2010届《高考风向标》(理科)数学 第十九章 推理与证明

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第十九章推理与证明

★知识网络★

第1讲合情推理和演绎推理

★知识梳理★

1.推理

根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.

从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.

2、合情推理:

根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

3.演绎推理:

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。

★重难点突破★

重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系

难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律

重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性

问题1

；….对于任意正实数,a b

成立的一个条件可以是 ____.

点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a

2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征

问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．

点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一直线

与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22

2||a

b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理

问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]=

点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3

★热点考点题型探析★

考点1 合情推理

题型1 用归纳推理发现规律

[例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

2

3135sin 75sin 15sin 020202=++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；2

3180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：23)60(sin sin )60(sin 02202=

+++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin

)60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =2

3)cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型

（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）

[例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂

巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂

巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以

()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.

则

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b (4)f =_____;()f n =___________.

【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式

[解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f

133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f

【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系

【新题导练】

1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：

2213=+ 23135=++ 241357=+++

3235=+ 337911=++ 3413151719=+++

根据上述分解规律，则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的值为

___ .

[解析]3m 的分解中，最小的数依次为3，7，13，…，12

+-m m ，…，

由7312=+-m m 得9=m

2. (2008惠州调研二理)函数()f x 由下表定义： 若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n = ，则2007a = 4 ．

[解析]50=a ，21=a ，12=a ，43=a ， ,54=a ，n n a a =∴+4，432007==a a 点评：本题为循环型

3. (2008深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）

[解析])1(4)1()(,41

)5(-=--=n n f n f f 4. (2008揭阳一模)

设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +==== ,,n N *∈

则2008()f x =（ ）

A. sin x -

B. cos x -

C. sin x

D. cos x

[解析]x x f cos )(0=，x x f sin )(1-=，x x f cos )(2-=，x x f sin )(3=，x x f cos )(4=，x

2 5

3 1

4 ()f x 1 2 3 4 5

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b )()(4x f x f n n =+，2008()f x =x x f cos )(0=

题型2 用类比推理猜想新的命题

[例1 ] (2008韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的

13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.

【解题思路】从方法的类比入手

[解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3

121321=??==，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4

1 【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

[例2 ] 在ABC ?中,若090=∠C ,则1cos cos 22=+B A ,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想

【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间

[解析]由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥ABC P -中，三个侧面PCA PBC PAB ,,两两垂直，且与底面所成的角分别为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα”

证明：设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记h PO =

由PB PC PA PC ⊥⊥,得PAB PC 面⊥，从而PM PC ⊥，又α=∠PMC

PC h PCO =

∠=sin cos α，PA h =βcos ，PB

h =γcos h PA PC PC PB PB PA PC PB PA V ABC P ??+?+?=??=-)cos 2

1cos 21cos 21(3161γβα 1)cos cos cos (=++∴h PB PA PC γβα即1cos cos cos 222=++γβα 【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等

【新题导练】

5. (2008深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平

面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为2

4

a ．类比到空间，有两个棱长均为a

的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b 体重叠部分的体积恒为 ．

[解析]解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为8

3

a 6. (2008梅州一模)已知ABC ?的三边长为c

b a ,,，内切圆半径为r （用的面积表示ABC S ABC ??），则ABC S ?)(21

c b a r ++=

；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积=-BCD

A V [解析] )1(3ABC ABD ACD BCD R S S S S ????+++

7. (2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）)

在平面直角坐标系中，直线一般方程为0=++C By Ax ，圆心在),(00y x 的圆的一般方程为22020)()(r y y x x =-+-；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在),,(000z y x 的球的一般方程为_______________________.

[解析] 0Ax By Cz D +++=；2222000()()()x x y y z z r -+-+-=

8. 对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数111,,c b a 和222,,c b a 都是非零实数，方程01121=++c x b x a 和02222=++c x b x a 在复数集上的解集分别是A 和B ，则“

2

12121c c b b a a ==”是“B A =”的充分必要条件．

试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明． 解：（3）如果系数111,,c b a 和222,,c b a 都是非零实数，不等式01121>++c x b x a 和02222>++c x b x a 的解集分别是A 和B ，则“2

12121c c b b a a ==”是“B A =”的既不充分也不必要条件．可以举反例加以说明．

9.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．

类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ； 已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为____________．这个数列的前n 项和n S 的计算公式为_____________________________________．

[解析]在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，

这个常数叫做该数列的公和；318=a ；=n S ???

????=-为偶数为奇数n n y n n ,25,215 考点2 演绎推理

题型:利用“三段论”进行推理

[例1 ] （07启东中学模拟）某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b 过经验公式样e

d c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出a b

e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）

【解题思路】从分式的性质中寻找S 值的变化规律

[解析] 因e d c b a ,,,,都为正数，故分子越大或分母越小时， S 的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S 的值增长越多，a b e d c <<<<<0 ，所以c 增大1个单位会使得S 的值增加最多

【名师指引】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到

[例2 ] （03上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x+T )=T f (x )成立.

（1）函数f (x )= x 是否属于集合M ？说明理由；

（2）设函数f (x )=a x （a >0,且a ≠1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明： f (x )=a x ∈M ；

（3）若函数f (x )=sin kx ∈M ,求实数k 的取值范围.

【解题思路】函数f (x )是否属于集合M ，要看f (x )是否满足集合M 的“定义”，

[解]（1）对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，所以

f (x )=.M x ?

（2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，

所以方程组：???==x

y a y x

有解，消去y 得a x =x , 显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T.

于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =?=?==++ 故f (x )=a x ∈M.

（3）当k=0时，f (x )=0，显然f (x )=0∈M.

当k ≠0时，因为f (x )=sin kx ∈M ，所以存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有

f (x +T)=T f (x )成立，即sin(kx +k T)=Tsin kx .

因为k ≠0，且x ∈R ，所以kx ∈R ，kx +k T ∈R ，

于是sin kx ∈[－1，1]，sin(kx +k T) ∈[－1，1]，

故要使sin(kx +k T)=Tsin kx .成立，

只有T=1±，当T=1时，sin(kx +k )=sin kx 成立，则k =2m π, m ∈Z .

当T=－1时，sin(kx －k )=－sin kx 成立，

即sin(kx －k +π)= sin kx 成立，

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b 则－k +π=2m π, m ∈Z ，即k =－2(m －1) π, m ∈Z .

实数k 的取值范围是{k |k = m π, m ∈Z}

【名师指引】学会紧扣“定义”解题

【新题导练】

10. (2008珠海质检理)定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|*|||||sin ,a b a b θθ=?? 其中为向量a 和b

的夹角，若(2,0),(1,|*()|u u v u u v =-=+ 则= .

[解析]=+*∴>=+<=+=|)(|2

1,sin ),3,3(),3,1(

11. (2008深圳二模文)一个质点从A 出发依次沿图中线段到达B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 各点，最后又回到A （如图所示），其中：AB BC ⊥，

////////AB CD EF HG IJ ，////BC DE ////FG HI JA ．

欲知此质点所走路程，至少需要测量n 条线段的长度，

则n =（ B ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

[解析]只需测量GH BC AB ,,3条线段的长

12. (2008惠州调研二)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文d c b a ,,,对应密文d d c c b b a 4,32,2,2+++，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接受方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）．

A ． 4，6，1，7

B ． 7，6，1，4

C ． 6，4，1，7

D ． 1，6，4，7

[解析] 由???????==+=+=+16418327252d d c c b b a 得???????====7

1

46d c b a ，选C

13.对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“?”

为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ?=-+；运算“

⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ?=，则(1,2)(,)p q ⊕=………（ ）

A ．(4,0)

B ．(2,0)

C ．(0,2)

D ．(0,4)-

解：由题意，???=+=-0252q p q p ，解得???-==2

11p ，所以正确答案为（B ）．

点评：实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算．我们可以把该题还原为：已知复数z 满足5)21(=+z i ，则=++z i )21(_____________．

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基础巩固训练

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b 1、对于集合A,B,定义运算}|{B x A x x B A ?∈=-且，则)(B A A --=（ ）

A.B

B.A

C.B A ?

D. B A ?

[解析]D [用图示法]

2、命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是

A ．使用了归纳推理

B ．使用了类比推理

C ．使用了“三段论”，但大前提错误

D ．使用了“三段论”，但小前提错误

[解析]大前提是特指命题，而小前提是全称命题，故选C

3、（华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试（三））

给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：

①“若b a b a R b a =?=-∈0，则、”类比推出“b a b a C c a =?=-∈0,则、” ②“若d b c a di c bi a R d c b a ==?+=+∈,，则复数、、、”类比推出 “d b c a d c b a Q d c b a ==?+=+∈,22，则、、、”

③“若b a b a R b a >?>-∈0，则、

、”类比推出“若b a b a C b a >?>-∈0,则、” ④“若111||<<-?<∈x x R x ，则”类比推出“若111||<<-?<∈z z C z ，则” 其中类比结论正确．．．．的个数有 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

[解析] 类比结论正确的只有①

4、如图第n 个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n －2 个图形中共有 个顶点。

[解析] 设第n 个图中有n a 个顶点，则3331?+=a ，4442?+=a ，n n n a n ?+=, ，232)2(222+-=-+-=-n n n n a n

5、如果函数)(x f 在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x ， 都有

)()()()(2121n

x x x f n x f x f x f n n +++≤+++ .若x y sin =在区间(0,)π上是凸函数，那么在?ABC 中，C B A sin sin sin ++的最大值是________________. [解析] ==++≤++3sin 33sin 3sin sin sin πC B A C B

A

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b 6、类比平面向量基本定理:“如果21,e e 是平面α内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使得2211e e a λλ+=”，写出空间向量基本定理是：

[解析] 如果321,,e e e 是空间三个不共面的向量，那么对于空间内任一向量a ，有且只有一对实数321,,λλλ，使得332211e e e a λλλ++=

综合提高训练

7、(2008汕头一模)设P 是ABC ?内一点，ABC ?三边上的高分别为A h 、B h 、C h ，P 到三

边的距离依次为a l 、b l 、c l ，则有a b c A B C

l l l h h h ++=______________；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是A h 、B h 、C h 、D h ，P 到这四个面的距离依次是a l 、b l 、c l 、d l ，则有_________________。

[解析]用等面积法可得，a b c A B C

l l l h h h ++=1，类比到空间有1=+++D d C c B b A a h l h l h l h l 8、(2008惠州一模)设 ()11x f x x +=

-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +=== 则()2008f x =（ ）

A ．11x x +-；

B ．11x x -+；

C ．x ；

D ．1x

-； [解析] C x x x f -+=11)(1，x x f 1)(2-=，1

1)(3+-=x x x f ，x x f =)(4，)()(4x f x f n n =∴+ x x f x f ==)()(42008

9、（1）已知等差数列{}n a ，n

a a a

b n n +++= 21（N n ∈），求证：{}n b 仍为等差数列； （2）已知等比数列{}n

c ，0>n c （N n ∈），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．

[解析]（1）2

2)

(11n n n a a n a a n b +=+=，211n n n n a a b b -=-++， {}n a 为等差数列2

211d a a b b n n n n =-=-∴++为常数，所以{}n b 仍为等差数列；

（2）类比命题：若{}n c 为等比数列，0>n c （*

N n ∈），n n n c c c d ???= 21，则{}n d 为等比数列 证明：n n n

n n c c c c d 121)(=?=，q c c d d n

n n n ==++11为常数，{}n d 为等比数列 10、我们将具有下列性质的所有函数组成集合M ：函数()()y f x x D =∈，对任意,,

2x y x y D +∈均

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b 满足1(

)[()()]22

x y f f x f y +≥+，当且仅当x y =时等号成立。 （1）若定义在(0，＋∞)上的函数()f x ∈M ，试比较(3)(5)f f +与2(4)f 大小. （2）设函数g(x)＝－x 2，求证：g(x)∈M .

[解析] (1)对于1(

)[()()]22

x y f f x f y +≥+，令5,3==y x 得(3)(5)f f +<2(4)f (2)24)()]()([21)2(22212212121x x x x x g x g x x g +++-=+-+04

)(2

21≥+=x x )]()([21)2(2121x g x g x x g +≥+∴ ,所以g(x)∈M

第2讲 直接证明与间接证明

★知识梳理★

三种证明方法的定义与步骤：

1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。

2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。

3.假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止

(3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立

★重难点突破★

重点：能熟练运用三种证明方法分析问题或证明数学命题

难点：运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力

重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题

1.从命题的特点、形式去选择证明方法

①一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或否定性命题，或要讨论的情况很复杂的，可以考虑用反证法②一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思路不明显的命题，可以考虑用分析法③命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法

问题1：对于任意非零实数)(,y x y x -≠，等式y

x y x +=+111总不成立 点拨：从命题的形式特点看，适合用反证法证明

2.比较复杂的命题，有时需要多种证明方法综合运用，各取所长。

★热点考点题型探析★

考点1 综合法

题型：用综合法证明数学命题

[例1 ] (东莞2007—2008学年度第一学期高三调研测试)

对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b ②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．

(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；

(2)判断函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）是否为理想函数，并予以证明；

【解题思路】证明函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）满足三个条件

[解析]（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤?+≥f f f f ．

又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．

（2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；

也满足条件②1)1(=g ．若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则 )]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g 0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③， 故)(x g 理想函数．

【名师指引】紧扣定义，逐个验证

【新题导练】

1.(2008年佛山)证明:若0,>b a ,则2

lg lg 2lg b a b a +≥+ [解析]当0,>b a 时，

ab b a ≥+2

， 两边取对数，得ab b a lg 2

lg ≥+， 又2

lg lg 2lg lg b a ab ab +=== ∴当0,>b a 时2lg lg 2lg b a b a +≥+ 2.在锐角三角形ABC 中,求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++

[解析]ABC ? 为锐角三角形，B A B A ->∴>+∴22π

π

，

x y sin = 在)2

,0(π上是增函数，B B A cos )2sin(sin =->∴π

同理可得C B cos sin >，A C cos sin > C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++∴

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b 个 个 3. .已知数列{}n a 中各项为：12、1122、111222、……、111n ?????? 222n

??????

……,证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.

[解析]12(101)10(101)99

n n n n a =-?+?- 1(101)(102)9n n =-?+ 101101()(1)33

n n --=?+ 记：A =1013n - , 则A=333n ?????? 为整数 ∴ n a = A (A+1) ， 得证

考点2 分析法

题型：用分析法证明数学命题

[例2 ] 已知0>>b a ,求证b a b a -<-

[解析]要证b a b a -<-，只需证22)()(b a b a -<-

即b a ab b a -<-+2，只需证ab b <，即证a b <

显然a b <成立，因此b a b a -<-成立

【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”

【新题导练】

4. 若0>>>>d c b a 且c b d a +=+，求证：c b a d +<+

[解析]要证c b a d +<+，只需证22)()(c b a d +<+

即bc c b ad d a 22++<++，因c b d a +=+，只需证bc ad <

即bc ad <，

设t c b d a =+=+，则0))(()()(<-+-=---=-t d c d c c c t d d t bc ad bc ad <∴成立，从而c b a d +<+成立

5. 已知1,,=+∈b a R b a ，求证：2

25)2()2(2

2≥+++b a [解析] 225)2()2(22≥+++b a 2258)(422≥++++?b a b a 2

122≥+?b a 21)1(22≥-+?a a 0)2

1(2≥-?a ， 0)21(2≥-a 显然成立，故225)2()2(22≥+++b a 成立 个

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b 考点2 反证法

题型：用反证法证明数学命题或判断命题的真假

[例3 ] 已知)1(1

2)(>+-+=a x x a x f x ，证明方程0)(=x f 没有负数根 【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾

[解析]假设0x 是0)(=x f 的负数根，则00

2000+--=x x a x 11

2010000<+--

【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多

【新题导练】

6. （08江西5校联考）某个命题与正整数n 有关，若)(*

N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得1+=k n 时该命题也成立，现在已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得

A.当6=n 时，该命题不成立

B.当6=n 时，该命题成立

C.当4=n 时，该命题不成立

D.当4=n 时，该命题成立

[解析]用反证法，可证当4=n 时，该命题不成立

7.设a 、b 、c 都是正数，则b a 1+、c

b 1+、a

c 1+三个数 A.都大于2 B.都小于2 C. 至少有一个大于2 D. 至少有一个不小于2

[解析] b a c b a 10,,,+

∴> b a 1++61≥++a

c ，举反例可排除A 、B 、C ，故选D 8.已知a 、b 、c 成等差数列且公差0≠

d ，求证：a 1、b 1、c 1不可能成等差数列 [解析] a 、b 、c 成等差数列，c a b +=∴2 假设

a 1、

b 1、

c 1成等差数列，则0)(4)(11222=-?=+?+=c a ac c a c

a b ，c a =∴从而0=d 与0≠d 矛盾，a 1∴、b 1、c 1不可能成等差数列 9. （广东省深圳市宝安中学、翠园中学2009届高三第一学期期中联合考试）

下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：

请将错误的一个改正为lg =

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b [解析]3lg 29lg = ，所以3和9的对数值正确，若1315lg ++-=c b a 正确，则c a +≠5lg 从而)5lg 1(38lg -≠，即c a 3338lg --≠，矛盾。

故15的对数值错误，应改正为c b a +-=315lg

★抢分频道★

基础巩固训练

1.（2008年华师附中）用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于0

60”时，应假设（ ）

A. 三个内角都不大于060

B. 三个内角都大于060

C. 三个内角至多有一个大于060

D. 三个内角至多有两个大于060

[解析] B

2.已知233=+q p ，关于q p +的取值范围的说法正确的是（ ）

A. 不大于22

B.不大于2

C.不小于2

D.不小于22

[解析] B

3.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）

A.锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 不能确定

[解析] B

4.要证明不等式52276+>+成立，只需证明：

[解析] 22)522()76(+>+ 5.已知 2

2222

+++a a 与22的大小关系是 [解析] 22222+++a a 22>（注意：不能取等号）[用平均值不等式] 6. (07年惠州第一问)已知数列{}n a 满足15a =, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥． 求证：{}12n n a a ++是等比数列；

[解析]由a n ＋1＝a n ＋6a n －1，a n ＋1＋2a n ＝3(a n ＋2a n －1) (n≥2)

∵a 1＝5，a 2＝5 ∴a 2＋2a 1＝15

故数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列

综合提高训练

7. （金山中学2009届高三期中考）已知表中的对数值有且只有两个是错误的：

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请你指出这两个错误 ．（答案写成如lg20≠a ＋b －c 的形式）

[解析]若b a +=23lg 错误，则)2(29lg b a +=也错误，反之亦然，此时其他对数值都正确，但9lg 2416lg 5.1lg ≠-+=+b a ，

b a +=∴23lg 、)2(29lg b a +=且

c b a +-≠35.1lg ，

若c a +=5lg 错误，则c b a --+=-+=15lg 3lg 16lg 也错误， c a +=∴5lg 正确

若c b a --+=16lg 错误，也能导出c a +=5lg 错误，c b a --+=∴16lg 正确，)1(3)3lg 6(lg 38lg c a --=-=∴正确，b a 2112lg +-≠∴，

综上c b a +-≠35.1lg ，b a 2112lg +-≠

8. 设函数122

2)(+-+?=x x a a x f 为奇函数.

（Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）用定义法判断)(x f 在其定义域上为增函数

[解析]（Ⅰ）依题意，函数)(x f 的定义域为R

∵)(x f 是奇函数

∴)()(x f x f -=-

∴122

21222+-+?-=+-+?--x x x x a a a a

∴0)12)(1(2=+-x a

1=∴a

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，121

2)(+-=x x x f

设12x x <且12,x x R ∈，则

21()()f x f x -

21212121

2121x

x x x --=-++

2122112121x x ???

?

=--- ? ?++????

0)12)(12()

22(21212>++-=x x x x

∴)()(12x f x f >

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b ∴)(x f 在R 上是增函数

9. 已知x x f ln )(=证明： )1()1(->≤+x x x f

[解析]即证：0)1ln(≤-+x x 设1

111)(,)1ln()(+-=-+='-+=x x x x k x x x k 则. 当x ∈（-1，0）时，k ′(x )>0，∴k (x )为单调递增函数；

当x ∈（0，∞）时，k ′(x )<0，∴k (x )为单调递减函数；

∴x =0为k(x )的极大值点，

∴k(x )≤k(0)=0.

即0)1ln(≤-+x x )1()1(->≤+∴x x

x f 10. 已知函数||1y x =+

，y =11()2t y x x

-=+(0)x > 的最小值恰好是方程320x ax bx c +++=的三个根，其中01t <<．求证：223a b =+；

[解析]三个函数的最小值依次为11t +1t -，

由(1)0f =，得1c a b =---

∴ 3232

()(1)f x x ax bx c x ax bx a b =+++=++-++ 2(1)[(1)(1)]x x a x a b =-+++++，

故方程2(1)(1)0x a x a b +++++=1t -1t +．

故(1)a =-+

，1a b =++．

22(1)a =+，即

222(1)(1)

a b a +++=+ ∴ 2

23a b =+．

参考例题：

1. 设b a ,为非零向量，且b a ,不平行，求证b a +，b a -不平行

[解析]假设b a +)(b a -=λ，则0)1()1(=++-b a λλ， , 不平行，?

??=+=-∴0101λλ，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立 2. 已知α为锐角，且12tan -=α，

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b 函数)42sin(2tan )(2παα+

?+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2111n n a f a a ==+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式；

⑵ 求证：n n a a >+1；

⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n

∈≥<++++++< [解析] ⑴1)

12(1)12(2tan 1tan 22tan 22=---=-=ααα又∵α为锐角 ∴42π

α= ∴1)42sin(=+πα x x x f +=2)(

⑵ n n n a a a +=+21 ∵2

11=a ∴n a a a ,,32都大于0 ∴02>n a ∴n n a a >+1

⑶ n

n n n n n n a a a a a a a +-=+=+=+111)1(111

21 ∴1

1111+-=+n n n a a a ∴1

322121111111111111+-++-+-=++++++n n n a a a a a a a a a 1

111211++-=-=n n a a a ∵4321)21

(22=+=a , 14

3)43(23>+=a , 又∵n n a a n >≥+12 ∴131>≥+a a n ∴21

211<-<+n a

∴2111111121<++++++

a a a

第3讲 数学归纳法

★知识梳理★

1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可

2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b ★重难点突破★

重点：领会两个步骤的作用，运用数学归纳法证明一些简单的数学命题

难点：对不同类型的数学命题，完成从k 到k+1的递推

重难点：了解数学归纳法的原理、正确运用数学归纳法

1.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法

问题1用数学归纳法证明：

2

243131414141?-=+++n 错证：（1）当n=1时，左=右=411，等式成立 （2）假设当n=k 时等式成立，

那么当n=k+1时，2112431314

1])41(1[41414141?-=--=+++++k k 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设

2.归纳起点0n 未必是1

问题2：用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线条数为2

32n n - 点拔：本题的归纳起点30=n

3.“归纳——猜想——证明”是一种重要的思维模式

问题3：在数列}{n a 中，3

3,2111+==+n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式 点拨：本题有多种求法，“归纳——猜想——证明”是其中之一 解析：,73,632121===

a a ,9

3,8323==a a 猜想53+=n a n 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，2

15131=+=a ，猜想成立 （2）假设当n=k 时猜想成立，则5

)1(3353533331++=+++?=+=+k k k a a a k k k 当n=k+1时猜想也成立

综合（1）（2），对*∈N n 猜想都成立

★热点考点题型探析★

考点1 数学归纳法

题型：对数学归纳法的两个步骤的认识

[例1 ] 已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b 则还需证明（ ）

A.n=k+1时命题成立

B. n=k+2时命题成立

C. n=2k+2时命题成立

D. n=2（k+2）时命题成立

[解析] 因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2，故选B

【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n 的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k 时命题的形式)(k f （3）从)1(+k f 和)(k f 的差异，寻找由k 到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子

【新题导练】

1.用数学归纳法证明),1(1112

2*+∈≠--=++++N n a a a a a a n n

，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）

A. 1

B.a +1

C.21a a ++

D. 421a a a +++

[解析] n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是a +1，故选B

2.用数学归纳法证明不等式24

1312111>++++++n n n n 的过程中，由k 推导到k+1时，不等式左边增加的式子是

[解析]求)()1(k f k f -+即可

当 n=k 时，左边k k k k ++++++=

12111 ， n=k+1时，左边)

1()1(13121++++++++=k k k k , 故左边增加的式子是

11221121+-+++k k k ，即)22)(12(1++k k 考点2 数学归纳法的应用

题型1：用数学归纳法证明数学命题（恒等式、不等式、整除性问题等）

[例2 ]用数学归纳法证明不等式2)1(2

1)1(3221+<+++?+?n n n [解析]（1）当n=1时，左=2，右=2，不等式成立

（2）假设当n=k 时等式成立，即2)1(21)1(3221+<+++?+

?k k k 则)2)(1()1(2

1)2)(1()1(32212++++<++++++?+?k k k k k k k

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b 02

)2()1()2)(1(2)2()2)(1()1(2122<+++-++=+-++++k k k k k k k k 2]1)1[(2

1)2)(1()1(3221++<++++++?+?∴k k k k k ∴当n=k+1时， 不等式也成立

综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；

（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；

（3）由k 推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面

【新题导练】

3. 用数学归纳法证明等式：n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+-

[解析] （1）当n=1时，左=2

1211=-=右，等式成立 （2）假设当n=k 时等式成立，即k

k k k k 212111211214131211+++++=--++-+- 则

)221121(212111)221121(211214131211+-+++++++=+-++--++-+-

k k k k k k k k k 2

211212121+++++++=k k k k ∴当n=k+1时，等式也成立

综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

4.数列}{n a 中，)

1(2,25211-==+n n n a a a a )(*∈N n ，用数学归纳法证明：)(2*∈>N n a n [解析](1) 当n=1时, 22

51>=a ,不等式成立 （2）假设当n=k 时等式成立，即)(2*∈>N k a k ， 则2)1(222

1--=-+k k k a a a 0)1(2)2(2>--=k k a a ，21>∴+k a ∴当n=k+1时， 不等式也成立

综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立

题型2 用“归纳——猜想——证明”解决数学问题

[例3 ]是否存在常数a 、b 、c ，使等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=

+++?+? 对一切正整数n 都成立？证明你的结论

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金太阳新课标资源网3a0923d528ea81c758f5788b 【解题思路】从特殊入手，探求a 、b 、c 的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切*

∈N n ，等式都成立 [解析] 把n=1,2,3代入得方程组?????=++=++=++7039442424c b a c b a c b a ，解得??

???===10113c b a ， 猜想：等式)10113(12

)1()1(32212222+++=+++?+?n n n n n n 对一切*∈N n 都成立 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立 （2）假设n=k 时等式成立，即)10113(12)1()1(322122

22+++=+++?+?k k k k k k 则2

22222)2)(1()10113(12

)1()2)(1()1(3221++++++=++++++?+?k k k k k k k k k k 2)2)(1()2)(53(12)1(++++++=k k k k k k )]2(12)53([12

)2)(1(+++++=k k k k k ]10)1(11)1(3[12

)2)(1(2++++++=k k k k 所以当n=k+1时，等式也成立

综合（1）（2），对*∈N n 等式都成立

【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式

【新题导练】

5. 在数列}{n a 中，n

n n a a a x a -+==+11,tan 11， （1）写出,,21a a 3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式

[解析] ,tan 1x a =)4tan(2x a +=π，)2tan(2x a +=π，猜想]4)1tan[(x n a n +-=π

下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知猜想成立

（2）假设n=k 时猜想成立，即]4)1tan[(x k a k +-=π

则=+--+-+=-+=+]4

)1tan[(1]4)1tan[(1111x k x k a a a k k k ππ

]4tan[x k +?π 所以当n=k+1时，猜想也成立

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8n0q.html