2013版人教A版数学选修2-1课本例题习题改编 (伍海军)

人教A 版选修2-1课本例题习题改编

1. 原题（选修2-1第四十一页例3）改编 已知点A 、B 的坐标分别是A （0，-1），B （0，1），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-t ，t ∈（0，1]．求M 的轨迹方程，并说明曲线的类型．

解：设M （x ，y ），则10BM y k x -=- (x ≠0)，(1)0AM y k x --=-(x ≠0)，BM AM k k =-t ，10y x -- ?(1)0

y x ---=-t(x ≠0)，整理得2

21x y t

+=1(x ≠0)（1）当t ∈（0，1）时，M 的轨迹为椭圆（除去A 和B 两点）；（2）当t=1时，M 的轨迹为圆（除去A 和B 两点）．

2. 原题（选修2-1第四十七页例7）改编 在直线l ：04=-+y x 上任取一点M ，过点M 且以双曲线132

2

=-y x 的焦点为焦点作椭圆．(1)M 点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程．

解：(1).4,3,122222=+=∴==b a c b a 故双曲线

132

2

=-y x 的两焦点),0,2(),0,2(21F F -过2F 向l 引垂直线‘l ：2-=x y ，求出2F 关于l 的对称点2‘F ，则2‘F 的

坐标为（4，2）（如图）， 直线21‘F F 的方程为023=+-y x 。

∴???=-+=+-.04,023y x y x ，解得???

????==.23,25y x ∴)23,25(M 即为所求的点.此时，=+21MF MF 2'1MF MF +2'1F F ==102

(2)设所求椭圆方程为122

22=+b

y a x ，∴,2,10==c a ∴.6410222=-=-=c a b ∴所求椭圆方程为16

102

2=+y x . 3. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A 组第一题）改编 已知点),(y x M 的坐标满足如下方程：试求点M 的轨迹方程.(1)

6)2()2(2222=-++++y x y x ； (2) 4)3()3(2222=+--++y x y x ； (3) 2)2(22-=++x y x

解：(1)15922=+y x ；(2) 15

42

2=-y x （x>0）；(3) x y 82= ； 4.原题（选修2-1第四十九页习题2.2A 组第七题及第六十二页习题2.3A 组第五题）改编 在平面内，已知E （-2，0），F （2，0），圆E 是以E 为圆心，半径为r 的圆，P 是圆E 上任意一点，线段 FP 的垂直平分线l 和半径EP 所在的直线交于点Q ，当点P 在圆上运动时，（1）若r=6,点Q 的轨迹方程为 ；（2）若r=2, 点Q 的轨迹方程为 .

解：（1）15

922=+y x （2）132

2=-y x 5. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A 组第八题）改编 已知椭圆与双曲线22221x y -=共

0）（1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．

解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为22

11

22

x y -=1，则c=1．∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为22

221

x y a a +-=1

0），∴22201a a +-=1，即2a =2，∴椭圆方程为2

22

x y +=1． （2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b ，弦的中点坐标为（x ，y ），则 y=2x+b

且 2

22

x y +=1得2298220x bx b ++-=，∴1289b x x +=-，1229b y y +=．即x=49b -，y=9b ，两式消掉b 得 y=14

-

x ．令△=0，226436(22)0b b --=，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3，即当x=±43

时斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦得中点轨迹方程为：y=1

-x （4-≤x≤4）．

解：∵双曲线22

11620x y -=得：a=4，由双曲线的定义知||P 1F |-|P 2F ||=2a=8，|P 1F |=9，

∴|P 2F |=1＜（不合，舍去）或|P 2F |=17，故|P 2F |=17．

7．原题（选修2-1第六十二页习题2.3B 组第四题）改编 经过点A （2，1）作直线L 交双曲线2

2

12y x -=于1P ，2P 两点，求线段1P 2P 的中点P 的轨迹方程． 解：设直线L 的方程为y=k （x-2）+1，（1）；将（1）式代入双曲线方程，得：

2222(2)(42)4430k x k k x k k -+--+-=，

（2）； 又设1P （1x ，1y ），2P （2x ，2y ）

，P(x ，y)，则1x ，2x 必须是（2）的两个实根，所以有1x +2x =22422

k k k -- (2k -2≠0)．按题意，x=122x x +，∴x=2222k k k --．因为(x ，y)在直线（1）上，所以y=k(x-2)+1=222(2)2

k k k k ---+1=22(21)2k k --．再由x ，y 的表达式相除后消去k 而得所求轨迹的普通方程为22

14()8(1)2177y x ---=，这就是所求的轨迹方程． 8．原题（选修2-1第六十九页例4及第八十一页复习参考题B 组第七题）改编 已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且()0>=λλ，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）求证：BM AM ⊥；（3）证明：AB FM ?为定值；（4）设ABM ?的面积为Ｓ，试求Ｓ的最小值．

解：（1）设),(y x M ,),(11y x A ,),(22y x B ,因为x y 21'=，1'|211x y x x == ，1'|2

12x y x x == 切线AM 的方程为111)(21y x x x y +-= ，切线BM 的方程为222)(21y x x x y +-= 设直线AB 的方程为：1+=kx y ，

由???=+=x y kx y 41

2 得0442=--kx x ，k x x 421=+，421-=x x

将切线AM ，BM 的方程联立得k x x x 2221=+=，12112

21y x x x y -+==14121-=x x 故点M 的轨迹方程为1-=y ，即为抛物线的准线.

(2)由（1）知14121-==

x x k k BM AM ，故BM AM ⊥. （3）10

211-=---=k k k k FM AB ,故AB FM ?为定值． （4）S=FM AB 21=44]4))[(1(212212212+-++k x x x x k =4()2321k +4≥（当0=k 时取“=”）

9．原题（选修2-1第七十二页练习题3）改编 过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与抛物线)0(22>=p px y 交于不同的两点A 、B ，试确定实数a 的取值范围，使||2AB p ≤． 解：由题意，直线l 的方程为a x y -=，将px y a x y 22=-=代入，得

0)(222=++-a x p a x ．

设直线l 与抛物线的两个交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，

则 ?????=+=+>-+.

),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a

又a x y a x y -=-=2211,， ∴221221)()(||y y x x AB -+-=]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=． ∵ 0)2(8,2||0>+≤

2p a p -≤<-． 故]4,2(p p a --∈时，有||2AB p ≤． 10. 原题（选修2-1第七十三页习题2.4A 组第五题）M 是抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角60xFM ∠= ，求|FM|.

改编：抛物线22y px =（p >0），F 是其焦点，过点F 作射线FM 交抛物线于点M ，且以Fx 为始边、FM 为终边的角xFM θ∠=,2πθ∈（0，）,则|MF|<2p 的概率是 .

解：作抛物线的准线l :2

p x =-,l 与x 轴交于点G ，过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点M 作M N

⊥l 于点N ，则由抛物线的定义及平面几何知识有|MF|=|MN|=|GE|=|GF|+|FE|=p +|MF|cos θ?，则|MF|=1cos p θ-,又∵2πθ∈（0，）,∴由21cos p p θ<-得10cos 2θ<<∴32

ππθ<<，∴

|MF|<2p 的概率1

23=3

02π

ππ--

11. 原题（选修2-1第七十三页习题2.4A 组第六题）改编 直线l 与抛物线22y x =相交于A 、B 两点，O 为抛物线的顶点，若OA ⊥OB ．则直线l 过定点

解：设点A ，B 的坐标分别为（1x ，1y ），（2x ，2y ）

（I ）当直线l 存在斜率时，设直线方程为y=kx+b ，显然k ≠0且b ≠0．联立方程得：

2,2y kx b y x =+=消去y 得222

(22)0k x kb x b +-+=，由题意：1x 2x =2

2b k ，12122()()b y y kx b kx b k =++=，又由OA ⊥OB 得12120x x y y +=，即 2220b b k k

+=，解得b=0（舍去）或b=-2k ，故直线l 的方程为：y=kx-2k=k （x-2），故直线过定点（2，0）

（II ）当直线l 不存在斜率时，设它的方程为x=m

，显然m ＞0，联立方程2

,2x m y x ==解得 y =1y 2y =-2m ，又由OA ⊥OB 得12120x x y y +=，即22m m -=0，解得m=0（舍去）或m=2，可知直线l 方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．

12. 原题（选修2-1第八十一页复习参考题B 组第一题）改编 已知F 1、F 2分别为椭圆19

162

2=+y x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，求21F PF ?的面积.

解：依题意，可知当以F 1或F 2为三角形的直角顶点时，点P 的坐标为94?

?± ???

，则点P 到x 轴的距离为49，此时21F PF ?的面积为4

79；当以点P 为三角形的直角顶点时，点P 的坐标为3779>，舍去。故21F PF ?的面积为4

79. 13. 原题（选修2-1第八十七页例题）改编 已知B A O 、、三点共线，且n m += )0(>∈mn R n m 且、，则n

4m 1+的最小值为 . 解：由B A O 、、三点共线，且OB n OA m OP +=得，1=+n m 。故

?+=+)(4m 1n m n )4m 1(n +=5+n m n 4m +,又0>mn ，94254m 1=?+≥+∴n

m m n n （当且仅当224m n =时取等号），故n

4m 1+的最小值为9. 14. 原题（选修2-1第九十二页练习题1）改编 在正三棱柱111C B A ABC -中,11BC AB ⊥,则

=1BB AB ( ) A.1 B.2 C.22 D . 2 解：B

15. 原题（选修2-1第一百一十三页习题3.2A 组第12题）改编 一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与其中一个半平面所成的角为?30，与二面角的棱所成的角为?60，则它与另一个半平面所成的角为 .

解：?45

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