交通量优化配置的非线性规划模型排3最终

“行健杯”数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了“行健杯”数学建模竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： C

参赛队员 (打印并签名) ：1. 蔡亚刚 理学院 10144287 2. 程丽 理学院 10144216 3. 周金刚 理学院 10144281 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 2015 年 4 月 6 日

评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：

“行健杯”数学建模竞赛

编 号 专 用 页

评 阅 人 评 分 备 注 评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：

评阅记录（可供评阅时使用）：

统一编号：

评阅编号：

交通量优化配置的非线性规划模型

摘要：城市交通拥挤现象是城市交通规划最为明显的失策现象之一。从某种程度上说，城市交通拥挤现象是汽车社会的产物，特别是在人们上下班的高峰期．交通拥挤现象尤为明显。“据统计，上海市由于交通拥挤，各种机动车辆时速普遍下降，50年代初为25km 现在却降为15km左右。一些交通繁忙路段，高峰时车辆的平均时速只有3—4km。交通阻塞导致时间和能源的严重浪费，影响城市经济的效率。”城市交通拥挤现象是现代我国大中城市存在的普遍问题．由于公交车、小汽车流量较多，加上餐饮业商贸功能聚集，使本来就不宽的道路变得拥挤不堪，给进行物资运输，急救抢险，紧急疏散等状况带来不便。其中，城市各路段交通流量的合理分配可以有效缓解道路发生拥挤。 接下来，我们将模拟一个交通网络，

针对两点之间的交通量优化配置问题，利用非线性规划建立了最优化行驶方案的模型，使交通流量达到最优化配置以解决部分由流量不均而导致的交通堵塞问题。 问题一中，将车辆的有效行驶路径定义为向右向下行驶的路径，基于此建立有效路径搜索算法并求解得8条有效路径。分别为：

J??1： 1??2??3??4??7??0；J??2： 1??2??3??6??7??0；J??3： 1??2??3??6??10??0；J??4： 1??2??5??6??7??0；J??5： 1??2??5??6??10??0；J??6： 1??8??9??10??0；J??7： 1??8??9??5??6??7??0；J??8： 1??8??9??5??6??10??0；

问题二中，假设车子单辆行驶且所有有效路径都被利用，首先建立密度与速度、速度与路段车辆数的基本函数，并由此得到各路段行驶时间关于各路段车辆数的模型。按优化方案中要求各条路径行驶时间最短的目标，并且以每条路径耗时相等和各节点总流入车辆数与总流出车辆数相等为约束条件，建立非线性规划模型。

问题三中，基于问题二中建立的模型，根据已知的车辆数条件，并对最大速度、最大车辆密度和路段长度进行合理假设代入模型中，并用MATLAB编程求得近似最优分配方案：路径一1475辆；路径二600辆；路径三0辆；路径四1346辆；路径五0辆；路径六2154辆；路径七0辆；路径八412辆。

在上述模型中，仅考虑了路段单位长度车辆数对速度的影响，而忽略了横向路段宽度对通行速度的影响，且实际生活中有效路径往往不会被同时利用。由此本文又考虑了路段最大车流量，并引入了美国BPR函数，得到路段出行时间关于实际车流量的函数，并以各条路径行驶时间最短为目标，根据用户均衡分配原理，以流量平衡为约束条件，建立一个非线性规划模型更接近实际情况。 【关键词】：非线性规划 用户均衡分配 车流量平衡 网络图 MaTLab

一 问题重述

某区域道路网络如图1所示，每条道路等级完全相同，某时间段内，有N辆车要从节点1出发，目的地是节点0（假设该时间段内，路网中没有其它车辆）。在该时间段内，道路截面经过的车辆数越多，车辆在该路段行驶的速度就越慢。

（1）确定有效的行驶路径及其算法；

（2）确定每条路径上的通过的车辆数，使N辆车从节点1到节点0的总行驶时间最小；

（3）N=6000，请给出具体的计算结果。 （注：横向路段长度是纵向路段长度的2倍）

12345678990

图1：某区域道路网络图

二、模型的假设

（1）在每个路段上车辆都为单辆路道行驶，无并排车辆，且不允许超车； （2） 源点1是以最大流量向两条路发车；

（3）假设每一条有效行驶路径上都有车通过；

（4）假设车辆的最大行驶速度为120km/h，纵向路段长为300km；

（5）道路截面经过的车辆数与车辆在该路段行驶的速度成反比例函数关系v=k/I； （6）车流密度均匀不变d??t?/dt?o???constant； （7）各环路两条支路对时间负载均衡。

三、符号说明

（其中a和b取值都为0,1,2?,10，且节点b为节点a的后继节点） a,b:路网中节点的标号

ax :第a个节点的横坐标

ay :第a个节点的众坐标 bx :第b个节点的横坐标

1

by :第b个节点的众坐标

s(x):第b个节点的横坐标与第a个节点的横坐标之差 s(y):第b个节点的众坐标与第a个节点的众坐标之差

i :表示在第i段路径上

I :该路径上的车流数量

H :某条路径上的车辆数 N :总的车辆数

V :该路径上的车辆速度 Q :该路径上的车流量

? :该路径上定义的平均密度ρ?L :该段路径的长度

I?const LTj :路径j到达终点的总时间

k :反比例系数

t :通过该段路径所用的时间

四、模型的分析与建立

问题一

4.1.1 问题的分析

问题所要解决的是定义有效行驶路径，并给出相应的算法确定有效的行驶路径。在一个较大的网络中，每一个OD对之间都有很多的行驶路径，但是在实际网络配流中，有很多路径是明显不会被出行者考虑的，出行者只在一部分“合理”路径（有效行驶路径）中进行选择。因此，在分配前必须先确定每一对OD之间的有效行驶路径。 我们先假设有效行驶路径应为无重复、折回的行驶路径，即行驶方向始终朝向目的地，即向右向下行驶的路径。要找到有效行驶路径，可以利用图建立直角坐标系，以节点1为原点，向右为x轴的正方向，向下为y轴的正方向，这样路网中的每一个节点都可以用相应的坐标来表示。因此，有效行驶路径通俗的解释是：从路段的起始节点走到终止节点后，终止节点离起点更远，同时离终点更近。如某一路段(a,b)是否位于有效路径上可以用s(x)和s(y)来判断，当满足s(x)?0（其中s(x)?bx?ax）或者s(y)?0（其

2

J??1： 1??2??3??4??7??0；J??2： 1??2??3??6??7??0；J??3： 1??2??3??6??10??0；J??4： 1??2??5??6??7??0；J??5： 1??2??5??6??10??0； （4-11）

J??6： 1??8??9??10??0；J??7： 1??8??9??5??6??7??0；J??8： 1??8??9??5??6??10??0；根据新的有效路径再列出积分方程组:

?J??1：kt??2I??2I??3I??I?114511??J??2：kt??2I??2I??I??2I??I?2146811??J??3：kt3??2I1??2I4??I6??I10??2I13???J??4：kt4??2I1??I3??2I7??2I8??I11????J??5：kt5??2I1??I3??2I7??I10??2I13? （4-12） ??J??6：kt6??4I2??2I12??2I13???J??7：kt7??4I2??I9??2I7??2I8??I11???J??8：kt8??4I2??I9??2I7??I10??2I13???kt?kt2??kt3??kt4??kt5??kt6??kt7??kt8???1节点方程组:

?I??I??N2?1?I1??I3??I4??0??I4??I5??I6??0??I3??I7??I9??0????I6?I7??I8??I10??0 （4-13） ??I5??I8??I11??0??I2??I9??I12??0???I10?I12??I13??0??I?I13??N??11用matlab解出I得：

8

I1??0.62500NI2??0.37500NI3??0.26786NI4??0.35714NI5??0.23214NI6??0.12500NI7??0.28571NI8??0.28571NI9??0.01785NI10??0.12500NI11??0.51785NI12??0.35714NI??0.48214N 13下面列方程求解每条路径上的分配量：

??I1??H1?H2?H3?H4?H5??I2??H6?H7?H8??I3??H4?H5??I4??H1?H2?H3??I5??H1??I6??H2?H3??I7??H4?H5?H7?H8??I8??H2?H4?H7??I9??H7?H8??I10??H3?H5?H8??I11??H1?H2?H4?H7?I12???H6??I13??H3?H5?H6?H8?N?H1?H2?H3?H4?H5?H6?H7?H8

9

4-14）

（4-15）（

H1?0.23214NH2?0.125NH3?0H4?0.26785NH5?0H6?0.35714NH7??0.10714NH8?0.125N （4-16）

4.3问题三

4.3.1 问题的分析

要使得车在该路网中总的行驶时间最短，就需要将一些已知的数据带入问题二所构建的非线性规划模型中。因此将问题三中的N=6000和假设的一系列数据，代入模型，通过MATLAB软件即可编程进行求解。

4.3.12模型求解

将已知的数值带入问题二中的非线性模型，然后通过MATLAB软件进行编程求解。通过编写的M函数文件，直接调用MATLAB工具箱中的函数，最终求得每个路段上的车流量，结果如表4.2所示。

表4.1 每个路段的车流量 路段 车流量 路段 车流量 路段 车流量 I1? 3750 I2? 2250 I6? 750 I7? 1714 I8? 1714 I11? I12? 3107 2143 2893 I3? 1607 I13? I4? 2143 I5? 1393 I9? 107 I10? 750

由于问题要求的是每一条有效路径上的车流量，因此将MATLAB求得的结果进行转化后可求得每条有效行驶路径上的车流量，结果如表4.3所示。

表4.2 每条有效路径的车流量 行驶路径 通过的车辆数（辆） J??1 1??2??3??4??7??0 1475 J??2 1??2??3??6??7??0 600 J??3 1??2??3??6??10??0 0 J??4 1??2??5??6??7??0 1346 J??5 1??2??5??6??10??0 0 10

J??6 J??7 J??8 1??8??9??10??0 1??8??9??5??6??7??0 1??8??9??5??6??10??0 2154 0 412 五、模型的评价

在上述模型计算路段行驶时间时，存在以下不足：

（1）其速度根据与车流数量的反比例关系求得，再通过公式计算行驶时间，引入的速度变量没有最大值显然与事实不符；

（2）问题一中我们采用假设的方法提出7条有效路径，在此基础上我们用问题一的七条路径列出积分方程，求解发现假设的不合理性，进而提出8条新的有效路径继续求解，模型欠妥。

（3）模型直接得到的是路段的车流负载量，要通过负载量再求出每条路径的车流数量。而没有考虑到他们之间的逻辑关系，根据计算的结果也可以看出路段的理想车流负载情况在逻辑上是不可能分配给我们提出的8条有效路径。在实际分配中我们将负值得路径分配量直接令为0，这样实际结果是达不到各路段的了理想车流负载量的。

（4）我们将流量模型近似的看作质点模型 （5）我们忽略了所有的外界因素 在模型中，我们的优点有：

（1）速度与车流量之间采用反比例关系，比较准确地拟合实际情况中的车流量越大，则实际速度越小；

（2）使用用户均衡分配，能比较准确地找到最优化分配方式，可以简化问题，为建立模型提供一个比较优越的环境；

（3）采用假设法去寻找车辆可能的路径，能够优化解题，避免了盲目求解；

（4）从实际问题出发，又通过假设从实际问题抽化出来成为比较理想的问题，同时准确利用各种资源比较准确的与实际情况拟合；

（5）对于问题二我们模拟了动态车流情况以及各环路两条支路对时间负载均衡。

六、模型的改进

针对模型评级中提出的问题，本文提出改进方案。

一般而言，路段出行时间ti与路段流量Ii表现为一定的函数关系：ti?Ii?，且一般为非线性关系，根据美国BPR (Bureau of Public Roads) 函数，假设路段出行时间函数为：

?Ii??ti?T1?0.15??? ??ki?????i????4? （6-1）

其中，Ti为路段i无任何车辆时的行驶时间，与路程的长度成正比；ki为路段的最

11

大交通流量。因为每条路段流量为路径通过流量之和，故两者关系式如下：

Ii??fj?ij,?i?L （6-2）

j?J其中，fj为路径j的车流量；?i,j为0-1开关变量，当路段i为路径j的一部分时

?i,j?1，否则?i,j?0。路径j的行驶时间为通过路段行驶时间之和，可表示为：

Hj??ti?i,j （6-3）

i?j用户均衡分配原理：在用户均衡状态下，全部用户都选择行驶时间最小的路径行动，其结果达到“在网络任何OD对（起讫点）间的所有路径中，被利用路径的行驶时间都相等，并且小于或等于没有被利用路径的行使时间”。则满足

当fj?0时，Hj?H,?j?J （6-4） 当fj?0时，Hj?H,?j?J （6-5）

其中，H表示起讫点间最短路径的行驶时间。根据用户均衡分配原理，可构造等价最优化数学模型：

minZ???ti?I?dIi?L0Ii??fj?N?0 （6-6） ?j?Js..t??Ii??fj?i,j,?i?Lj?J?目标函数中ti?Ii?为ti与Ii的函数关系，将其代入BPR的函数式，?ti?I?dI为各路段

0Ii行驶时间，最终表达式结果为各路段行驶时间之和最小。

根据上述模型结合本文问题，设路段流量Ii为未知变量，则

minZ???i?LIi0?Ii5?ti?I?dI?minZ???Ti?Ii?0.03?4?ki?i?L? （6-7）

根据公式（6-6），结合本题条件，可得最终约束条件为：

12

?I1?I2?N?I?I?I?0?134?I4?I5?I6?0??I3?I7?I9?0??I6?I7?I8?I10?0 （6-8） ??I5?I8?I11?0??I2?I9?I12?0?I10?I12?I13?0??I11?I13?N 由于Ii代表第i段的车流量，所以Ii为非负整数，故：

Ii?0,且Ii为整数 综合公式（6-7）、（6-8）和（6-9），可得最终的交通量分配模型：

??minZ??Ii5????Ti?Ii?0.03?4?i?L?ki???I1?I2?N?I1?I3?I4?0??I4?I5?I6?0?I3?I7?I9?0s..t??I6?I7?I8?I10?0 ??I5?I8?I11?0??I2?I9?I12?0?I10?I12?I13?0??I11?I13?N?Ii?0,且Ii为整数?i?1,2......13???

参考文献：

[1]《离散数学》上海科学技术出版社

[2]《工程数学线性代数》同济大学出版社 [3]《高等数学》同济大学出版社

[4]城市动态网络交通流分配及相关问题的研究_连爱萍

13

（6-9）

6-10） （

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8p16.html