6理想流体动力学

第六章 理想流体动力学

工程实际问题中事实上不存在无粘性的理想流体，但是在分析研究工程中的流动现象时，有时将流体视为理想流体以简化研究，由此得到的结果在适当修正后仍有相当高的工程精度。在本章以下讨论中，都将忽略流体的粘性。

本章同时假定研究的流动是定常的，因而先后通过同一空间点的流体质点的物理量都不随时间变化，由于这些物理量，如压强，速度分量都以欧拉法表示，因此它们都是空间或平面上点的位置的坐标函数，与时间无关。

§6.1 流体微团的运动分析

6.1.1 亥姆霍兹速度分解定理

在定常流动中，以欧拉法表示的流体质点速度的三个投影vx,vy,vz都是质点所在位置的坐标数。设一空间点M0的坐标为

x,y,z的函

x,y,z，它邻域内另一空间点M1的坐标为x?dx,y?dy,z?dz，在一确定

时刻，M0处流体质点的速度投影vx是以这点坐标给出的函数值，同一时刻，位于M1处水质点速度在x轴上投影v?x是M1点坐标按同一函数确定的另一确定值。由于vx是一多元函数，v?x的近似值可以按泰勒展开原则以vx及其导函数表示：

v?x?vx??vx?vx?vxdx?dy?dz ?x?y?z根据需要，将上式整理成为：

v?x?vx?或

?vx1?vx?vy1?vx?vz1?vx?vz1?vy?vxdx?(?)dy?(?)dz?(?)dz?(?)dy?x2?y?x2?z?x2?z?x2?x?y

v?x?vx??xxdx??xydy??xzdz??ydz??zdy

上式中?xx,?xy,?xz,?y,?z的定义见式（6-2）

同样，M1处流体质点的速度矢量在y,z轴上投影v?y和v?z也可以导出类似的表达式，现将三个投影表达式写出如下：

v?x?vx??xxdx??xydy??xzdz??ydz??zdyv?y?vy??yxdx??yydy??yzdz??zdx??xdz （6-1） v?z?vz??zxdx??zydy??zzdz??xdy??ydx式中，

?vx?vy?vz，?yy?，?zz??x?y?z1?vx?vy?xy??yx?(?)2?y?x1?vy?vz?yz??zy?(?)2?z?y1?vz?vx ?zx??xz?( （6-2） ?)2?x?z1?vz?vy?x?(?)2?y?z1?vx?vz?y?(?)2?z?x1?vy?vx?z?(?)2?x?y?xx?不难理解，由式（6-2）定义的各个系数，在定常流动中，都是地点坐标x,y,z的函数且应取M0处的坐标值。式（6-1）表明，M0点邻域内M1点处流体质点的速度投影可以用M0处速度投影及它们在M0处的导数近似表示，这一表示称为亥姆霍兹速度分解定理。

6.1.2 速度分解的物理意义

下面分析式（6-2）定义的各项的物理意义。为清楚说明问题，考查一结构较简单的平面流动。这种情况下，流体质点都在xoy平面上流动，速度矢量在z轴投影Vz?0，在定常流动的欧拉表达式中，速度在x,y

轴上投影Vx,Vy只是平面坐标x,y的函数。于是，式（6-2）中?zz方程（6-1）简化为

??yz??zy??zx??xz??x??y?0，

v?x?vx??xxdx??xydy??zdyv?y?vy??yxdx??yydy??zdx （6-3）

在xoy平面上取一各边与坐标轴平行的矩形流体微团，通过分析这一平面流体微团的运动与变形即可认识式（6-2）中各非零项的物理意义。这里应说明，流体微团与流体质点是两个不同的概念。流体质点指可以忽略尺寸的流体最小单元，大量连续分布的流体质点构成了一流体微团，流体微团在随流运动中可以改变其空间位置和形状。

1.平移运动。

图6.1a中，平面矩形流体微团四个顶点A、B、C、D所在点坐标为(x,y)，(x+dx,y),(x+dx,y+dy),(x,y+dy).A点处流体质点速度的在x,y轴投影分别为Vx,Vy，假设方程（6-3）中?xx（6-3）成为

??yy??xy??yx??z?0，方程

v?x?vx

v?y?vyyD′C′yυxdtA′DCB′eeC′eeBB′xDCυyydydtυydtABD′AυxdxdtOa)yxOb)yxC′D′dβdβABADCB′DdαD′dαC′CB′BOc)xOd)x

图6-1 平面流体微团速度分解

这表明，A点邻域矩形流体微团中任一流体质点与A点处流体质点运动速度完全相等，流体微团象刚体一样在自身平面作平移运动。

2.线变形运动

由于平面上B点与A点的x,y坐标差分别为dx和0，由泰勒展开，B点处流体质点速度x投影v?x可以用A点处的投影值vx及其导数表示：v?x?vx??vx?vxdx?dy?vx??xxdx。经过dt时间段，A处流体质点?x?y?(vx??xxdx)dt，两质点在水平方向距离

向右水平位移vxdt（假定vx>0），B处流体质点水平右移v?xdt由原来的dx改变成为(vx??xxdx)dt?dx?vxdt??xxdxdt?dx，水平距离的改变量为

(?xxdxdt?dx)?dx??xxdxdt，那么，在单位时间单位距离上两流体质点水平距离的改变量显然为

?xxdxdt/dxdt??xx，这就是?xx一项的物理意义。同样可以说明，?yy是铅垂方向上两流体质点在单位时

间单位距离上距离的改变量。如果?xx和?yy都不等于0，原矩形ABCD的长边与短边都将随时间伸长或缩短，变成一新的矩形

3.旋转运动

设A点处流体质点静止，即vx形运动，再假定?xyAB?C?D?，如图（6-1b）。矩形边的这种伸缩变形叫流体线变形运动。由于刚体的固体质点

之间连线长度不会变化，因而刚体在运动中不存在这种线变形运动。

?vy?0，B点与A点y坐标差dy?0，令?xx??yy?0，即流体无线变

??yx?0，由式（6-3），B点处流体质点v?x?0,v?y??zdx，即B点处流体质点向

???zdy,v?y?0，质点D向左运动，（假定?z?0）

上运动；在类似假定下，可以得到D处流体质点v?x或者说，AB和AD以相同的角速度?z绕A点同向旋转，因而流体微团以这一角速度逆时针绕A点旋转。如图（6-1c）。这种运动与刚体作绕轴旋转的方式一致。

4.纯剪变形运动

设A点处流体质点静止，即vx?vy?0，同时假定?xx??yy??z?0，即流体微团设有发生线变形，

也未绕A点旋转。B点与A点y坐标之差dy =0,由方程（6-3）可得到流体质点B点的v?x即质点B向上运动（设?yx点向右运动（设?xy形

?0,v?y??yxdx，

?0），在类似假定下，可以得到D点流体质点v?x??xydy,v?y?0，D处流体质

??yx?0），B、D两流体质点这种运动的结果，使原平面矩形微团ABCD变成一平行四边

A?B?C?D?，如图（6-1d）。流体微团的这一运动称为纯剪变形运动。这种变形运动也是流体特有的，刚体

上面分析了平面流体微团的变形形式，即微团除平面平移和旋转外，还可能发生线变形和纯剪变形运动，

固态质点不可能出现这种运动。

这些运动实际是同时发生的。这一分析可以推广到空间，式（6-2）定义的全部符号的物理意义在分析中得到了说明。

空间或平面每个点处都分布了一流体质点的速度矢量v，同时还可以在每个点处定义一旋转角速度矢量?，它在x,y,z 坐标轴上的投影分别是?x,?y,?z，即?=?xi+?yj+?zk，由于?x,?y,?z都是空间或平面上点的坐标x,y,z的函数，因而旋转角速度矢量也是以欧拉法表示的。

如果一个流动区域内处处?都是零矢量，即?x??y??z?0，或者说由式（6-2），下面关系成立

?vz?vy??y?z?vx?vz? （6-4） ?z?x?vy?vx??x?y这一区域内的流动称为无旋或有势流，否则流动是有旋的。有旋流动与无旋流动是两类性质有较大差别的流动。

值得注意的是，从上面分析还可以看出，一点处的旋转角速度矢量是描述局部流体微团旋转特征的一个物理量，一点处这一矢量不为零矢量，说明这点处的流体微团围绕微团中某一点旋转。流动是有旋或无旋与流动的宏观流线或迹线是否弯曲无关。

§6.2 速度势函数与流函数

6.2.1 速度势函数

在无旋的空间流动中，每点处的旋转角速度矢量?=?xi+?yj+?zk都是零矢量，这就要求

?x??y??z?0，即式（6-4）给出的关系成立。

1?v?v1?v?v则有；? x?(z?y)?0?y?(x?z)?02?z?x2?y?z

1?vy?vx?z?(?)?02?x?y?vy?v既； z??y?z?vy?vx?vx??vz??x?x?y?z由数学分析可知，如果三个关于x,y,z的函数vx,vy,vz满足关系式（6-4）时，vxdx?vydy?vzdz是一

个x,y,z的函数?(x,y,z)的全微分，即

d??vxdx?vydy?vzdz （6-5）

另一方面，??的全微分d?又等于

d????????dx?dy?dz （6-6） ?x?y?z比较式（6-5）和（6-6）可以得到

???????vx， ?vy， ?vz （6-7） ?x?y?z满足式（6-7）的由流动无旋条件确定的函数?(x,y,z)称为无旋流动的势函数。这就是无旋流又叫有势流的原因。对一个无旋流，如果求解出它的势函数，由式（6-7）就可以找到流场的速度分布，进一步可以得到流场的压强分布。寻求一个函数表达式显然要相对容易一些，这就是在无旋流中引入势函数的原因。

势函数有如下一些特征。

1.不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。 不可压缩三维流动的连续性方程为

?vx?vy?vz???0 ?x?y?z将式（6-7）代入上式得到

?????????()?()?()?0 ?x?x?y?y?z?z?2??2??2?或 ???0

?x2?y2?z2上面这一方程叫拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数叫调和函数，不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。

2.存在势函数?(x,y,z)的流动是一无旋流动。

流场中一点旋转角速度矢量在x轴上投影?x，由定义式（6-2），应为

?x?(1?vz?vy?)

2?y?z如果流动存在势函数中，那么?必须满足式（6-7），将式（6-7）代入上式，得到

1??????1?2??2??x?(()?())?(?)?0

2?y?z?z?y2?y?z?z?y同样可以证明?的另外两个投影?y??z?0，这就表明，当流动存在势函数时，流动区域内处处旋转

角速度矢量都是零矢量，流动是无旋的。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8nad.html