52向量空间的定义和基本性质

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52向量空间的定义和基本性质

5.2向量空间的定义和基本性质

授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质

教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质

授课时数：3学时

教学重点：线性空间的定义及基本性质

教学难点：性质及有关结论的证明

教学过程：

一、线性空间的定义

1. 引例―――定义产生的背景

例子．设 , , Fn,a,b F则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.

（1）（2）( ) ( )

对，有使（） 0 （3）零向量有（4）

（5）a( ) a a （6）(a b) a b

（7）(ab) a(b ) （8）1

这里 , , Fn,a,b F

2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质

Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作 , , , ；F是一个数域a,b,c F,如果在集合V中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了F V到V的一个叫做纯量乘法的代数运算.（F中元素a与V中的乘积记作a ,a V）。如果加法和纯量乘法满足：

1）

2）( ) ( )

3） 0 V,对 V，有0 （找出0元）

4） V， ˊ V使得 ˊ=称 ˊ为的负向量（找出负元） 5）a( ) a a

6）(a b) a b

7）(ab) a(b )

52向量空间的定义和基本性质

8）1

V是F上的一个线性空间，并称F为基数域.

3. 进一步的例子――加深定义的理解

例1：复数域C对复数的加法和实数与复数的乘法作成实数域R上的线性空间.

例2：任意数域F可看作它自身的线性空间.

例3 V { }其加法定义为 , 数乘定义为a , 则V是数域F上的线性空间.

注: V={0}对普通加法和乘法是数域F上的线性空间, 称为零空间.

例4：设F是有理数域，V是正实数集合，规定 ,a a( , V,a F)

练习集合V对规定的 , 是否作成数域F上的线性空间？

V Fn,(a1,a2, ,an) (b1,b2, ,bn)

(a1 b1,a2 b2, ,an bn),

a (a1,a2, ,an) (0,0, ,0)

解显然V对 , 满足条件1）—7），但对任意的

(a1,a2, ,an) Fn

有1 (a1,a2, ,an) (0,0, ,0) (a1,a2, ,an),

故集合V对规定的不作成数域F上的线性空间.

由此例可以看出, 线性空间定义中的条件8)是独立的, 它不能由其他条件推出.

二、线性空间的简单性质

1、线性空间V的加法和纯量乘法有以下基本性质.

Th5.2.1

1） V的零向量唯一，V中每个向量的负向量是唯一的.

2） ( )

证明：1）设01,02是V的两个零向量，则01 01 02 02.

设 1, 2是的负向量, 则有

于是 1 0, 2 0, 1 1 0 1 ( 2) ( 1 ) 2 0 2 2

*由于负向量的唯一性, 以后我们把的唯一负向量记作 .

2）因 ( ) 0, 所以 ( ) .

3） *我们规定: ( ), 且有 .

52向量空间的定义和基本性质

定理5.2.2 对F的任意数a, b和V中任意向量 , , 则有

1) 0 0 0.

2) a( ) ( a) a , 特别地, ( 1) .

3) a 0 a 0或 0.

4) a( ) a a ,(a b) a b .

证明: 1) 因为0 (0 0) 0 0 . 所以0 0. 类似地可证 0 0.

)) a0 0所,以a( )是a 的负向量, 即 2) 因为a a( ) a( (

a( ) a .

同理可证 ( a) a .

3) 设a 0,

1 如果 1a 0, 则有a 1 F, 于是 1 a (1 a) a (a a) 0 0.

4) a( ) a( ( )) a a( ) a a ,

(a b) (a ( b)) a ( b) a b .

注: 线性空间的定义中1 与定理5.2.2的性质3)在其他条件不变的情况下等价.

事实上, 由线性空间的定义可推出定理5.2.2的性质3).

反之, 由线性空间定义中的条件1)—7)及定理5.2.2的性质3）可推得1

1 (1 ) 1 (1 ( ))

因为 1 (1 ) 1 ( ) (1 1) ( 1)

1 ( 1) 0,

由性质3） 1 0所以 .,1

课堂讨论题：

检验以下集合对于指定的线性运算是否构成相应数域上的线性空间：

1）起点在原点，终点在一条直线上的空间向量的全体作成的集合V，按通常集合向量的加法及数乘运算；

2）V1 {(x1,x2, ,xn)x1 x2 xn 1,xi F}

V2 {(x1,x2, ,xn)x1 x2 xn 0,xi F}

按通常数域F上n维向量的加法及乘法运算；

3）V3 {XTr(X) 0,X Fn n}

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V3 {数域F上n阶对称与反对称方阵的全体}

按通常数域F上矩阵的加法及乘法运算；

4）V5 {a1x a3x3 a2n 1x2n 1ai F}

V6 {a0 a1x a2x2 an 1xn 1a0 a1 an 1 1,ai F}

按通常数域F上多项式的加法及数乘运算；

5）全体实数R的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成复数域C上线性空间？全体复数域C的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成实数域R上线性空间？

6）数域F上的n阶方阵全体，按通常数与矩阵乘法，但加法定义为

A B AB B A

三、子空间

1、子空间的定义

定义2：子空间的定义：V是F上一个线性空间，W是V的一个非空子集，如果W对V的加法和F V到V的纯量乘法，也作成F上的一个线性空间，则称W是V的子空间。

例5：Fn[x]是F[x]的子空间.

例6：V是它本身的一个子空间. {0}也是V的子空间.

V和零空间叫做V的平凡子空间，V的其他子空间叫做V的真子空间.

2、子空间的判断：

Th5.2.3 设V是数域F上的线性空间, W是V的一个非空子集，则W是V的子空间的充要条件：

（1） , V,有 V

（2） a F, V有a W

证明：

(1) W对加法封闭, 即对任意 , W,有 W.

(2) W对纯量乘法封闭, 即对任意a F, W,有a W.

证明: 必要性. 设W是V的子空间, 则V的加法是W的代数运算, 从而W对V的加法封闭; 另外, F V到V的纯量乘法也是F W到W的纯量乘法, 因此W对纯量乘法也封闭.

充分性. 由于W对V的加法封闭, 对F V到V的纯量乘法封闭, 所以V的加法是W的代数运算, F V到V的纯量乘法也是F W到V的纯量乘法的代数运算. 线性空间定义中的算律1), 2), 5), 6), 7), 8)对V中任意向量都成立, 自然对W的向量也成立. 由W对纯量乘法的封闭性和定理5.2.2, 对于 W,0 0 W, 所以V中的零向量属于W, 它自然也是W的零向量, 并且 ( 1) W, 因此条件3)和条件4)也成立, 故W是

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V的子空间.

推论1：W是V的一个非空子集，则W是V的子空间的充要条件：

a,b F, , W有a b W

3、生成子空间

例7：设 1, 2, , n是数域F上的线性空间V的一组向量.

L( 1, 2, , n) {a1 1 a2 2 an n|ai F}

则L( 1, 2, , n)作为V的一个子空间.

事实上,取ai 0(i 1,2, ,n),于是

0 0 1 0 2 0 n L( 1, 2, , n),

又因(a1 1 a2 2 an n) (b1 1 b2 2 bn n) 所以L( 1, 2, , n) .

(a1 b1) 1 (a2 b2) 2 (an bn) n) L( 1, 2, , n)a(a1 1 a2 2 an n) (aa1) 1 (aa2) 2 (aan) n L( 1, 2, , n),