三角函数中三角变换常用的方法和技巧

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

一、角的变换

当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果． 例1 函数y 2sin

π π

． x cos x (x R)的最小值等于（ ）

3 6

（C） 1

（D

）（A） 3 （B） 2

解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：

π π π

x x ，所以将函数f(x)的表 3 6 2

达式转化为f(x) 2cos 选（C）．

π π π

故f(x)的最小值为 1．故 x cos x cos x ，

6 6 6

评注：常见的角的变换有： ( ) ，2 ( ) ( )，

2 ( )，

2

2

，

3π π π

( )， 4 4 2

π π

．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往

44

会发现角之间的关系． 例2、已知 cos

111

,cos( ) , , 均是锐角，求cos 。 714

cos cos[( ) ] cos( )cos sin( )sin .

解：

45111541

sin ,sin( ） 。 cos ( ) 。

7141471472

小结：本题根据问题的条件和结论进行 [( ) ]的变换。 例3、已知cos( 2 )

1 2

. ,sin(- )=,且 ,0 ,求cos

922223

分析：观察已知角和所求角，可作出余弦的差角公式求角。

2

(

2

) (

2

)的配凑角变换，然后利用

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

2

,0

2

2

,

4

2

,

4

2

2

.

解：sin(

2

) (

)

2 cos

1 45,)9925 ( ) ,

3

3

2

2

cos[(

2

) (

154275

)] .2939327

例4、已知sin msin(2 ),求证：

tan( )

1 m

tan (m 1). 1 m

分析：由角的特点，因已知条件所含角是2 , ,所证等式含角 , ,所以以角为突破口。

2 ( ) , ( ) , sin[( ) ] msin[( ) ],即sin( )cos cos( )sin 证明： msin( )cos mcos( )sin ,

(1 m)sin( )cos (1 m)cos( )sin

1 m

m 1 tan( ） tan .

1 m

小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，在三角变换中角的变换很重要。

二、函数名称变换

三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决．

例1、若sin（α+β）=

11tan , sin （α—β）＝，求 210tan

解：由sin=（α+β）=

11, s in （α—β）＝得 210

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

1

sin cos cos sin 31 2

解得sin cos ,cos sin

105 sin cos －cos sin 1

10

∴

3tan sin cos

＝＝

sin 2tan cos

πcos2x

例2、当0 x 时，函数f(x) 的最小值是（ ）．

4cosxsinx sin2x

1

4

解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于sinx与cosx的齐二次式，所以，分子

π2

与分母同时除以cosx转化为关于tanx的函数进行求解．因为0 x ，所以

4

（A）4 （B）

（C）2 （D）

1 2

0 tan 1，所以f(x)

11

． ≥4．故选（A）22

tanx tanx1 1

tanx

2 4

评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的

两种方法：

（1）若所给的三角式中出现了“切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明；

（2）若所给的三角式中出现了“弦函数”与“切函数”，有时可以利用公式tanx 将“弦函数”化为“切函数”进行解答． cos100

例3

、化简：(tan10

sin500

sinxcosx

sin100cos100 2cos400

2 解：原式 (

cos100sin500sin500

2sin cos

例4、已知tan( ) 3，求2的值。

4sin sin cos 1

tan( ) 1 解：∵tan tan( ) 2， 441 tan( )

4

∴

2sin cos 2sin cos 2tan 4

2 222

sin sin cos 1sin sin cos sin cos 2tan tan 17

2

点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。

三、升幂与降幂变换

分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一．

π

sin

4 例1、 已知

为第二象限角，且sin 的值．

sin2 cos2 1分析：由于已知条件中知道sin 的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与 有关的

复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答．

cos )

cos ) 解：原式

2sin cos 2cos2 4cos (sin cos )

当

为第二象限角，

且sin

co s 时，sin

0cos ，

1

，所

以4

π

sin 4 sin 2 co s 2o评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1．

4sin20 8sin320 例2、求值：

2sin20 sin480

解：原式：＝

=

4sin20 (1 2sin220 )

sin20

＝

4sin20 cos40

3sin20

=

2sin(40 20 ) 4sin20 cos40

sin20

2(sin40 cos20 cos40 sin20

3sin20

＝

23

3

＝

2sin(40 20 )

sin20

注：怎样处理sin320°和3是本题的难点，解决的方法是“降幂”和“常数变换法”。

四、常数变换 例1、已知tan

1 π

的值． 2，求2

2sin cos cos 4

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

分析：由已知易求得tan 的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为sin cos ，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解．

解：由tan

2

2

1 π 1 tan

2，得tan ，

3 4 1 tan

sin2 cos2 tan2 12

．

于是原式

2sin cos cos2 2tan 13

评注：对于题中所给三角式中的常数（如：12等），比照特殊角的三角函数3

值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用．

例2、 求值（

131

—）²

cos280ocos210ocos20

o

13cos210o－3cos280o

解：∵—＝

2o2o2o2o

cos80cos10cos80cos10

（cos10oo）（cos10oo）＝ 2o2o

cos10sin10

4（sin30ocos10o+cos30osin10o）（sin30ocos10o－cos30osin10o）＝

cos210osin210o4sin40osin20o16sin40oo ＝＝＝32cos20o

2osin20sin204

∴原式＝32

五、消参变换

当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决． 例1、已知sin msin(3 )，m 1且 求证：tan( )

πkπ

kπ(k Z)， (k Z)． 22

1 m

tan ． 1 m

分析：由于已知和结论中都含有参数m，所以我们可以把已知变形，求出

m，m

1 msin

tan 化简，即可证得等式成立． ，代入

1 msin(2 )

评注：在解答含有参数的等式证明问题时，我们往往可以采用这种办法．本例并未给出

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

证明过程，同学们可试着自己完成．

六、变换公式的方法

使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻，多向变幻，这是灵活，深刻地使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要。

三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。如cosα＝

sin2

，tanα±tanβ＝tan（α＋β）（1 tanαtanβ）等。

2sin

例1：求值：

tan12 3)csc12

2

4cos12 2

解：先看角，都是12°；再看“名”，需将切割化为弦，最后在化简过程中再看变换。

(

原式＝

sin12 1

3)

（切、割化为弦）

2

4cos12 2

123(sin12 cos12 )

sin12 3cos12 ==(逆用二倍角) 2

sin24 cos24 2sin12 cos12 (2cos12 1)

==

2(sin12 cos60 cos12 sin60 )

（常数变换）

sin24 cos24 4sin( 48 )4sin(12 60 )

（逆用差角公式）＝

sin48 2sin24 cos24

＝－４（逆用二倍角公式）

注：要养成逆用公式的意识，熟悉教材给出的三角基本公式的同时，如果我们熟悉其

他变通形式常可以开拓解题思路。

例2、求tan17 tan28 tan17 tan28 的值。

tan(17 28 )(1 tan17 tan28 ) tan17 tan28

解：原式= tan45 (1 tan17 tan28 ) tan17 tan28

1

小结：对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用

tan ( )

tan tan

的变形式tan tan tan( )(1 tan tan ).

1 tan tan

例3、求tan(

6

) tan(

6

) tan(

6

)tan(

6

)的值。

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

解： ) ( )] tan 3,

663

) )

) ( )]

66

1 ) )

66 ) )

66

又

[1 ) )]

66

原式 3[1 ) )] ) )

6666

例4、 若αβ为锐角且满足sinα—sinβ= —的值。

解：由题中条件把两等式平方相加得

sin2α—2sinαsinβ+sin2 β＋cos2α—2cosαcosβ+cos2β=

11

，cosα—cosβ=，求tan（α—β）22

1

2

13 ∵cos（α—β）＝ 24

1

∵α、β为锐角 sinα—sinβ＝—＜0

2

即2—2cos（α—β）＝∴ 0<α<β<

<α—β<0

22

∴s in（α—β

∴ tan（α—β）=

sin( )=

cos( )

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8o41.html