13概率与统计

第十三章 概率与统计

第一节 概率及其计算

题型140 古典概型

1.（2017山东理18（1））在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.

1.解析 （1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则

4C85P(M)?5?.

C1018题型141 几何概型

2.（2017江苏07）记函数f?x??6?x?x2的定义域为D．在区间??4,5?上随机取一个

数x，则x?D的概率是 ．

0，故D???2,3?，所以P?2.解析 由题意6?x?x…255?．故填．

95???4?93???2?3.（2017全国1卷理科2）如图所示，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）. A.

1π1π B. C. D. 4824AD

BC3.. 解析 设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则正方形的面积为2?2?4，圆的面积为π?12?π，

ππ2?π图中黑色部分的面积为2，则此点取自黑色部分的概率为48.故选B.

第二节 随机变量及其分布

题型142 条件概率及相互独立事件同时发生的概率

4.（2107天津理16（2））从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为

111,,. 234（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

4.解析 （2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y?Z?1)?P(Y?0,Z?1)?P(Y?1,Z?0)?

11111111????. 4242444811所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.

48P(Y?0)P(Z?1)?P(Y?1)P(Z?0)?题型143 离散型随机变量的分布列及其数学期望与方差

2.若5．（2107浙江8）已知随机变量?i满足P??i?1??pi，P??i?0??1?pi，i?1，0?p1?p2?1，则（ ）. 2 B．E??1??E??2?，D??1??D??2?

D．E??1??E??2?，D??1??D??2?

A．E??1??E??2?，D??1??D??2? C．E??1??E??2?，D??1??D??2? 5. 解析 依题意，列分布列

?1

p

1 0

p1

1?p1

?2

1 0

p

p2 1?p2

所以E??1??p1，D??1??p1?1?p1?；E??2??p2，D??2??p2?1?p2?． 因为0?p1?p2?故选A．

6.（2017山东理18）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.

（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E?X?. 6.解析 （1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则

4C85P(M)?5?.

C10181，所以E??1??E??2?，D??2??D??1???p2?p1???1??p1?p2????0.2C516（2）由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X?0)?5?，

C1042412C6C45C3106C4P(X?1)?5?，P(X?2)?5?，

C1021C1021234C6C45C116C4P(X?3)?5?，P(X?4)?5?，

C1021C1042因此X的分布列为

X P 0 1 2 3 4 1 425 2110 215 211 42X的数学期望

E?X??0?P(X?0)?1?P(X?1)?2?P(X?2)?3?P(X?3)?4?P(X?4)?

0?1?51051?2??3??4??2. 212121427..（2107山东理8）分别从标有1，2，???，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）. A.

5475 B. C. D.

9918917. 解析 由于是不放回的抽取，两张卡片的数的奇偶性不同共有2C15C4种基本情况，总的22C155C4? .故选C. 基本事件共有9?8=72种，则所求事件的概率为

9?898.（2107天津理16）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，

111且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.

234（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 8.解析 （1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.

?1??1??1?1P?X?0???1????1????1???，

?2??3??4?41?1??1??1?1?1??1??1?111， P?X?1????1????1????1?????1????1????1????2?3??4??2?3?4??2??3?424?1?111?1?111?1?1P?X?2???1???????1???????1???，

?2?342?3?423?4?4P?X?3??1111???. 23424所以随机变量X的分布列为

X P 0 1 2 3 111 2441111113?2??3??. 随机变量X的数学期望E(X)?0??1?424424121 41 24（2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y?Z?1)?P(Y?0,Z?1)?P(Y?1,Z?0)?

11111111????. 4242444811所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.

489.（2017全国2卷理科13）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，P(Y?0)P(Z?1)?P(Y?1)P(Z?0)?有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D?X?? ． 9．解析 有放回的抽取，是一个二项分布模型，其中p?0.02，n?100， 则D?X??np?1?p??100?0.02?0.98?1.96.

10.（2107全国3卷理科18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间?20，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，25?，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温 天数 15? ?10，2 20? ?15，25? ?20，30? ?25，35? ?30，40? ?35，16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 10．解析 （1）易知需求量x可取200,300,500， P?X?200??36225?7?422?161?；P?X?500???. ?；P?X?300??30?3530?3530?35则分布列为：

X P

200 300 500

1 52 52 5（2）①当n≤200时：Y?n?6?4??2n，此时Ymax?400，当n?200时取到.

418800?2n6n?800200?2?n?200??2??n??????②当200?n≤300时：Y??2n??， ??55555此时Ymax?520，当n?300时取到. ③当300?n≤500时，

1223200?2nY??200?2?n?200??2?300?2?n?300??2??n?2???? ?????????5??55?5此时Y?520.

④当n≥500时，易知Y一定小于③的情况. 综上所述当n?300时，Y取到最大值为520.

11.（2017北京理17）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中―*‖表示服药者，―+‖表示未服药者.

（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；

（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记?为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求?的分布列和数学期望E???；

（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）

11.解析 （1）由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，

所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为

15?0.3. 50（2）由图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C. 所以?的所有可能取值为0,1,2.

1C2C1C212122C2. P(??0)?2?，P(??1)?2?，P(??2)?2?C46C43C264所以?的分布列为

? 0 1 2 P 1 62 31 6故?的期望E(?)?0?121?1??2??1. 636（3）在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.

*2，这些球除颜色12.（2017江苏23）已知一个口袋有m个白球，n个黑球m,n?N,n…??外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,???,m?n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉?k?1,2,3,???,m?n?．

1 2 3 ??? m?n （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E?X?是X的数学期望，证明：E?X??n．

?m?n??n?1??1Cnnm?n?112.解析 （1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：p ． ? n?Cm?nm?n（2）随机变量 X 的概率分布为：

X 1 n?1Cnn?1 nCm?n1 n?1?1Cnn nCm?n1 n?2?1Cnn?1 nCm?n??? 1 k?1Cnk?1 nCm?n??? 1 m?n?1Cnn?m?1 nCm?nP ??? ??? 随机变量X的期望为：

?111Cnk?1E(X)???n?nCm?nk?nkCm?nm?nm?n?k?1?!． 1??k?nk?n?1?!?k?n?!m?n?k?2?!?11m?n所以E?X??n?Cm?nk?n?n?1?!?k?n?!(n?1)Cnm?n1n?2n?2n?2 1?C?C???Cn?1nm?n?2= nn?1C??m?n?k?2?!= ?k?n?n?2?!?k?n?!??1?1n?2n?2?2Cn?????Cnn?1?Cn?1?Cnm?n?2= n?n?1?Cm?n??1n?1n?2n?2C?C?????Cnnm?n?2=?= n?n?1?Cm?n??1?1n?2Cnm?n?2?Cm?n?2= n?n?1?Cm?n???1Cnnm?n?1?， n?n?1?Cm?n?m?n??n?1?即E?X??n．

?m?n??n?1?题型144 正态分布——暂无

13.（2107全国1卷理科19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为

2这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N?,?．

??（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在??–3?,??3??之

1?及X的数学期望； 外的零件数，求P?X…（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在??–3?,??3??之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.26

10.12 9.91

9.96

9.96

10.01 9.22

9.92

9.98

10.04 9.95

10.13 10.02 10.04 10.05

11611611622xi?9.97，s?经计算得x?(xi?x)?(?xi?16x2)?0.212，其中??16i?116i?116i?1xi为抽取的第i个零件的尺寸，i?1，2，?，16．

?，用样本标准差s作为?的估计值??，利用估计值判断用样本平均数x作为?的估计值???3??,???3???之外的数据，是否需对当天的生产过程进行检查？剔除??用剩下的数据估计

?和?（精确到0.01）．

2附：若随机变量Z服从正态分布N?,?，则P??–3??Z???3???0.9974，

??0.997416?0.9592，0.008?0.09．

??3??之内的概率为0.9974，落在13. 解析 （1）由题可知尺寸落在???3?，00???3?，??3??之外的概率为0.0026．P?X?0??C16?1?0.9974?0.997416?0.9592，

P?X…1??1?P?X?0??1?0.9592?0.0408，

0.0026?，所以E?X??16?0.0026?0.0416. 由题可知X~B?16，??3??之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在（2）（i）尺寸落在???3?，???3?，??3??

之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理．

（ii）??3??9.97?3?0.212?9.334，??3??9.97?3?0.212?10.606，

10.606?，因为9.22??9.334，10.606?，所以需对当天的生产过程???3?，??3????9.334，检查．

因此剔除9.22，剔除数据之后：??229.97?16?9.22?10.02．

15222?2?[?9.95?10.02???10.12?10.02???9.96?10.02???9.96?10.02???10.01?10.02??

?9.92?10.02?2??9.98?10.02???10.04?10.02???10.26?10.02???9.91?10.02??

22222?10.13?10.02?.

??10.02?10.02???10.04?10.02???10.05?10.02???9.95?10.02?]?22221?0.00815所以??0.008?0.09.

第三节 统计与统计案例

题型145 抽样方式——暂无

14.（2017江苏3）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，

300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进

行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件． 14.解析 按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取300?题型146 样本分析——用样本估计总体

60?18(件)．故填18． 100015.（2017北京理14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中

点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标

2，3. 分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i?1，①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________. ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.

零件数(件)A1B3A2A3OB2B1工作时间(小时)

15. 解析 联结作

A1B1，A2B2，A3B3比较三者中点终坐标的大小，所以第一问选Q1，分别

?B3?B1，B2，B3关于原点的对称点B1?，B2AB?AB?AB?，，比较直线11，22，33斜率大小，?A2B2p最大.故填2

可得

16.（2017全国3卷理科3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（ ）. A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份

D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

16．解析 由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误.故选A.

17.（全国2卷理科18）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获

时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）的频率分布直方图如图所示.

频率频率组距0.0680.0460.044组距0.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012025303540455055606570箱产量/kg旧养殖法0.0200.0100.0080.00403540455055606570箱产量/kg新养殖法

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg， 新养殖法的箱产量不低于50kg，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

旧养殖法 新养殖法 箱产量?50kg 50kg 箱产量… （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：

P?K2…k? 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 n(ad?bc)2 . K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)217．解析 （1）记：―旧养殖法的箱产量低于50kg‖ 为事件B，―新养殖法的箱产量不低于50kg‖为事件C，由题图并以频率作为概率得

P?B??0.040?5?0.034?5?0.024?5?0.014?5?0.012?5?0.62，

P?C??0.068?5?0.046?5?0.010?5?0.008?5?0.66，P?A??P?B?P?C??0.4092. （2）

旧养殖法 新养殖法

由计算可得K2的观测值为k2?箱产量?50kg

62 34

200??62?66?38?34?100?100?96?1042箱产量≥50kg

38 66

?15.705，因为15.705?6.635，所以

P?K2≥6.635??0.001，从而有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．

（3）1?5?0.2，0.1??0.004?0.020?0.044??0.032，0.032?0.068?50?2.35?52.35，所以中位数为52.35.

88，?5?2.35，1717

题型147 线性回归方程

18.（2107山东理5）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相

??4．该班??a??bx?．已知?xi?225，?yi?1600，b关关系，设其回归直线方程为yi?1i?11010某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）.

A. 160 B. 163 C. 166 D.170

??160?4?22.5?70，从而x?24时，18. 解析 x?22.5，y?160，所以ay?4?24?70?166.故选C.

题型148 独立性检验——暂无

19.（全国2卷理科18）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）的频率分布直方图如图所示.

频率频率组距0.0680.0460.044组距0.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012025303540455055606570箱产量/kg旧养殖法0.0200.0100.0080.00403540455055606570箱产量/kg新养殖法

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg， 新养殖法的箱产量不低于50kg，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

旧养殖法 新养殖法 箱产量?50kg 50kg 箱产量… （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：

P?K2…k? 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 n(ad?bc)2 . K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)219．解析 （1）记：―旧养殖法的箱产量低于50kg‖ 为事件B，―新养殖法的箱产量不低于50kg‖为事件C，由题图并以频率作为概率得

P?B??0.040?5?0.034?5?0.024?5?0.014?5?0.012?5?0.62，

P?C??0.068?5?0.046?5?0.010?5?0.008?5?0.66，P?A??P?B?P?C??0.4092. （2）

旧养殖法

箱产量?50kg

62

箱产量≥50kg

38

新养殖法

由计算可得K的观测值为k?234

266

2200??62?66?38?34?100?100?96?104?15.705，因为15.705?6.635，所以

P?K2≥6.635??0.001，从而有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．

（3）1?5?0.2，0.1??0.004?0.020?0.044??0.032，0.032?0.068?50?2.35?52.35，所以中位数为52.35.

88，?5?2.35，1717

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