 0?hM2取最小。令

h22h2 f??x??h?2M0/M2，代入得

h?2M0/M2 ?x????,???，

所以 M12?2M0M2。

三、总结

本文主要介绍了泰勒公式以及它的的6个应用，使我们对泰勒公式有了更深一层的理解，怎样 应用泰勒公式解题有了更深一层的认识，只要在解题训练中注意分析，研究题设条件及其形式特点，就能较好的掌握利用泰勒公式解题的技巧。通过对以上例子的分析、求解，我们可以看出泰勒公式在微积分上有着非常广泛的应用，只是在使用泰勒公式处理问题时要特别强调函数展开要降阶（通常降一阶即可）,文章主要介绍了泰勒公式以及它的六个应用,这使我们对泰勒公式及其应用有了更深一层的理解.把握好题旨,研究好题设、题型,掌握上述解题原则,那么我们就能很好地利用泰勒公式这一数学工具来解题。

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