高考数学课时作业31

课时作业31 数列的概念与简单表示法

一、选择题

2468

1．数列3，－5，7，－9，…的第10项是( ) 16A．－17 20C．－21

18B．－19 22D．－23

解析：所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{an}的通项公式an＝(－1)

答案：C

2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( )

A．15 C．－12

B．12 D．－15

n＋1

2n20·，故a10＝－21. 2n＋1

解析：由题意知，a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.

答案：A

n1

3．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则a等于( )

n＋155

A.6

6B.5

1C.30

D．30

n－1n11

解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n＝，所以a＝

n＋1n?n＋1?5

5×6＝30.

答案：D

4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对33

任意的n∈N都成立，于是有3>2λ，λ<2.由λ<1可推得λ<2，但反过

*

3

来，由λ<2不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件，故选A.

答案：A

5．(2017·衡水中学一调)已知前n项和为Sn的正项数列{an}满足1

lgan＋1＝2(lgan＋lgan＋2)，且a3＝4，S2＝3，则( )

A．2Sn＝an＋1 C．2Sn＝an－1

B．Sn＝2an＋1 D．Sn＝2an－1

2

解析：依题意，an＋1＝anan＋2，故数列{an}为等比数列．由a3＝4，n

1－2

S2＝3，解得a1＝1，q＝2，故an＝2n－1.Sn＝＝2n－1＝2an－1，故

1－2

选D.

答案：D

6．(2017·郑州一中一联)在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an

＋an＋1＋an＋2为定值，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝( )

A．132 C．68

B．299 D．99

解析：因为在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2

为定值，所以对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3，即an＋3＝an，所以数列{an}是以3为周期的周期数列．又因为a7＝2，a9＝3，a98＝4，所以a1＋a2＋a3＝2＋3＋4＝9，所以S100＝33×(a1＋a2＋a3)＋a100＝33×9＋2＝299.

答案：B 二、填空题

7．数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a7＝________.

解析：由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2.能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.

答案：1

8．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝________. 解析：当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，得a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.

答案：2n－1

9．若数列{an}满足a1＝－1，n(an＋1－an)＝2－an＋1(n∈N*)，则数

列{an}的通项公式是an＝________.

解析：∵n(an＋1－an)＝2－an＋1，∴(n＋1)an＋1－nan＝2，∴数列{nan}3是首项为－1，公差为2的等差数列，∴nan＝2n－3，∴an＝2－n. 3

答案：2－n 三、解答题

n＋2

10．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝3an. (1)求a2，a3.

(2)求{an}的通项公式．

4

解：(1)由S2＝3a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3. 5

由S3＝3a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 3

解得a3＝2(a1＋a2)＝6. (2)由题设知a1＝1.

n＋2n＋1

当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝3an－3an－1， n＋1

整理得an＝a－.于是a1＝1，

n－1n13

a2＝1a1， 4

a3＝2a2， ……

n

an－1＝a－，

n－2n2

n＋1an＝a－.

n－1n1

将以上n个等式两端分别相乘， n?n＋1?

整理得an＝2. 显然，当n＝1时也满足上式． n?n＋1?

综上可知，{an}的通项公式an＝2. n＋11

11．(2017·安徽合肥质检)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2nan，n∈N*.

?an?

(1)求证：数列?n?为等比数列；

??

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

n＋1an＋11an?an?1

??解：(1)证明：由an＋1＝2nan知＝·.所以n是以2为首项，??n＋12n1

2为公比的等比数列．

?an?11an?1?n

(2)由(1)知?n?是首项为2，公比为2的等比数列，所以n＝?2?，所

????

n

以an＝2n.

12n

所以Sn＝21＋22＋…＋2n① 112n

则2Sn＝22＋23＋…＋n＋1，②

2

n＋211111n

①－②，得2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n＋1＝1－n＋1，所以Sn＝2

22n＋2

－2n.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8nbt.html