14复件 应用同余问题

知识点、典例、练习

应用同余问题

一、基础知识

同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的：

两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。 同余的性质比较多，主要有以下一些：

性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5）

性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。

应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。

二、典型例题

例题1：求1992×59除以7的余数。

举一反三1：

1、求4217×364除以6的余数。

2、求1339655×12除以13的余数。

3、求879×4376×5283除以11的余数。

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例题2：已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？

举一反三2：

1、已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期几？

2、已知2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“十月一日”是星期几？

3、今天是星期四，再过365的15次方是星期几？

例题3：求2001的2003次方除以13的余数。

知识点、典例、练习

举一反三3：

1、求12的200次方除以13的余数。

2、求3的92次方除以21余几。

3、9个小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分给他们，最后剩下几粒？

例题4：

自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，m最大是多少？

举一反三4：

1、若2836、4582、5164、6522四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相同。除数是多少？

知识点、典例、练习

2、一个整数除226、192、141都得到相同的余数，且余数不为0，这个整数是几？

3、当1991和1769除以某一个自然数m时，余数分别为2和1，那么m最小是多少？

例题5：某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？

举一反三5：

1、某数除以7余1，除以5余1，除以12余9。这个数最小是几？

2、某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数最小值。

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3、在一个圆圈上有几十个孔（如图38-1），小明像玩跳棋那样从A孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先试着每隔2孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。问：这个圆圈上共有多少个孔？

三、同余问题练习题

1.求2008除以7的余数.

2.有一个大于1的整数，它除1000，2001,967得到相同的余数（不为0），那么这个整数是多少？

3. 数2001，2232除以整数n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n.

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4.用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.

5.若2836，4582，5146，6522四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？

6.有三个不同的三位数，它们分别除以a ，得到的余数相同而且是最大二位偶数，当a为两位数时，这三个数最小的和是多少？

7.将一批货物共375千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？

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8.在1~500的自然数中，除以16，40余数（0除外）相同的数有多少个？

9.希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人.六年级先坐满几车，剩下的16人与五年级坐满一车，五年级又坐满若干车.到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？

10.甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下几个人？

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