独立维修两不同型部件冷储备系统可靠性分析

可靠性

第21卷第6期系 统 工 程 学 报Vol.21No.6

2006年12月JOURNALOFSYSTEMSENGINEERINGDec.2006

独立维修两不同型部件冷储备系统可靠性分析

刘仁彬,唐应辉

1

2

¹

(1.重庆工学院数理学院,重庆400050;2.四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066)

摘要:考虑具有独立维修规则的两不同型部件冷储备系统的可靠性.在一个部件的维修分布为Erlang分布,

另外3个分布均为一般连续型分布的假定下,利用补充变量法和拉普拉斯变换工具,得到了系统主要可靠性指标的拉普拉斯变换表达式,如:系统的首次失效时间分布,系统的可用度,修理工空闲的概率和(0,t]时间内系统的平均故障次数等.

关键词:可靠性分性;补充变量法;冷储备;可用度;故障次数

中图分类号:O213.2;O121 文献标识码:A 文章编号:1000-5781(2006)06-0628-08

Reliabilityanalysisofatwo2dissimilar2unitcoldstandbysystemwithseparatedrepairrule

LIURen2bin,TANGYing2hui

(1.SchoolofMathematicsandPhysics,ChongqingInstituteofTechnology,Chongqing400050,China;2.SchoolofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,China)Abstract:Inthispaper,thereliabilityofatwo2dissimilar2unitcoldstandbysystemwithseparatedrepairruleisdiscussed.Inthesystem,therepairdistributionofonlyoneunitisassumedtobeErlangandtheotherthreedistributionstobegeneralcontinuous.TheLaplacetransformexpressionsofsomeprimaryreli2abilityindexesofthesystemareobtainedbyusingthesupplementaryvariablemethodandthetooloftheLaplacetransform,suchasthedistributionofthefirstfailuretimeofthesystem,theavailabilityofthesystem,theidlenessprobabilityfortherepaircrewandtheexpectednumberoffailuresofthesystemdur2ing(0,t],etc.

Keywords:reliabilityanalysis;supplementaryvariablemethod;coldstandby;availability;failurenumber

1

2

0 引 言

两部件冷储备系统的可靠性模型是可靠性理论和应用中比较重要的模型之一.所谓冷储备是指储备部件在储备期内不失效、也不劣化,储备期长短对以后使用的工作寿命没有影响.曹晋华等[1]和程侃[2]研究了2个部件、1个修理工组成的冷储备系统,主要用的是Markov更新过程和交

替更新过程的理论;张元林[5]从部件不能修复如新的角度并借助几何过程和补充变量法讨论了该系统.但他们的讨论都只限于1个修理工的情形,

且都是在假定2部件的寿命分布均为指数分布的特殊情况下进行的.而对由2个部件、2个修理工组成的冷储备系统,在独立维修的规则下还未见有文献讨论过.本文正是基于这一事实,考虑了在独立维修规则下,由2个不同部件、2个修理工组

¹

收稿日期:2004-03-23;修订日期:2005-10-11.

基金项目:四川省学术与技术带头人基金资助项目(200116).

可靠性

第6期 刘仁彬等:独立维修两不同型部件冷储备系统可靠性分析

)629)成的冷储备系统,在假定1个部件的维修分布为Erlang分布,另外3个分布均为一般连续型分布的较一般情况下,利用补充变量法和拉普拉斯变换工具,讨论了系统的主要可靠性指标.系统模型假定如下.

1)部件1的修理时间G1服从m阶Erlang分

(t)=Lmm-1

布,其密度函数记为g11t

(m-1)!

e-L1t,

L1>0,m为正整数;部件1的寿命N1、

部件2的寿命N2和修理时间G2均服从一般连续型分布,其分布函数分别记为

Q

t

F1(t)=

f1(x)dx=1-e-Q

t

0K1(x)dxtF2

(t)=Q0f2

(x)dx=1-e-Q

t

0K2(x)dxtG2

(t)=Q0g2

(x)dx=1-e-Q

t0L2

(x)dx

其中,Ki(t)是部件i的失效率函数,i=1,2;

L2(t)是部件2的修复率函数;

2)储备部件在储备期内既不失效,也不发生劣化(即冷储备);转换开关是完全可靠的;t=0时刻部件都是新的,且部件1开始工作,部件2冷储备;部件失效后立即进行独立维修,且均能修复如新;一部件修复后若另一部件在工作,则它冷储备,否则马上开始工作;若一部件在维修的过程中,另一个部件也失效,则此时系统处于失效状态;

3)N1,N2,G1,G2相互独立.

1 系统的状态方程组

设S(t)为时刻t系统所处的状态,并设各状态的含义如下

状态0)))部件1在工作,部件2在冷储备;状态1)))部件2在工作,部件1在冷储备;状态2)))部件1在工作,部件2在维修;状态3)))部件2在工作,部件1在维修;状态4)))部件1,2都在维修.

引进补充变量:当S(t)=3,4时,I1(t)表示部件1在时刻t所处的修理阶段;当S(t)=0,2时,X1(t)表示部件1在时刻t所处的年龄;当S(t)=1,3时,X2(t)表示部件2在时刻t所处的年龄;当S(t)=2,4时,Y2(t)表示部件2在时刻t已花去的修理时间.它们的取值分别为I1(t)=

1,2,,,m;0[X1(t),X2(t),Y2(t)<],则

{S(t),I(t),X1(t),X2(t),Y(t),t\0}构成一

高维Markov过程,其状态概率定义为

P0(t,x)dx=P{S(t)=0,

x[X1(t)<x+dx}P1(t,x)dx=P{S(t)=1, x[X2(t)<x+dx}P2(t,x,Å)dxdÅ=

P{S(t)=2,x[X1(t)<x+dx, Å[Y2(t)<Å+dÅ},x<ÅP2(t,Å)dÅ=P{S(t)=2, Å[Y2(t)=X1(t)<Å+dÅ}P3i(t,x)dx=P{S(t)=3,I1(t)=i, x[X2(t)<x+dx}P4i(t,Å)dÅ=P{S(t)=4,

I1(t)=i,Å[Y2(t)<Å+dÅ}系统状态之间的转移情况如图1所示

.

图1 系统状态之间的转移

根据状态转移图进行概率分析后可得偏微分方程组

(9t+9Å

+L1+L2(Å))P41(t,Å)=Å

K1(Å

)P2(t,Å)+Q0

K1

(x)P2

(t,x,Å

)dx(1)

(9t+9Å

+L1+L2(Å))P4i(t,Å)= L1P4i-1(t,Å) i=2,3,,,m(2)

(9t+9x+9Å+L2(Å)+K1(x))# P2(t,x,Å)=0

(3)

(9t+9Å

+L2(Å)+K1(Å))P2(t,Å)=0(4)

可靠性

)630)

系 统 工 程 学 报 第21卷

(9t+9x+L1+K2(x))P31(t,x)=0(5)

(9t+9x+L1+K2(x))

P3i(t,x)= L1P3,i-1(t,x) i=2,3,,,m(6)

(9t+9x+K1(x))

P0(t,x)=]

L2(x)P2(t,x)+

Qx

L2

(Å

)P2

(t,x,Å)dÅ(7)

(9t+9x+K2(x))

P1(t,x)=L1P3m(t,x)(8)

其边界条件为

]

P41(t,0)=Q0K2(x)P

31(t,x)dx(9)

P4i

(t,0)=Q]0

K2(x)P

3i(t,x)dx

i=2,3,,,m

(10)

P2(t,0,Å)=L1P4m(t,Å)(11)]P2(t,0)=Q0

K2

(x)P1

(t,x)dx

(12)

P31(t,0)=Q]0

L2

(Å)P41

(t,Å)dÅ+]

Q0

K1

(x)P0(t,x)dx(13)

]P3i

(t,0)=Q0

L2

(Å)P4i

(t,Å)dÅ

i=2,3,,,m

(14)

P0(t,0)=D(t)(15)P1(t,0)=0

(16)

其初始条件为P0(0,x)=D(x),其余为0,其中,

D(#)为狄拉克函数.

2 状态方程组的求解

令D*

(s)=

Q

]

-st

eD(t)dt=Ls[D(t)],

L-s1[D*(s)]=D(t)分别表示函数D(t)的拉普拉斯变换(L变换)及其反变换,D(t)=1-D(t).对方程(3)关于t取L变换得

9x*2(s,x,Å)+9Å*2

(s,x,Å)+ [s+L2(Å)+K1(x)]P*

2(s,x,Å)=0

(17)

偏微分方程(17)所对应的常微分方程组是1=1

= dP*2(s,x,Å

)-[s+L2(Å)+K1(x)]P2(s,x,Å

)(18)

解方程组(18)得2个独立的首次积分x-Å=c1

P*(s,x,Å)=c-2

(x+Å)2

2e

F1(x)G2(Å)

因此偏微分方程(17)的通解为

P*

-2

(x+Å)

2

(s,x,Å)=H(x-Å)e

F1(x)G2(Å)

(19)

其中:H(x)为待定函数.

由方程(1)和(2),并结合式(19)可知P4i(t,Å)关于t的L变换有如下形成

P*4i(s,Å)=Q*4i(s,Å)G2(Å) i=1,2,,,m(20)

其中:Q*

4i(s,Å)为待定函数.

将式(11)关于t取L变换并代入式(19)得H(-Å)=L1Q4*

sÅ

m(s,Å)e(21)

将式(21)代回式(19)可得

P*2(s,x,Å

)= L1e-sxQ*4m(s,Å

-x)F1(x)G2(Å)(22)

对方程(4)关于t取L变换解得

P*2(s,Å)=P*2(s,0)e-sF1(Å)G2(Å)(23)由式(22)有

Q

Å

*

K1(x)P2(s,x,Å)dx=

L1G2(Å){Q*4m(s,Å)*[e-sÅf1(Å)]}(24)其中:B(x)*C(x)=

Qx0

B(x-

t)C(t)dt(即函数

B(x),C(x)的卷积).

对方程(1),(2)关于t取L变换并由式(20)~(24)得常微分方程组

dQ*41(s,Å)dÅ

+[s+L1]Q*

41(s,Å)= P*2(s,0)e-sÅ

f1(Å

)+ L1{Q*4m(s,Å)*[e-sÅf1(Å)]}dQ42*

(s,Å)

dÅ+[s+L1]Q*42(s,Å)=(25)

L1Q41*

(s,Å) s

dQ*4m(s,Å)dÅ

+[s+L1]Q4*

m(s,Å)= L1Q4*

,m-1(s,Å)

可靠性

第6期 刘仁彬等:独立维修两不同型部件冷储备系统可靠性分析

)631)

再对方程组(25)关于Å取L变换得线性代数方程组

H+s+L1

-L1s

0H+s+L1

s0

,,,

-00sL1

-L1f1(H+

s)

0s

H+s

+L1

*

Q**)41(s,HQ**)42(s,H sQ**)4m(s,H

=

**

Q*)41(s,0)+P2(s,0)f1(s+H

Q*42(s,0)

sQ*4m(s,0

)

用文献[4]的方法可得线性代数方程组(26)的解

Q41**(s,H)Q42

**(s,H)

s

=Vdi g()V-1ri

#

Q4**

m(s,H

Q41*

(

s,0)+P*2

(s,0)f*1

(s+H)

Q*42(s,0)

s

(27)

Q4*

m(s,0

)

11

,

1 其中:V=

1 2, ms

s

s

,

m1

-1 m2

-1, mm

-11

1-1

, -1

(m-1)

V-1=

1 -21, -2

(m-1)

ms

s

s

,

1

-m1,

-m

(m-1)

m

-1

1

i=(X

i1

(H+s)),Xi=e,ri=H+s+

Lm

1-L1Xi1(H+s),i=1,2,,,m.di g(

ri)

是第i行第i列位置元素为ri

,其余元素均为0的m阶

对角矩阵.

由式(27),通过矩阵运算得到

m

Q**4i(s,H)=4*j(s,0)M**

ij

(H+s)+

j=EQ1

P*

2

(s,0)f*1

(H+s)

M**i1

(H+s)

i=1,2,,,m

(28)

其中

M**ij(H

+s)=(26)

m

i-l

j

l=E

H+s+L1

1-L1Xl1(H+s)

对方程(5),(6)关于t取L变换解得

P*31(s,x)=P31*(s,0)e

-(s+L1)x

2(x)P*32(s,x)=e

-(s+L1)x

F2(x)#

[(L1x)P31*

(s,0)+P32*

(s,0)]

s

i

i-l

P

*

3i(s,x)

=(

l=E

1

P*3l(

s,0)(L1x)

(i-l)!)

#

e

-(s+L1

)x

F2(x),i=1,2,,,m

(29)

对方程(8)和边界条件式(16)关于t取L变换并利用式(29)解得

m

P*

1

(s,x)=e-sx

F2(x)

3*

l(s,0)#

l=EP1

m-l+1

i-1

(L1x)-Lx

(1-iE=1

(i-1)!e1)(30)

将边界条件式(12)关于t取L变换并利用式(30)得

m

P*2

(s,0)=

**

l=E1

P3l(s,0)(f2(s)-m-l+1

E(-L1)i-1

i-1 *

i=1(i-1)!dsi-1(f2(s+L1)))(31)

由式(22)和(28)有

Q

]

*

x

L2(Å)P2(s,x,Å)dÅ=

e-sx

F1(x)

Q

]

*

xL1Q4m(s,Å-x)g2(Å)dÅ=

] e-sx

F1

(x)Q-0

L

H1[

L1Q**4m(s,H

)]# g2(x+Å)dÅ=e-sx

F1(x)#

m

(

Q*4j(

s,0)

L1M**mj(H

+s)]#j=E

1

Q

]

-0

LH1[ g2(x+Å)dÅ+P*2(s,0)#

可靠性

)632)系 统 工 程 学 报 第21卷

Q

]

L-H1(L1f*1

(H+

s)M**m1(

H+s))# g2(x+Å)dÅ)

(32)

对方程(7)和边界条件式(15)关于t取L变换并利用式(32)解得

P*0(s,x)=e-sxF1(x)(

P*

2(s,0)G2(x)+m

Q*4j

(s,0)

j=E

1

Q

]

L-H1(L1M**mj(H

+s))# (G2(x+Å)-G2(Å))dÅ+P2*

(s,0)#]

Q

-1*0

LH(L1f1(H+s)Mm**

1(H+s))#

(G2(x+Å)-G2(Å))dÅ+1)(33)

由式(20)有

P4*

i(s,0)=Q4*

i(s,0) i=1,2,,,m

于是剩下的问题就是确定P*4i(

s,0)和P3*i(

s,0).

对边界条件式(9)和(10)关于t取L变换再将式(29)代入得

P*41(s,0)=P*31(s,0)f*

2(s+L1)

(34)

i

Ei-l

P*4i(s,0)=

P3*

l(s,0)

(-L1)

l=1

(i-l)!

#

i-l

*

ds

(f2(s+L1)) i=2,3,,,m

(35)

对边界条件式(13)和(14)关于t取L变换并将式(20),(28)和(33)代入得

m

P*31(s,0)=

jE

*=1

P4j(s,0)

Q

]

L-H1(M1**

0j(H+s))# g2(Å)dÅ+P*]2

(s,0)Q-0

L

H1(f*

1

(H+s)#

M11

**

(H+s))g2(Å)dÅ+

Q

]

esxf1(x){P2*(s,0)G2(x)+

m

j=E*]

1

P4j(s,0)Q0

L-H1(L1M**mj(H+s))#

(G2(x+Å)-G2(Å))dÅ+P2*

(s,0)#

Q

]

-0

LH1(L1f*1(H+s)M**m1(H+s))#

(G2(x+Å)-G2(Å))dÅ+1}dx

(36)

m

P

*

3i(

s,0)=

j=Ei1

P

*4(

s,0)#

Q

]0

L-H1M**ij(H+s))g2(Å)dÅ+P*2(s,0)#

Q

]

10

L-H(f*1(H+s)M**i1(H

+s))g2(Å)dÅ i=2,3,,,m(37)

将式(31)代入式(36)、(37),再联立式(34)~

(37)即可解出P*3i(s,0)和P*4i(s,0),从而系统处于各状态概率的拉普拉斯变换式均能算出.

3 系统的可靠性指标

3.1 系统的首次失效时间分布

为求系统的首次失效时间分布,只须将失效状态(4,i,Å)看成吸收状态,与此同时状态(2,x,Å)将不存在,于是第2节中有关方程和公式中出现P4i(t,Å),P2(t,x,Å)的项都可删去.这时系统的可靠度为

m

R(t)=

i=E1

Q]

P3i(t,x)dx+]

] Q0

P0(t,x)dx+Q0

P1

(t,x)dx+

Q]0

P2

(t,Å)dÅ

(38)

而系统的首次失效时间分布为F(t)=1-R(t).将式(38)关于t取L变换得

m

i

R*

i-l

(s)=i=E1l=E1

P*3l(

s,0)(-L1)

(i-l)!#

i-l*

1-f2(s+L1)

1-f*1(s)ds(

s+L1)+s#]

(1+P*2

(s,0))+

P*2

(s,0)

e-sx

F1(x)#

(

Q

]

Q

L-H1(L1f*1(H+s)M**m1(H

+s))# (G2(x+Å)-G2(Å))dÅ)dx+m

*m-l+1

1

P*3l(

s,0)1-f2(s)

l=E

1

(s

-E

(-L1)i-i=1

(i-1)!

#

i-11-f*

2(s+L1)ds(

s+L1))式中,[P*31(s,0),P*3m(s,0)P*2(s,0)]T

=[E-U]-1[f1*(s)0,0]T,E是单位矩阵,U为

,0A1(

s)U=

sss0,0Am(s)B1(s),

Bm(s)0

Ai(s)=

Q]

-0

L

H1(f1*

(H+s)#

可靠性

第6期 刘仁彬等:独立维修两不同型部件冷储备系统可靠性分析

)633)

M**i1(H+s))g2(Å)dÅ i=2,3,,,mA1(s)=Q

]

L-H1(f1

*

(H+s)#

M**

11

(H+s))g2(Å)dÅ+

Q

]

-sx

ef1(x)#

(G2(x)+

Q

]

L-H1(L1f*1(H+s)#

M**m1(H+s))(G2(x+Å)-G2(Å))dÅ)dx

m-l+1

Bl(s)=

f*2

(s)-

E

(-L1)i-1

(i-1)!

#

i=1

i-1

ds

(f2*

(s+L1)) l=1,2,,,m

再由拉普拉斯变换的性质即得系统失效前的平均时间为MTTFF=

Q]

0R(t)dt=

slim*

y0+

R(s).

3.2 系统的瞬时可用度

按定义,系统的瞬时可用度

m

A(t)=EQ]

P]

3i(t,x)dx+i=1

0Q0

P0(t,x)dx+ Q]0P]

1

(t,x)dx+Q0

P2

(t,Å

)dÅ+Å

Q]0

Q0

P2

(t,x,Å

)dxdÅ(39)

将式(39)关于t取L变换并利用第2节中有关公

式得

mi

A*s)=iE=1l=E1

P3l(s,0)(-L1)i-l(*

(i-l)!#

i-l

1-f*2(s+L1)1-f*1(ds

(s+L1)+s)s#m

(1+P*2

(s,0))+

j=E

1

P4*

j(s,0)#

Q

]

-sx

]

F1(x)

Q

-1

**

0e0LH(L1Mmj(H+s))#

(G2(x+Å)-G2(Å))dÅdx+P*

2

(s,0)# Q]

e

-sx

]

10

1(x)

Q

L-H(L1f*1

(H+s)#

M**m1(

H+s))(G2(x+Å)-G2(Å))dÅdx+

m

l=EP*3l(s,0)1-f*(s)m-l+1

2(-L1)

i-1

1

(

s

-

E

i=1

(i-1)!

#

i-11-f*

2

(s+L1)dsi-1(

s+L1))+m j=E1

P*]

4j(s,0)Q

L1(1-f1*-1(H+s))0LH(H+s#

M**mj

(H+s))G2(Å)dÅ+

P*2

(s,0)#

Q

]

1(H

+s))0

L-H

1L1(1-f*(H+s

# f*1(H+s)M**m1(H+s))

G2(Å)dÅ其中,P*3i(s,0),P*4i(s,0)和P2*

(s,0)按第2节中有关公式计算.再由拉普拉斯变换的终值定理,系统的稳态可用度为A=tlimy]A(t)=lim(s).sy0

+

3.3 系统在(0,t]中的平均故障次数

根据文献[3],系统在(0,t]中的平均故障次数Mt

f(t)=

Q0

Wf(x)dx

其中,Wf(t)是系统的瞬时故障频度.再按文献[3]计算瞬时故障频度的一般公式,有

WQ]f(t)=0

K1

(Å

)P2

(t,Å)dÅ+Å Q]0

Q0

K1

(x)P2

(t,x,Å)dxdÅ+m

]

i=E1

Q0

K2(x)P3i

(t,x)dx

(40)

将式(40)关于t取L变换并利用第2节中有关公式得

m

Wf*(s)=

j=EP4*

j(s,0)#

1

Q

]

L-H1

(L1f*

1(H+s)M**

mj(H+s))#

m

i

2(Å

)dÅ+*

l

3l(

s,0)(-L1)i-i=E1l=EP

1

(i-l)!

#

i-l

ds(f2*(s+L1))+P*

2(s,0)#

Q

]

*0

L-H1(L1(f1(H+s))2M**m1(H+s))#

G2(Å)dÅ+P*

2(s,0)#

Q

]

-sÅ0

ef1(Å)G2(Å)dÅ

其中,P*3l(s,0),P*4j(s,0)P*

2(s,0)按第2节中有关

公式计算.再使用Tauber定理[1]可得系统在稳态下单位时间的平均故障次数为

f=Mf(t)tlimy]

t=limsW*

f(sy0

+s)4 特殊情况

1)当m=1,F2(t)=1-e-K2

t,G2(t)=1-

e-L2t

,且K2y+],L2y0时,该系统即退化为经

可靠性

)634)

系 统 工 程 学 报 第21卷

典单部件可修系统.将

M11

**(H+s)=

H+s+L1-L1f1(H+s)

f*2(s)=1,P*

2(s,0)=0

P

*41(

s,0)=P*

31(

s,0)=f*1

(s)

代入第3节中的可靠性指标计算公式得到

R*

(s)=1-f*1(s)

s

A*

(s)=

1-f*1(s)L1f*1(s)(1-f*

1(s)s+)s(s+L1-L1f1(s))

w*f(s)=f*

1(s)L1f1

*

(s)

(

1+s+L1-L1f*1(s))MTTFF=K1 A=L1K1+L1 wf=

K1L1

K1+L1

这与经典单部件可修系统的结果[1,2]完全一致.

2)当m=1,G2(t)=1-e

-L2t

,即部件1和

部件2的维修分布均为负指数分布,其寿命分布均为一般连续型分布时(这是以前文献未讨论过的模型),从上面的一般讨论,可求得系统的主要可靠性指标如下.

R*

(s)=f*(s)(1-f*

(s))1-f*(s)

s(1-A1(s)B1(s))+s#

1+f*1

(s)B1(s)

(1-A1(s)B1(s))

+

*

*

*

f1(s)B1(s)L1f1(L2+s)

(1-A1(s)B1(s))(s+L1+L2-L1f1(s+L2))

#

* 1-

f1(s)

*1

(L2+s)

(s

-

1-

fL2+s

)其中:

A1(s)=

(s+

L1)(f*

1

(s)-f*

1(L2+L2f*1

(s)

s+L1+L2-L1fs))+1(L2+s)B1(s)=f*2(s)-f*

2(L1+s)

MTTFF*f*

=

1

(L2)

f2

(L1)(K

1+K2+(K1-1-L2

)#

L1f*1(L2)(1-f2*

(L1))L1+L2-L1f*1(L2))

A*(s)=P31*

(s,0)1-

f*2

(s+L1)

(

s+L1

+

(f*2

(s)-

f*2

(s+L1))1-f*1(s)s

+

f2

*(s+

L1)L1M**11

(s+L2)1-f*1(s)

(s

- 1-f*1(s+L2)s+L2

)+(f*

2(s)- f*2(s+L1))L1f*1(L2+s)M**11(L2+s)#

**

1-f1(s)1-f1(s+L2)

(s-s+L2)+ 1-f*2(s)

1-f*2(s+L1)(s-s+L1)+ f*2

(L1+s)L1(1-f*1(L2+s))L2+s

#

M11**(L2+s)+(f*2(s)-f*

2(s+L1))#

L1(1-f*1(L2+s))L2+s*

1(L2+s)#

M11

**(L2+s)1-f*1(s)

)+

s

*其中:

P*31(

s,0)=

f1(s)

1- (s)-b(s)

(s)=f*2(L1+s)(L2M11**

(s+L2)+ L1M11**(s+L2)(f*1(s)-f*1(s+L2)))

b(s)=(f2*(s)-f2*

(s+L1))#

(L2f*1(L2+s)M**11(L2+s)+ (f*1(s)-f*1(s+L2))(1+L1f1*#

(L2+s)M11**

(L2+s)))

A=(L2+L1-L1f*1(L2))# 1-f*2(L1)(K1+K2

+

*

*

*

L1(f1(L2)+f2*

(L1)-f1(L2)f2(L1))

K1(L2+L1-L1f1*

(L2))

)/

L1f*2(L1)L2+L1-L1

f1*

(L2)(1+K1+K2

- (1-f*2(L1))L1+L2

(

1-K1

-f*1(L2)))w*f(s)=P*31(s,0){f*

2(s+L1)+

f*

2(s+L1)L1f*

1(s+L2)M**

11(s+L2)+

[f*2(s)-f2*(s+L1)][L1(f*1(s+L2))2

# M11**(s+L2)+f*1(s+L2)]}

可靠性

第6期 刘仁彬等:独立维修两不同型部件冷储备系统可靠性分析L1f1(L2)f2(L1)+(1-f2(L1))L1(f1(L2))

*

*

*

*

2

)

*

*

635)

[L2+L1-

*

L1f1

(L2)]

L1f2

wf=

1+

(

L2+L1-L1f1

L1f1

(L2)

*

+f2(L1)+(1-f2(L1))f1(L2))L1+L2*

-f1(L2)

)K1

*

(L1)L2+L1-+

K1K2

(L2)

-(1-f2(L1))1-

显见,在第2种特殊情况下,令K2y+],L2y

(

0也可得到经典单部件可修系统的主要可靠性指标.

参考文献:

[1]曹晋华,程 侃.可靠性数学引论[M].北京:科学出版社,1986.[2]程 侃.寿命分布类与可靠性数学引论[M].北京:科学出版社,1999.

[3]史定华.计算可修系统在(0,t)中平均故障次数的新方法[J].应用数学学报,1985,8(1):106)109.[4]史定华.两部件并行系统可靠性分析的某些新推进[J].应用数学学报,1985,8(2):164)165.[5]张元林.两部件冷备系统的可靠性分析及其最优更换策略[J].高校应用数学学报,1995,1:1)11.[6]WidderDV.TheLaplaceTransform[M].Princeton:PrincetonUniversityPress.1941.

作者简介:

刘仁彬(1974)),男,硕士,讲师,研究方向:系统可靠性及应用,liurb888@.;

唐应辉(1963)),男,博士,教授,博士生导师,研究方向:系统可靠性、排队论和决策理论及应用等.

(上接第627页)

[5]EconomidesN.Theeconomicsofnetworks[J].InternationalJournalofIndustrialOrganizations,1996,14:673)669.

[6]LeeY,ConnorGC.Newproductlaunchstrategyfornetworkeffectsproducts[J].AcademyofMarketingScience,2003,31:241)255.

[7]WittU./Lock2in0vs./criticalmasses0:Industrialchangeundernetworkexternalities[J].InternationalJournalofIndustrialOrga2nization,1997,15(6):753)773.

[8]FarrellJ,KlempererP.Coordinationandlock2in:Competitionwithswitchingcostsandnetworkeffects[A].In:PreliminaryDraftChapterforHandbookofIndustrialOrganization[M].NewYork:NothHolland,2005.

[9]易 英,刘震宇.网络竞争中的切换成本与锁定效应的分析和模拟[J].厦门大学学报(自然科学版),2003,42(6):718)722.

[10]帅 旭,陈宏民.具有网络外部性的产品兼容性决策分析[J].管理工程学报,2004,18(1):35)38.

[11]KimJ.Productcompatibilityasasignalofqualityinamarketwithnetworkexternalities[J].InternationalJournalofIndustrialOr2

ganization,2002,20:949)964.

[12]LucianoA.Anoteoncriticalmasses,networkexternalitiesandconverters[J].InternationalJournalofIndustrialOrganization,

2004,22:647)653.

作者简介:

段文奇(1976)),男,湖南邵阳人,博士,讲师,研究方向:复杂网络与网络市场,wenqiduan@;陈 忠(1943)),男,湖南长沙人,教授,博士生导师,研究方向:复杂系统与智能管理;陈晓荣(1973)),女,山东人,博士,副教授,硕士生导师,研究方向:管理复杂性.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8n44.html