(江苏专用)2018_2019学年高中数学课时分层作业2充分条件和必要条件苏教版选修1_1

1 课时分层作业(二) 充分条件和必要条件

(建议用时：45分钟)

[基础达标练]

一、填空题

1．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12

”的________条件． 【解析】 “α＝π6＋2k π(k ∈Z )”?“cos 2α＝12”，“cos 2α＝12”?/“α＝π6

＋2k π”(k ∈Z )．因为α还可以等于2k π－π6(k ∈Z )，∴“α＝π6

＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12

”的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要

2．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的________条件．

【解析】 当a >0且b >0时， a ＋b >0且ab >0；当ab >0时，a ，b 同号，又a ＋b >0， ∴a >0且b >0.故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充分必要条件．

【答案】 充分必要

3．设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的__________条件.

【导学号：95902018】

【解析】 由2－x ≥0得x ≤2，由|x －1|≤1得0≤x ≤2，∵x ≤2? 0≤x ≤2,0≤x ≤2?x ≤2，故“2－x ”是“|x －1|≤1”的必要不充分条件．

【答案】 必要不充分

4．对任意的a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：

①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；

②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；

③“a >b ”是“a 2>b 2

”的充要条件；

④“a <5”是“a <3”的必要条件．

其中真命题的个数是________．

【解析】 当c ＝0时，ac ＝bc ? a ＝b ，故①是假命题，③a 2＞b 2?|a |＞|b |，故③是假命题，命题②、④是真命题．

【答案】 2

5．已知函数y ＝ln(x －4)的定义域为A ，集合B ＝{x |x ＞a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围__________.

【导学号：95902019】

【解析】 A ＝{x |x ＞4}．∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A

B .

2 ∴a ＜4，即实数a 的取值范围是{a |a ＜4}．

【答案】 {a |a ＜4}

6．给定空间中直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的________条件．

【解析】 “直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”?“直线l 与平面α垂直”．

【答案】 充要

7．不等式ax 2＋ax ＋a ＋3>0对一切实数x 恒成立的充要条件是________.

【导学号：95902020】

【解析】 ①当a ＝0时，原不等式为3>0，恒成立；

②当a ≠0时，用数形结合的方法则有

????? a >0Δ＝a 2－4a a ＋3 <0?a >0.

∴由①②得a ≥0.

【答案】 a ≥0

8．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中：

①α，β都平行于直线l ，m ；

②α内有三个不共线的点到β的距离相等；

③l ，m 是α内的两条直线且l ∥β，m ∥β；

④l ，m 是两条异面直线且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β.

“α∥β”的充分条件是________．

【解析】 ①、③中l 与m 可能平行，②中三点位于两平面交线的两侧时，如图．

AB ∥l ，α∩β＝l ，A 与C 到l 的距离相等时，A ，B ，C 到β的距离相等．

【答案】 ④

二、解答题

9．指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．

(1)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，

p: y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称；q ：y ＝f (x )是奇函数．

3 (2)p ：x ＋y ≠3；q ：x ≠1或y ≠2.

【导学号：95902021】

【解】 (1)若函数y ＝f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，此时|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，因此y ＝|f (x )|是偶函数，其图象关于y 轴对称，但当y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称时，未必推出y ＝f (x )为奇函数，故y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称是y ＝f (x )是奇函数的必要不充分条件．

(2)原命题等价其逆否形式，即判断“x ＝1且y ＝2是x ＋y ＝3的必要不充分条件”，故x ＋y ≠3是x ≠1或y ≠2的充分不必要条件．

10．已知p ：－2≤x ≤10；q ：x 2－2x ＋1≤m 2(m ＞0)，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．

【解】 由q 可得(x －1)2≤m 2(m ＞0)，

所以1－m ≤x ≤1＋m .

即﹁p ：x ＞10或x ＜－2，﹁q ：x ＞1＋m 或x ＜1－m .

因为﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，所以﹁q ?﹁p .

故只需要满足????? 1＋m ≥101－m ≤－2，∴m ≥9.

所以实数m 的取值范围为[9，＋∞)．

[能力提升练]

1．下列命题：

①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；

②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件；

③2b ＝a ＋c 是数列a ，b ，c 为等差数列的充要条件；

④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件．

其中的真命题有________.

【导学号：95902022】

【解析】 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC

为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A ，B ，C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；

③显然为真．由tan A tan B >1，知A ，B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ，

∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角，

∴△ABC 为锐角三角形．

反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2

，∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ， ∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真．

4 【答案】 ③④

2．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．

【解析】 因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲?乙，但乙?/甲；又∵乙是丙的充要条件，即乙?丙；又∵丙是丁的必要不充分条件，即丁?丙，但丙?/丁，故丁?/甲，甲?/乙，即丁是甲的既不充分又不必要条件．

【答案】 既不充分又不必要

3．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a ＝________.

【导学号：95902023】

【解析】 依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a ，得x －1<－a ，或x －1>a ，∴x <1－a ，或x >1＋a .

由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12

，或x >1.要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有????? 1－a ≤12，1＋a ≥1，

解得a ≥12. 令a ＝1，则p ：x <0，或x >2，

此时必有x <12

，或x >1.即p ?q ，反之不成立． 【答案】 1

4．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．

【解】 ①当a ＝0时，原方程化为2x ＋1＝0，此时根为x ＝－12

，满足条件． ②设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，当a ≠0时，因为方程的常数项为1不为0，方程没有零根．

(i)若方程有两异号的实根，x 1，x 2，则x 1x 2＝1a

<0，即a <0； (ii)若方程有两个负的实根x 1，x 2，则需满足????? x 1x 2＝1a ＞0，x 1＋x 2＝－2a ＜0，Δ≥0，

5 即????? 1a ＞0，－2a ＜0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1.

综上，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1. 反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根．

因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0，至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.

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