2014昌平二模

北京市昌平区2014届高三4月第二次统练（二模）

数 学 试 卷（文 科） 2014.4

考生须知：

10.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

11.答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。 12.答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

13.修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。

14.考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

(1) 在复平面内，复数i(1?i)对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限

（D）第四象限

(2) 已知等差数列{an}中，a2?4,a6?12，则{an}的前10项和为

（A）90 （B）100 （C）

110 （D）120

c2?a2 (3) 在?ABC中，若2?1，则?C的大小为

b?ab（A）

(4) 已知命题p:?x?R,使得x??2?5??? （B） （C） （D）

36631?2；命题q:?x?R,x2?0.则下列命题为真命题的是 x（A）p?q （B）p?q （C）p??q （D）p??q (5) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （A）12 （B）36

46主视图 主视图 3左视图 左视图

俯视图 俯视图

（C）24

（D）72

(6) 下列函数中，对于任意的x1,x2?R，满足条件（A）y?log2x （B）y??f(x2)?f(x1)?0(x1?x2)的函数是

x2?x11 （C）y?2x （D）y?tanx x

(7)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天的回报比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报是前一天的两倍.

若投资的时间为8:10天，为使投资的回报最多，你会选择哪种方案投资？ （A）方案一 （B）方案二 （C）方案三 （D）都可以

?1??1, x?1,(8) 已知f(x)??x，若f(x)?k(x?1)恒成立，则k的取值范围是

??lnx, 0?x?1（A）(1,??) （B）(??,0] （C）(0,1)

（D）[0,1]

第二卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）

(9) 若直线ax?2y?1?0与直线2x?3y?1?0平行，则a?______ .

?x?y?5?0,?(10) 已知实数x,y满足?x?3,则z?x?2y的最小值为_____ .

?x?y?0,?3x2y2(11) 已知双曲线2?2?1,(a?0,b?0)的焦距为10，一条渐近线的斜率为，则此双曲线的标

4ab准方程为______，焦点到渐近线的距离为_____ .

(12) 执行右边的程序框图，若输入的N是4，

则输出p的值是______ .

(13)已知矩形ABCD中，AB?2,BC?1，在矩形ABCD内随机取一点M,则?AMB?90的概

率为__________ .

?uuuruuur(14) 在边长为2的菱形ABCD中，?BAD?60，若P为CD的中点，则AP?BD的值为____;若

?uuuruuuruuuruuur点E为AB边上的动点，点F是AD边上的动点，且AE??AB，AF?(1??)AD， 0???1，

uuuruuur则DE?BF的最大值为________ .

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

(15)(本小题满分13分)

已知函数f(x)?cosx(3sinx?cosx),x?R. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期及值域； （Ⅱ）求f(x)单调递增区间. (16)(本小题满分13分)

某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得到的频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）根据图中数据求a的值

0.035频率/组距频率/组距

0.03a0.010.0050（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取 6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3，4，5组 各抽取多少名新生？

时间 （分钟）时间（分钟） （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动，求

1020304050第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

(17)(本小题满分14分)

M是DD1的中点. 已知正四棱柱ABCD?A1BC11D1中，

（I）求证：BD1//平面AMC； （II）求证：AC?BD1；

（III）在线段BB1上是否存在点P，当

BP平面A??时，1PC1//BB1平

面AMC？若存在，求出?的值并证明；若不存在，请说明理由.

(18)(本小题满分13分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d?2，且S5?4a3?6. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设数列{bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn. an

(19)(本小题满分13分) 已知函数f(x)?a3x?x2?2ax?1，f'(?1)?0. 3（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）如果对于任意的x?[?2,0)，都有f(x)?bx?3，求b的取值范围.

(20)(本小题满分14分)

x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦点为F点P是椭圆C上的一点，PF1,0),F2(1,0)，1(?1ab与y轴的交点Q恰为PF1的中点，OQ?（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若点A为椭圆的右顶点，过焦点F1的直线与椭圆C交于不同的两点M,N,求?AMN面积的取值范围.

3 . 4

北京市昌平区2014届高三4月第二次统练（二模） 数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2014.4

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 题 号 答 案

（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） A C C B A C B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.） （9）?4 （10）?3

x2y2??1（11）16； 3 （12）24 9（13）1??3； （14）1 ；? 42（注：第一空2分，第二空3分）

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

(15)(本小题满分13分)

解：(Ⅰ) 因为f(x)?cosx(3sinx?cosx) ?3sinxcox?s2 s ………1分 cox?311sin2x?cos2x? ………3分 222 ?sin(x2?所以T??1?) ， ………4分 622??? . ………6分 2因为x?R， 所以?1?sin(2x?所以??6)?1. ………7分

1?13?sin(2x?)??. 262213所以f(x)的值域为[?,]. ………8分

22 (Ⅱ) 因为 ??2622???2k??2x??2k? . ………11分 所以 ?33

?2k??2x?????2k?， ………10分

所以??3?k??x??6?k?. ………12分

所以函数f(x)的单调递增区间为[?(16)(本小题满分13分)

?3?k?,?6?k?],(k?Z). ………13分

解：（Ⅰ）因为(0.005?0.01?a?0.03?0.035)?10?1, ………1分 所以a?0.02. ………2分 （Ⅱ）依题意可知，

第3组的人数为0.3?100?30， 第4组的人数为0.2?100?20， 第5组的人数为0.1?100?10.

所以3、4、5组人数共有60. ………3分 所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名新生,分层抽样的抽样比为

61?. ………4分 60101?3人 ， 所以在第3组抽取的人数为30?101?2人， 在第4组抽取的人数为20?101?1人， ………7分 在第5组抽取的人数为10?10（Ⅲ）记第3组的3名新生为A1,A2,A3,第4组的2名新生为B1,B2,第5组的1名新生为C1.

则从6名新生中抽取2名新生，共有:

(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1), (A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………9分

其中第4组的2名新生B1,B2至少有一名新生被抽中的有:

(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)共有9

种, …………11分

则第4组至少有一名新生被抽中的概率为P?

(17)(本小题满分14分)

BD交AC于N，连结MN. 解：（Ⅰ）在正四棱柱ABCD?A1BC11D1中,连结

93? …………13分 155

因为ABCD为正方形，

所以N为BD中点. ………1分 在?DBD1中， 因为M为DD1中点，

所以BD1∥MN. ………2分 因为MN?平面AMC，BD1?平面AMC， ………4分 所以BD1∥平面AMC. ………5分 (Ⅱ) 因为ABCD为正方形，

所以AC?BD. ………6分 因为DD1?平面ABCD，

所以DD1?AC. ………7分 因为DD1IBD?D, ………8分 所以AC?平面BDD1. ………9分 因为BD1?平面BDD1，

所以AC?BD1. ………10分 （Ⅲ）当??D1A1MPDANBB1C1QC1，即点P为线段BB1的中点时，平面A1PC1//平面AMC.…11分 2 因为AA1//CC1且AA1?CC1，

所以四边形AAC11C是平行四边形.

所以AC//AC11. ………12分 取CC1的中点Q，连结MQ,QB. 因为M为DD1中点， 所以MQ//AB且MQ?AB，

所以四边形ABQM是平行四边形.

所以BQ//AM. ………13分 同理BQ//C1P.

所以AM//C1P.

因为AC11?C1P?C1，AC?AM?A，

所以平面A1PC1//平面AMC. ………14分

(18)(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）因为公差d?2，且S5?4a3?6，

所以5a1?5?4?2?4(a1?(3?1)?2)?6. ………2分 2 所以a1?2. ………4分 所以等差数列{an}的通项公式为an?2n. ………5分 (Ⅱ)因为数列{bn}是首项为1，公比为c的等比数列， an 所以

bn?cn?1. ………6分 an 所以bn?an?cn?1?2n?cn?1. ………7分 （1）当c?1时，bn?2n. ………8分 所以Tn?n(2?2n)?n(n?1)?n2?n. ………9分 2（2）当c?1时，Tn?b1?b2?b3?L?bn?1?bn

因为Tn?2?c0?4?c1?6?c2?L?2(n?1)?cn?2?2n?cn?1 ① ………9分

cTn?2?c1?4?c2?6?c3?L?2(n?1)?cn?1?2n?cn ②………10分

①-②得

(1?c)Tn?2?c0?2?c1?2?c2?L?2?cn?1?2n?cn ………11分

?2(c0?c1?c2?L?cn?1)?2n?cn

2(1?cn)??2n?cn ………12分

1?c

2(1?cn)2n?cn ………13分 Tn??(1?c)21?c

(19)(本小题满分13分)

解：(Ⅰ) 因为f'(x)?ax2?2x?2a， ………1分

因为f'(?1)?0，

所以a??2. ………2分 所以f'(x)??2x2?2x?4 ??2(x2?x?2)

??2(x?1)(x?2).

令f'(x)?0，解得x1??1,x2?2. ………3分 随着x的变化，f'(x)和f(x)的变化情况如下：

x f'(x) f(x) (??,?1) ? ?1 0 (?1,2) 2 0 (2,??) ? ? ↗ ↘ ↘ 即f(x)在(??,?1)和(2,??)上单调递减，在(?1,2)上单调递增. ………6分 (Ⅱ) 因为对于任意的x?[?2,0)，都有f(x)?bx?3，

23x?x2?4x?1， 3224所以b??x?x?4?. ………8分

3x224设h(x)??x?x?4?.

3x44因为h'(x)??x?1?2， ………9分

3x即bx?3??又因为x?[?2,0)， 所以?44x?0,2?0. ………10分 3x所以h'(x)?0.

所以h(x)在[?2,0)上单调递增. ………11分 所以hmin(x)?h(?2)?4. ………12分 3

即b?4. ………13分 3

(20)(本小题满分14分)

解：（I）因为Q为PF1的中点，O为F1F2的中点，OQ? 所以PF2//OQ，且PF2?2OQ? 所以PF2?F1F2.

因为F,0),F2(1,0)， 1(?1所以PF1?223， 43. ………1分 2F1F2?PF2?5. ………2分 253??4, ………3分 22所以a?2,b2?a2?c2?3.

因为2a?PF1?PF2?x2y2??1. ………4分 所以椭圆C的方程为43（Ⅱ）设过点F1(?1,0)的直线l的斜率为k,显然k?0.

（1）当k不存在时，直线l的方程为x??1，

所以MN?3. 因为A(2,0)，

19所以S?AMN?MNAF1?. …………5分

22（2）当k存在时，设直线l的方程为y?k(x?1).

?y?k(x?1),?由?x2y2,消y并整理得:

?1??3?4(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0. …………6分

设M(x1,y1),N(x2,y2),则

?8k24k2?12x1?x2?，x1?x2?. …………7分

3?4k23?4k2 因为MN? ?(x2?x1)2?(y2?y1)2 (1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] 264k44(4k2?12) ?(1?k)[?] 222(3?4k)3?4k12(k2?1) ?， …………8分

3?4k23k 又因为点A(2,0)到直线y?k(x?1)的距离d?， …………9分

2k?1

1?d?MN 23k112(k2?1) ?? ?2223?4kk?1 所以S?AMN?kk2?1 ?18?

3?4k2k2(k2?1) ?18 (3?4k2)2k4?k2 ?18 249?24k?16k11?2k ?18 …………10分 924??16k4k21 设m?2，则

k1?m S?AMN?18 29m?24m?161 ?18 29m?24m?16m?11 ?18 29(m?1)?6(m?1)?1m?11 ?18. …………11分

19(m?1)??6m?1 因为m?0,

所以m?1?1.

11因为函数f(x)?9x?在(,??)上单调递增， …………12分

3x1?10. 所以9(m?1)?m?11?6?16. 所以9(m?1)?m?111所以?.

19(m?1)??616m?1所以19(m?1)?1?6m?1?1. 4

所以1819(m?1)?1?6m?1?9 29. …………13分 29综合（1）（2）可知 0?S?AMN?. …………14分

2所以0?S?AMN?

【各题若有其它解法，请酌情给分】

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8nh6.html