大学物理 冲量 动量 动量定理

§2-5 冲量 动量 动量定理

1. 动量定理重写牛顿第二定律的微分形式

F dt d p2

考虑一过程，时间从t1-t2,两端积分 p t F d t p d p p2 p1 t21 1

左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。

t I t F d t2 1

动量定理

得到积分形式

I p2 p1这就是动量定理：物体在运动过程中所受到 的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。 几点说明： (1)冲量的方向：

冲量I 的方向一般不是某一瞬时力 F i而是所有元冲量

的方向，

的合矢量 F dt

dt t1 F的方向。t2

动量定理

(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程

I x t1 Fx d t mv2 x mv1xt2

I y t1 Fy d t mv2 y mv1 yt2

I z t1 Fz d t mv2 z mv1zt2

(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。

持不变，曲线与t轴所包围的面积 就是t1到t2这段时间内力 F 的冲量 F 的大小，根据改变动量的等效性， 得到平均力。

打击或碰撞，力 F 的方向保 F

t1

t2 t

动量定理

(4)动量定理在处理变质量问题时很方便。 (5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其 适用范围是惯性系。 (6)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。例 题 2-6 质 量 M=3t 的 重 锤 ， 从 高 度 h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工 件发生形变。如果作用的时间(1) =0.1s, (2) =0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。

Nh

解：以重锤为研究对象，分析受力， 作受力图：

Mg

动量定理

解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用 平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。 在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。

( N Mg ) Mv Mv0 初状态动量为 M 2 gh 末状态动量为0得到 ( N 解得

Mg ) M 2 gh

N Mg M 2gh / 3

代入M、h、 的值，求得： (1)

N 3 10 (9.8 2 9.8 1.5 / 0.1) 5 1.92 10 牛顿

动量定理

(2)

N 3 10 (9.8 2 9.8 1.5 / 0.01) 6 1.9 10 牛顿3

解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过 程，动量变化为零。 重力作用时间为

2h / g

支持力的作用时间为 根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即

N Mg ( 2h / g ) 0得到相同的结果

N Mg M 2gh /

动量守恒定律

2. 动量守恒定律若质点系所受的合外力(或合外力的冲量)为 零，质点组的总动量将保持不变，即当 Fi 0 时， 质点组总动量：

P mi vi 常矢量i

注意： 1.定律成立的条件：不受外力(或合外力为零)。 2.系统内部作用对系统总动量无影响 3.有相应的分量式

4.动量守恒定律的

适用范围要大于牛顿运动定律

动量守恒定律的应用

用火箭发射卫星

变质量问题

变质量问题的处理方法 (1)确定研究系统 (2)写出系统动量表达式 (3)求出系统动量变化率 (4)分析系统受力

(5)应用动量定理求解例1:匀加速提柔软链条 例2:装煤车的牵引力

变质量问题

例1:一长为l,密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量 为 ,将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住 链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。当链条端点 离地面的高度为x时，求手提力的大小。

解：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立 坐标系。 t时刻，系统总动量 P xv X v

dx dv dP d ( xv) v x dt dt dt dt

a

xO

v ax2

变质量问题

系统动量对时间的变化率为：

dP 2 ax ax 3 ax dtt时刻，系统受合外力

F xg N (l x) g

X

F

F xg根据动量定理，得到

a

xO

xg N

dP F xg 3 ax dt F xg 3 xa

(l x) g

变质量问题

例2:列车在平直铁轨上装煤,列车空载时质量为m0,煤炭 以速率v1竖直流入车厢,每秒流入质量为 。假设列车与轨 道间的摩擦系数为 ,列车相对于地面的运动速度v2保持不 变,求机车的牵引力。

解： 车和煤为系统,向下为Y正向， 向左为X正向，建立坐标系。 v2 t t+dt时刻，dm = dt

X

v1

Y

P (t ) (m0 t )v2 dt v1 P (t dt ) (m0 t dt )v2 dP P (t dt ) P (t ) (v 2 v1 ) dt

dP F f N (m0 t ) g dt 1 v 2 v1竖直

变质量问题

(m0 t ) g N v1 N v1 (m0 t ) g

X

水平

F f v2 F v2 f

v2

N v1 F f

Y

v2 N (m0 t ) g (v2 v1 )

(m0 t ) g

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