广东省茂名市2013年高三第一次高考模拟考试理科数学

茂名市2013年第一次高考模拟考试

数学试卷（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分 选择题（共40分）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1. 设集合A?{x|?1≤x≤2?,B?{x|?1≤x≤1?，则（ ）

2. 计算：i(1?i)2?（ ）

A．2i

B．-2i C.

2 D. -2

3. 已知f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)?log2x，则f(?)?（ ）

A. 2 B. 1 C. ?1 D. ?2 4. 已知向量a?(x?1,2),b?(2,1),则a?b的充要条件是（ ）

A．x?0

B．x?5

C．x??1

D．x??121 25. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为以是（ ）

1，则该几何体的俯视图可2

6. 已知函数y?sinx?cosx，则下列结论正确的是（ ） A. 此函数的图象关于直线x??B. 此函数的最大值为1 C. 此函数在区间(?

?4对称

??D. 此函数的最小正周期为?

,)上是增函数

447. 某程序框图如图所示，该程序运行后， 输出的x值为31，则a等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

212

?x?y?3b?2?8. 已知x、y满足约束条件?x?y??1，若0?ax?by?2，则的取值范围为（ ）

a?1?y?1?A. [0，1] B. [1，10] C. [1，3] D. [2，3]

第二部分 非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。 （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

29. 已知等比数列{an}的公比q为正数，且a3?a9?2a5，则q= .

10. 计算 .

11. 已知双曲线x2?ky2?1的一个焦点是（5，，则其渐近线方程为 . 0）12. 若(2x?1n)的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 . x13. 已知21?1?2,22?1?3?3?4,23?1?3?5?4?5?6,24?1?3?5?7?5?6?7?8,… 依此类推，第n个等式为 .

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。 14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为??x?2?cos? (θ为参数)，则曲线C上的

?y?sin?点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为 15.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB 延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC， 若∠CPA＝30°，PC＝_____________

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分）

如图，角A为钝角，且sinA?两边上不同于点A的动点.

（1）若AP=5，PQ =35，求AQ的长； （2）设?APQ??,?AQP??,且cos??

222

3，点P、Q分别是在角A的 512,求sin(2???)的值. 13

17.（本小题满分12分）

某连锁超市有A、B两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：A分店的销售量为200件和300件的天数各有15天；B分店的统计结果如下表：

销售量（单位：件） 天 数 200 10 300 15 400 5 （1）根据上面统计结果，求出B分店销售量为200件、300件、400件的频率；

（2）已知每件该商品的销售利润为1元，?表示超市A、B两分店某天销售该商品的利润之和，

若以频率作为概率，且A、B两分店的销售量相互独立，求?的分布列和数学期望.

18.（本小题满分14分）

如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE^平面ABCD，

AB?AD? ?BAD??ADC?90?，

1CD?a,PD?2a. 2（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE； （2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．

19.（本小题满分14分）

已知数列{an},{bn}中，a1?b1?1，且当n?2时，an?nan?1?0，bn?2bn?1?2记n的阶乘n(n?1)(n?2)n?1.

3?2?1?n！

bn}为等差数列； n2（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{（3）若cn?

an?bn?2n，求{cn}的前n项和. an?2232

20.（本小题满分14分）

x2y23已知椭圆C1：2?2?1 （a?b?0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形

ab3的面积为26. （1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F右焦点为F2，直线l1过点F动直线l2垂直l11，1且垂直于椭圆的长轴，

于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

（3）设O为坐标原点，取C2上不同于O的点S，以OS为直径作圆与C2相交另外一点R，求该圆

面积的最小值时点S的坐标．

21.（本小题满分14分）

13ax?2x2?2x，函数f(x)是函数g(x)的导函数. 3（1）若a?1，求g(x)的单调减区间；

x?x2f(x1)?f(x2))?（2）若对任意x1，x2?R且x1?x2，都有f(1，求实数a的取值范围； 22（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x?[M,0]时|f(x)|?4恒成立，求M的最小值及相应的a值.

已知函数g(x)?242

茂名市2013年第一次高考模拟考试数学试卷（理科）

参考答案及评分标准

一、选择题(每小题5分，共40分)

题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D 8 B 二、填空题（每小题5分，共30分）

9.2； 10. e； 11. y??2x； 12. ?160； 13. 2?1?3?5???(2n?1)?(n?1)?(n?2)?(n?3)???(n?n)； 14. 3； 15. 33. 三、解答题（共80分）

n234，?cosA?? ??????????1分 55222 在?APQ中，由余弦定理得：PQ?AP?AQ?2AP?AQcosA

16. 解：（1）??A是钝角，sinA? 所以AQ?8AQ?20?0 ??????????4分 解得AQ?2 或?10（舍去负值），所以AQ?2 ??????????6分 （2）由cos??2125,得sin?? 1313在三角形APQ中，????A??

又sin(???)?sin(??A)?sinA? ??????????7分

3, 5??????????8分

4 ??????????9分 5?sin(2???)?sin[??(???)]?sin?cos(???)?cos?sin(???)???11分 5412356????? ?????????12分 13513565cos(???)??cosA?

17. 解：（1）B分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为

（2）A分店销售量为200件、300件的频率均为

111，和 ???3分 3261， ?????4分 2?的可能值为400，500，600，700，且 ?????5分

11111115P（?=400）=??， P（?=500）=????，

23622321211111111P（?=600）=????， P（?=700）=??， ???9分

262232612?的分布列为

252

? P 400 500 600 700 1 65 121 31 12?????10分 E?=400?

15111600+500?+600?+700?=（元） ???????12分 612312318.（1）证明：连结PC,交DE与N,连结MN，

?PAC中，M,N分别为两腰PA,PC的中点 ∴MN//AC??????2分

因为MN?面MDE,又AC?面MDE，所以AC//平面MDE ??????4分 （2）解法一：设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为?，以D为空间坐标系的原点，分别

以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

P(0,0,2a),B(a,a,0),C(0,2a,0) PB?(a,a,?2a),BC?(?a,a,0) ???6分

设平面PAD的单位法向量为n1，则可设n1?(0,1,0) ???????????7分 设面PBC的法向量n2?(x,y,1)，应有

??n2?PB?(x,y,1)?(a,a,?2a)?0 ???n2?BC?(x,y,1)?(?a,a,0)?0

??ax?ay?2a?0 即：?

?ax?ay?0???2x???2，所以n?(2,2,1) ????????????????12分

解得：?2222?y???2

2n?n1 ∴cos??12?2? ????????????????????13分

n1?n21?22 所以平面PAD与PBC所成锐二面角为60°???????????????14分 解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG ，垂足为H，连结HC ????????6分 ∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D ∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PG，又CD∩DH=D ∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC ??????8分 ∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角 ??????????????????10分

262

在Rt?△PDG中，DG?2AD?2a，PD=在Rt△CDH中，tan?DHC?2a 可以计算DH?23a ?12分 3CD2a??3 ???????????13分 2DH3a3所以平面PAD与PBC所成锐二面角为60°???????????????14分

19. 解：（1）?an?nan?1?0, n?2，a1?1

?an?nan?1?n(n?1)an?2?n(n?1)(n?2)an?3????

?n(n?1)(n?2)3?2?a1?n！ ????????????????2分

bnbn?11bnbn?11?????即 ?4分 2n2n?122n2n?12又a1?1?1!，?an?n！ ?????????????????????3分 （2）由bn?2bn?1?2n?1两边同时除以2得

∴数列{nbn11?}是以为首项，公差为的等差数列 ??????????5分

222nbn11nnn??(n?1)(?)?1?b?2(1?) ???????????6分 ，故n2n2222（3）因为

an111???,bn?2n??n?2n?1 ??????8分 an?2(n?1)(n?2)n?1n?2aa1a2a3???????n a3a4a5an?2记An=

1111111111An?(?)?(?)?(?)?????(?)?? ???10分

233445n?1n?22n?2记{bn?2n}的前n项和为Bn 则Bn??1?2?2?2?3?2?????n?2012n?1 ①

∴2Bn??1?21?2?22?????(n?1)?2n?1?n?2n ② 由②-①得：Bn?2?2?2?????2012n?11?2n?n?2n?(1?n)?2n?1 ?n?2?1?2nn????????????????????????????????13分 ∴Sn?c1?c2?c3?????cn=An?Bn?(1?n)?2?

20. 解：（1）解：由e?由题意可知

11??????14分 2n?23622222b ????1分 ，得a?3c，再由c?a?b，解得a?321?2a?2b?26，即a?b?6 ?????????????2分 2272

?6b?a?解方程组?2得a?3,b?2 ???????????????3分

?ab?6?x2y2??1 ??????????????????3分 所以椭圆C1的方程是32（2）因为MP?MF2，所以动点M到定直线l1:x??1的距离等于它到定点F2（1，0）的距

离，所以动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，?6分

所以点M的轨迹C2的方程为y2?4x ????????????????7分 （3）因为以OS为直径的圆与C2相交于点R，所以∠ORS = 90°，即OR?SR?0

????????????????????????????????8分 设S （x1，y1），R（x2，y2），SR＝（x2-x1，y2-y1），OR=（x2，y2）

y22(y22?y12)?y2(y2?y1)?0 所以OR?SR?x2(x2?x1)?y2(y2?y1)?16?16?因为y1?y2，y2?0，化简得y1???y2?? ???????????10分

y?2?2所以y12?y2?2562256?32?2y?32?64， 2?22y2y22562即y2＝16，y2＝±4时等号成立. ?????????12分 2y22121当且仅当y2?2y1411圆的直径|OS|=x?y??y12?y14?16y12?(y12?8)2?64 1644因为y12≥64，所以当y12＝64即y1=±8时，OSmin?85， ?????13分 所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）????????14分

21. 解：（1）当a?1时，g(x)?13x?2x2?2x，g'(x)?x2?4x?2 ???????1分 3由g'(x)?0解得?2?6?x??2?6 ????????2分

?当a?1时函数g(x)的单调减区间为(?2?6,?2?6)；??????3分

（2）易知f(x)?g'(x)?ax?4x?2

依题意知 f(2x1?x2f(x1)?f(x2))? 222x1?x22x1?x2ax12?4x1?2?ax2?4x2?2?a()?4()?2?

222a??(x1?x2)2?0 ??????????????????????5分

4282

因为x1?x2，所以a?0，即实数a的取值范围是(0,??) ；??????6分 （3）解法一：易知f(x)?ax?4x?2?a(x?)?2?显然f(0)??2，由（2）知抛物线的对称轴x??①当?2?222a24，a?0. a2?0 ??????7分 a42??4即0?a?2时，M?(?,0)且f(M)??4 aa令ax?4x?2??4解得x?此时M取较大的根，即M??2?4?2a ????????8分

a?2?4?2a?2 ???????9分 ?a4?2a?2?20?a?2， ?M???1 ?????????10分

4?2a?242②当?2???4即a?2时，M??且f?M??4

aa令ax?4x?2?4解得x?2?2?4?6a ????????11分

a此时M取较小的根，即M??2?4?6a?6 ??????12分 ?a4?6a?2a?2， ?M??6??3当且仅当a?2时取等号 ????13分

4?6a?2由于?3??1，所以当a?2时，M取得最小值?3 ????????14分 解法二：对任意x?[M,0]时，“|f(x)|?4恒成立”等价于“f(x)max?4且

f(x)min??4”

由（2）可知实数a的取值范围是(0,??)

故f(x)?ax?4x?2的图象是开口向上，对称轴

2x??2?0的抛物线??7分 a2?M?0时，f(x)在区间[M,0]上单调递增， a①当?∴f(x)max?f(0)??2?4， 要使M最小，只需要

f(x)min?f(M)?aM2?4M?2??4???8分

若??16?8a?0即a?2时，无解

若??16?8a?0即0?a?2时，??????9分

292

?2?4?2a2?2?4?2a??（舍去） 或M???1 aaa故M??1（当且仅当a?2时取等号）????10分

解得M?②当M??222时，f(x)在区间[M,?]上单调递减，在(?,0]递增，f(0)??2?4, aaa24f(?)??2???4则a?2，???????11分

aa要使M最小，则f(M)?aM2?4M?2?4即

aM2?4M?6?0 ???????????????????????12分

解得M?或M??2?4?6a2??（舍去）

aa?2?4?6a?6???3（当且仅当a?2时取等号）??13分

a4?6a?2综上所述，当a?2时，M的最小值为?3. ?????????????14分

2102

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8p7h.html