Newton迭代法实例
更新时间:2023-11-13 21:28:01 阅读量: 教育文库 文档下载
基于牛顿迭代法的圆形断面临界水深直接计算
学院:建筑工程学院学号:2111206052 姓名:王瑞峰
一、问题来源
圆形断面由于具有受力条件好、适应地形能力强、水力条件好等优点,已成为农田灌溉、城市给水排水等工程较常采用的断面形式。而临界水深的计算则是进行圆形断面水力计算的关键,但其计算较繁杂,要求解高次隐函数方程,且未知量包含在三角函数中,求解难度大。自20世纪90年代,对圆形断面临界水深的计算进行了大量研究,获得了较多成果。鉴此,本文应用牛顿迭代算法,得到一种较简洁且可提供高精度算法 程序的近似计算公式。
二、数学模型
相应于断面单位能量最小值的水深称为临界水深,其计算公式为:
需满足的临界流方程为:
其中
式中,d为洞径;为临界水深对应的圆心角,rad;n为流速分布不均匀系数(不特殊说明时取1.0);Q为流量,m3Is;g为重力加速度(通常取9.81 m/s2);分别为临界流对应的过水断面面积和水面宽度。
无压流圆形断面的水力要素见图1
将式(1)、(3)、(4)代入式(2)得:
将式(5)整理即得临界水深的非线形方程:
由此可知.式(6)为临界水深h。的高次隐函数方程,且未知量包含在三角函数中。即圆形断面临界水深的求解即为式(6)的求根问题。在现行工程实际中计算临界水深时均采用近似公式或试算法,所得结果精度不高且效率较低。
三、方法选择
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点
1
附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x-x0)f'(x0)+(x-x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分,作为非线性方程f(x) = 0的近似方程,即泰勒展开的前两项,则有f(x0)+f'(x0)(x-x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0-f(x0)/f'(x0) 这样,得到牛顿法的一个迭代序列:x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n))。
在对式(6)的求解方法中,应首选牛顿迭代法,因为牛顿迭代法可快速求解出其他方法求不出或难以求出的解。
引入无量纲参数k:
将式(7)代入式(6)得:
的一阶、二阶导函数分别为:
由牛顿迭代法可得:
式中,=0,1,2…为迭代次数;为的初值。
将式(8)、(9)代入式(10),可得相应于式(6)临界水深对应中心角的牛顿迭代公式:
由式(11)迭代计算出临界水深对应的中心角后,代入式(1)即可得临界水深。 根据文献,为避免渡状水面有可能接触洞顶引起水流封顶现象。洞内水面线以上的空间不宜
小于隧洞断面面积的15%,且高度不小于0.4m。可得临界水深对应的中心角的最大值一般不超过4.692,相应可得无量纲参数值的上限为0.5044。故取值范围为[O.000 0,0.504 4]。 查阅文献与的近似公式:
若将式(12)视为初值函数,代入式(11)进行一次迭代计算,不仅得到了直接计算的公式,
且提高了计算结果的精度。
其中
将式(13)代入式(1)即得圆形断面临界水深。 计算实例:
某引水式电站输水隧洞为圆形断面,已知洞径d=3.0 m,试确定设计流量Q=8.0m3/s时的临界水深。
四、编程实现
本文采用Fortran软件求解,程序的代码如下:
2
program ex01 implicit none reald,Q,k,x,g,y,h parameter(g=9.81)
print*,\请输入洞身的直径:\read*,d
print*,\请输入设计流量:\read*,Q
k=Q*Q/(g*d**5)
print*,\可得无量参数k:\x=4.53*k**0.14+k+0.023
print*,\临界水深对应的圆心角初值为:
\n(x/2))**(-2.0/3.0)*cos(0.5*x)-cos(x)) print*,\临界水深对应的圆心角为:\h=d*0.5*(1-cos(0.5*y)) print*,\临界水深为:\
end
源程序编程截图如下:
计算结果截图如下:
3
五、误差要求
根据文献要求,临界水深对应的圆心角最小值为0.902,最大值为4.692,当>4.692时,
会出现明满流交替现象,而此现象在水工设计中应杜绝;当日<0.902时,水深很小,可忽略。因此,只需对[O.902,4.692]范围内的计算值与精确值进行比较。为验证本文提出方法的有效性及便于与现有计算方法比较,引入相对临界水深
根据水力要素条件计算出相对临界水深的z取值范围为0.05≤x≤0.85。因此,在0.05
≤x≤0.85范围给出一系列值,根据式(1)可计算出相对临界水深对应的精确值,由式(7)计算无量纲参数走,代入式(13)求得计算值。再进行精度评价。设精确解为,则相对误差为:
可以求得算例中相对误差仅为0.005%。
六、实际意义分析
将牛顿迭代法原理应用于圆形断面临界水深所在的高次隐函数方程求解,通过优化计算得到了初值的近似公式,从而得到了计算圆形断面临界水深的直接计算方法。该方法计算简单明确、结果可靠、实用性强,且与其他方法相比在精度上有一定提高,而计算复杂程度并未增加,对实际工程实践有一定帮助。
4
正在阅读:
Newton迭代法实例11-13
《实数》第一课时教案09-29
全面预算管理培训讲义201404-21
狗狗补钙的建议10-14
请问怎么区分合并和非企业合并09-17
蛋白同化制剂、肽类激素 两非药品目录01-18
数据库大作业设计题目04-30
激扬青春放飞梦想主题班会05-13
穷游锦囊-伊斯兰堡06-05
- exercise2
- 铅锌矿详查地质设计 - 图文
- 厨余垃圾、餐厨垃圾堆肥系统设计方案
- 陈明珠开题报告
- 化工原理精选例题
- 政府形象宣传册营销案例
- 小学一至三年级语文阅读专项练习题
- 2014.民诉 期末考试 复习题
- 巅峰智业 - 做好顶层设计对建设城市的重要意义
- (三起)冀教版三年级英语上册Unit4 Lesson24练习题及答案
- 2017年实心轮胎现状及发展趋势分析(目录)
- 基于GIS的农用地定级技术研究定稿
- 2017-2022年中国医疗保健市场调查与市场前景预测报告(目录) - 图文
- 作业
- OFDM技术仿真(MATLAB代码) - 图文
- Android工程师笔试题及答案
- 生命密码联合密码
- 空间地上权若干法律问题探究
- 江苏学业水平测试《机械基础》模拟试题
- 选课走班实施方案
- 迭代法
- 实例
- Newton
- 2018年冀教版三年级上册数学期末试卷
- 应用探地雷达的地下管道探测实例研究 - 图文
- 5.再议电梯的制动能力检查(续)
- 超市销售信息管理系统数据库设计
- 河南博物馆观后感
- 2014年即兴评述(今日话题)
- 教师个人年度专业发展计划
- (宁波)关于鼓励股权投资企业发展的若干意见
- 物理化学动力学1章节练习题
- 数控技术
- 中国古代医学文化
- 春江花月夜导学案教师版
- 五年级奥数行程问题:火车过桥问题讲座及练习
- 生长发育规律
- 部编版二年级语文下册:第3单元测试卷A卷带答案
- 三年级科学下册第四单元《磁铁》复习资料
- 有机化学试题库七 - 推结构题及解答
- 护 理 管 理 试 卷
- 2019年1月宁乡一中高一学生生涯规划教育专题培训及选课指导活动实施方案
- 中国崛起对世界及周边国家的影响