数学函数值域求法打印
更新时间:2023-05-13 07:07:01 阅读量: 实用文档 文档下载
高考数学函数值域测试
1.函数y=x2+
11
(x≤-)的值域是2x
2.函数y=x+ 2x的值域是3.设x1、x2为方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根,当m=___ 时,x12+x22有最小值_____.
4.已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]
(1)若f(x)的定义域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围; (2)若f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围.
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为S1,△ABC的内切圆面积为S2,记
(1)求函数f(x)=
BC CA
=x. AB
S1
的解析式并求f(x)的定义域. S2
(2)求函数f(x)的最小值.
6.设m是实数,记M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+
1
). m 1
(1)证明:当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M.
(2)当m∈M时,求函数f(x)的最小值.
(3)求证:对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. 7.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证f(x)为奇函数;
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
x
x
x
111
)上是减函数,m2=在(-∞,-)上是减函数, 22x
11117
∴y=x2+在x∈(-∞,-)上为减函数,∴y=x2+ (x≤-)的值域为[-,+∞).
224xx1 t21 t21
2.令 2x=t(t≥0),则x=.∵y=+t=- (t-1)2+1≤1∴值域为(-∞,1].
222
m 2m 21
3.由韦达定理知:x1+x2=m,x1x2=,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2-=(m-)2
424
17117-,又x1,x2为实根,∴Δ≥0.∴m≤-1或m≥2,y=(m-)2-在区间(-∞,1)上是
416161
减函数,在[2,+∞)上是增函数又抛物线y开口向上且以m=为对称轴.故m=1时,
4
1ymin=.
2
1.解析:∵m1=x2在(-∞,-
4.解:(1)依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立,当a2-1≠0时,其充要
a 1或a 12
a 1 0
,即条件是 , 522
a 或a 1 (a 1) 4(a 1) 0 3
∴a<-1或a>
55
.又a=-1时,f(x)=0满足题意,a=1时不合题意.故a≤-1或a>为33
所求.
(2)依题意只要t=(a2-1)x2+(a+1)x+1能取到(0,+∞)上的任何值,则f(x)的值域为R,
a2 1 05故有 ,解得1<a≤,又当a2-1=0即a=1时,t=2x+1符合题意而a=-1时不合题
3 0
意,∴1≤a≤
5
为所求. 3
ab, c
5.解:(1)如图所示:设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h=∴S1=πah+πbh=∴f(x)=
ab
c
(a b),S2 (
a b c2
),, 2
①
S14ab(a b) S2c(a b c)2
a b a b cx2 x2(x x) 2 又 c 代入①消c,得f(x)=. c2
x 1 a2 b2 c2 ab (x 1)
2
在Rt△ABC中,有a=csinA,b=ccosA(0<A<x=
2
),则
a b
=sinA+cosA=2sin(A+).∴1<x≤2
. c4
2(x2 x)22
2[(x 1) ] +6,设t=x-1,则t∈(0, 2-1),y=2(t+)+6在(0,(2)f(x)=
x 1x 1t
2-1]上是减函数,∴当x=(2-1)+1=2时,f(x)的最小值为62+8.
6.解(1)证明:先将f(x)变形:f(x)=log3[(x-2m)2+m+
当m∈M时,m>1,∴(x-m)2+m+
1
], m 1
1
>0恒成立,故f(x)的定义域为R. m 1
1
反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则只须x2-4mx+4m2+m+>0,令Δ<0,即16m2
m 1
1
-4(4m2+m+)<0,解得m>1,故m∈M.
m 1
1
(2)解析:设u=x2-4mx+4m2+m+,∵y=log3u是增函数,∴当u最小时,f(x)最小.
m 1
111
而u=(x-2m)2+m+,显然,当x=m时,u取最小值为m+,此时f(2m)=log3(m+)
m 1m 1m 1
为最小值.
(3)证明:当m∈M时,m+∴log3(m+
11
=(m-1)+ +1≥3,当且仅当m=2时等号成立. m 1m 1
1
)≥log33=1. m 1
解: (1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R), ① 令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0, 则有0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立, 所以f(x)是奇函数.
(2)解:f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是单调函数,所以f(x)在R上是增函数,
又由(1)f(x)是奇函数.f(k·3)<-f(3-9-2)=f(-3+9+2), ∴ k·3<-3+9+2,3
xx
x
x
2x
x
x
x
x
x
-(1+k)·3+2>0对任意x∈R成立.
2
x
令t=3>0,问题等价于t-(1+k)t+2>0 对任意t>0恒成立.
R恒成立.
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