北大高等代数2-23

第二学期第二十三次课

§4 单变量有理函数域

9.4.1 域上的一元有理分式域的定义

设R为一整环，命S?{(b,a)|a,b?R,a?0}。现在S中规定?为

(b,a)?(d,c)?bc?ad

逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知?为一等价关系。用(b,a)表示与(b,a)等价的元素的全体。现记S关于?的等价类的集合为S，则(b,a)是S中的元素。下面

??在S?上定义二元运算：

(a,b)?(c,d)?(ad?bc,bd)

可以验证：

（1）?,?是良定义的，即与等价类代表元的选择无关； （2）(S(a,b)?(c,d)?(ac,bd)

?,?,?)对加法构成交换群，(S,?,?)?{0}对乘法也构成交换群，且加法和乘

?法满足分配律。

于是，(S,?,?)构成域，称之为R的分式域或商域，将(S,?,?)中的元素(a,b)记为??a)中的元素的运算规则与通常的分式运算完全一致。 ，则(S,?,??b定义9.15 （域上的一元有理分式域） 若R?K[x]，则记(S?,?,?)为K(x)，并将其

称之为域上的一元有理分式域，其元素形如

9.4.2 有理分式的准素分解式

g(x)(f(x)?0)。 f(x)k定义9.16 （准素分式）在K(x)内的一个分式q(x)p(x)，如果其中p(x)是首一不可

约多项式，而degq(x)?degp(x)，则称之为准素分式。

定理 K(x)内任意分式可分解为一个多项式和若干准素分式之和。 证明：设

g(x)?K(x)，且不妨设(f(x),g(x))?1,degg(x)?degf(x)。设f(x)的f(x)素因子标准分解式为：

则存在u(x),v(x)?K[x]，使得

于是

f(x)?p1(x)e1?ps(x)es

u(x)p1(x)e1?v(x)(p2(x)e2?ps(x)es)?1

g(x)(u(x)p1(x)e1?v(x)(p2(x)e2?ps(x)es))g(x)?f(x)p1(x)e1?ps(x)es

? =u(x)g(x)v(x)g(x)?(归纳的做下去)p2(x)e2?ps(x)esp1(x)e1qs(x)q1(x)q2(x)ei????(且不难得degq(x)?degp(x))iiee1e2sp1(x)p2(x)ps(x)

将qi(x)表成qi(x)的方幂的K[x]?线性组合：

qi(x)?qi0(x)?qi1(x)pi(x)?qi2(x)pi(x)2???qiei(x)pi(x)ei

将其带入即得f(x)的准素分解式。

注：1）C(x)内的准素分式应为b(x?a)k(a,b?C)，又上面的定理，可知C(x)内任一真分式r(x)g(x)可分解为：

r(x)g(x)???rnibikikii?1ki?1(x?ai) (ai,biki?C)

2）R(x)内的准素分式有下列两种类型：

b/(x?a)k,(ax?b)/(x2?px?q)l,

其中a,b,a,b,p,q?R，且p2?4q?0。

第十章 多元多项式环

§2对称多项式

10．2．1 对称多项式、初等对称多项式的定义 名词 n阶置换

考察前n个自然数组成的集合??{1,2,...,n}.?到自身的一个一一对应称为一个n阶置换。以Sn记{1,2,..,n}的所有置换组成的集合（不难知它有n!个元素），若??Sn，则?可由下面的表来描述：

????

iii?in??123?123?n?其含义是：?把k变为ik(k?1,2,...,n)。若??1,?2?Sn，定义?1和?2的乘法?为连续作用

?1??2，则易验证(Sn,?)构成群。

定义10.1 对称多项式

现设f(x1,x2,...,xn)?K[x1,x2,...,xn],??Sn,定义

?f(x1,x2,...,xn)?f(x?(1),x?(2),...,x?(n))?K[x1,x2,...,xn]

??Sn，?f(x1,x2,...,xn)?f(x1,x2,...,xn)，则称f(x1,x2,...,xn)是

这样?定义了K[x1,x2,...,xn]内的一个变换。 如果对一切

K[x1,x2,...,xn]内的一个对称多项式。

定义10.2 初等对称多项式

现考虑n?1个不定元x1,x2,...,xn,x的多项式： 其中，

f?(x?x1)(x?x2)?(x?xn) ?xn??1xn?1???(?1)n?n,

?1?x1?x2???xn,?2?x1x2?x1x3???xn?1xn.??????????n?x1x2x3?xn.

易知?(?i)??i(i?1,2,...,n),即?1,?2,...,?n都是K[x1,x2,...,xn]内的对称多项式。我们把这n个特殊的对称多项式称为初等对称多项式。

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