等差等比数列的计算与证明

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专题三 数 列

第一讲 等差、等比数列的计算与证明

一、选择题

1．(2010·全国Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋?＋a7＝( )

A．14 B．21 C．28 D．35 解析：由等差数列性质得a3＋a4＋a5＝3a4，

7?a1＋a7?

由3a4＝12，得a4＝4，所以a1＋a2＋?＋a7＝＝7a4＝28.

2答案：C

2．(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最

小值时，n等于 ( ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：∵{an}是等差数列， ∴a4＋a6＝2a5＝－6，

a5－a1－3＋11

则a5＝－3，d＝＝＝2，得{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正

5－14项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n ＝6时，Sn取最小．故选A. 答案：A

3．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，

T17，T25中也是常数的项是 ( ) A．T10 B．T13 C．T17 D．T25 解析：a3a6a18＝a 1q

32＋5＋17

＝(a1q)＝a9 ，即a9为定值，所以与a1下标和为18的项

833

积为定值，可知T17为定值． 答案：C

4．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )

A．80 B．26 C．30 D．16

3n

S3n141－q

解析：＝＝n，

Sn21－q

∴qn＝2.

1－q4n

∴S4n＝Sn·n＝30.故选C.

1－q答案：C

5．(2010·辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，

则S5＝ ( )

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A.

15313317 B. C. D. 2442

4解析： an>0， a2a4＝a21q＝1①

S3＝a1＋a1q＋a1q2＝7② 11

解得a1＝4，q＝或－(舍去)，

23

a1?1－q?＝1－q

5

S5＝

4×??1－

1?

32?31

＝，故选B. 141－

2

答案：B 二、填空题

6．(2010·福建)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通

项公式an＝________.

a1?1－q?

解析：∵{an}是等比数列，q＝4，S3＝＝21，∴a1＝1，∴an＝4n－1.

1－q答案：4

n－1

3

7．(2009·辽宁理)等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.

解析：由题意知6?5a1＋1

故a4＝. 31

答案： 3

8．数列{an}满足：an＋1＝an(1－an＋1)，a1＝1，数列{bn}满足：bn＝anan＋1，则数列{bn}

的前10项和S10＝________.

111

解析：由题可知an＋1＝an(1－an＋1)，整理可得－＝1，则＝1＋(n－1)＝n，所

an＋1anan1111110

以an＝，bn＝anan＋1＝＝－，故S10＝b1＋b2＋?＋b10＝1－＝.

nn?n＋1?nn＋11111答案：

10 11

*

?

5×4?3×2??d?－5?3a1＋d＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4＝5， 22?

??n?n＝1，2，3，4，5，6?

9．已知数列{an}(n∈N)满足：an＝?则a2 007＝________.

?－an－6?n≥7，且n∈N*??

解析：由an＝－an－6(n≥7，且n∈N*)知an＋12＝－an＋6＝an 从而知当n≥7时有an＋12＝an 于是a2 007＝a167×12＋3＝a3＝3. 答案：3 三、解答题

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10．如图给出了一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数． (1)写出a45的值； (2)写出aij的计算公式．

解：(1)该等差数阵的第1列是首项为4，公差为3的等差数列，a41＝4＋3×(4－1) ＝13，第2列是首项为7，公差为5的等差数列，a42＝7＋5×(4－1)＝22. ∵a41＝13，a42＝22，

∴第4行是首项为13，公差为9的等差数列． ∴a45＝13＋9×(5－1)＝49.

(2)∵a1j＝4＋3(j－1)，a2j＝7＋5(j－1)，

∴第j列是首项为4＋3(j－1)，公差为2j＋1的等差数列． ∴aij＝4＋3(j－1)＋(2j＋1)·(i－1)＝i(2j＋1)＋j.

11．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

S

(2)设bn＝n(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

n(1)解：由已知得?

?a1＝2＋1，?3a1＋3d＝9＋32，

∴d＝2，

故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)． S

(2)证明：由(1)得bn＝n＝n＋2

n

假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr， 即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)， ∴(q－pr)＋(2q－p－r)2＝0. ∵p，q，r∈N，

2

??q－pr＝0，∴? ?2q－p－r＝0，?

*

2

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?p＋r?2＝pr，(p－r)2＝0， ∴?

2?∴p＝r.

这与p≠r相矛盾．

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． ?an＋1?

12．已知数列{an}的各项均为正数，前n项的和Sn＝，

4

(1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}的首项为b，公比为2，前n项的和为Tn.若对任意n∈N*，Sn≤Tn 均成立，求实数b的取值范围． ?a1＋1?解：(1)由a1＝，解得a1＝1.

4

?an＋1?2－?an－1＋1?2

当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝，

4得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0. 又因为an>0，所以an－an－1＝2.

因此{an}是首项为1，公差为2的等差数列， 即an＝2n－1(n∈N)． (2)因为Sn＝n2，Tn＝b(2n－1)， 所以Sn≤Tn对任意n∈N*恒成立，

n

12－1*

当且仅当≤2对任意n∈N均成立．

bn

*

2

2

2－12－12－1?n－2n－1?·2＋?2n＋1?

令Cn＝2，因为Cn＋1－Cn＝－＝，

n?n＋1?2n2n2·?n＋1?2所以C1>C2，且当n≥2时，Cn

因此≤C2＝，即b≥.

b43

nn＋1n2n

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8orr.html