2012年成都市初中名校数学竞赛班选拔考试模拟试题（含答案）

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2012成都初中名校数学竞赛班选拔考试模拟试题

满分120分，考试时间120分钟

一、填空题 （每题4分，共64分）

1、如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE=1/3 AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四边形ABCD的面积为100平方厘米，那么，△GEF的面积为（ ）平方厘米。

2、设一列数a1，a2，a3，…，a2010中任意三个相邻数之和都是35，已知a3=2x，a20=15，a99=3－x，那么a2011=（ ）。

3、某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站，回站的出租汽车，在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：第一辆出租汽车开出后，经过最少（ ）分钟，车站不能正点发车。

4、汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回响，已知声音的速度是每秒340米，听到回响时汽车离山谷听距离是（ ）米．

5、有一个正方体，A，B，C的对面分别是x，y，z三个字母，如图所示，将这个正方体从现有位置依此翻到第1，2，…，12格，这时顶上的字母是（ ）。

6，大于1000的某数，若加上79成为一个整数的平方；若加上204，又得到另一个整数的平方，则原来这个数为（ ）。

7、如图，C、D是线段AB上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度是（ ）。

8、已知由小到大的10个正整数a1，a2，a3，…，a10的和是2 000，那么a5的最大值是（ ），

1

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这时a10的值应是（ ）。

9、一辆自行车，前胎行驶5000km就不能继续使用，后胎行驶3000km就不能继续使用，若在行驶中合理交换前后胎，则最多可以行驶 （ ）km。

10、父亲和儿子在一个圆形溜冰场内滑冰．在两人同方向滑行时，父亲时不时地能追上儿子，而在作反方向滑行时，他俩的相会次数更为频繁，并达到了原来的5倍．那么父亲的滑冰速度是儿子的（ ）倍．

11、在1，3，5，7，…，199这100个自然数中取出若干个数，使得在所取出的数中，任何一个数都不是另一个数的整数倍，这样的数最多能取出 （ )个． 12、若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC=( ).

13、如图，正方形的网格中，∠1+∠2=( ).

14、已知三角形的三边a，b，c的长都是整数，且a≤b＜c，如果b=5，则这样的三角形共有( ）

个．

15、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数

的和，那么k的最小值为（ ）。

16、试写出5个自然数，使得其中任意两个数中较大的一个数可以被这两个数的差整

除．( ).

二、选择题（每题4分，共24分）

17，小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）。

2

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A B

C D

18、轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将（ ）。

A．增多 B．减少 C．不变 D．增多、减少都有可能 19、已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（ ）

A．6 B．7 C．5 D．9 20、使方程3x+2y=200成立的正整数对（x，y）有（ ）

A．66个 B．33个 C．30个 D．18个 21，三元一次方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有（ ）。

A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个

22,如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为( ).

A．4 B．6 C．8 D．10

三、应用题（每题8分，共 32分）

23、从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），

它们的和能被10整除，求n的最小值．（详细过程才给分）

3

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24、以[x]表示不超过x的最大整数。记A=[x]+[2x]+[3x]+[4x]．在所有的正整数中，有些数是A取不到的，把所有A取不到的正整数从小到大排起来，第30个数是多少？

25、完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x倍，求证：x=(p+q+2) /(pq－1 )

26、如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2．连接AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q、R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为多少？

4

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参考答案

一、填空题 1, 5 2,18,

解：∵任意三个相邻数之和都是35，

∴a1+a2+a3=a2+a3+a4=35，a2+a3+a4=a3+a4+a5=35，a3+a4+a5=a4+a5+a6=35， ∴a1=a4，a2=a5，a3=a6，∴a1=a3n+1，a2=a3n+2，a3=a3n，∵20=3×6+2，a20=15， ∴a20=a2=15；∵99=3×33 ∴a99=a3，

∵a3=2x，a99=3－x， ∴3－x=2x， ∴x=1，

∴a3=2，∵a1+a2+a3=35， ∴a1=35－15－2=18， ∵2011=670×3+1， ∴a2011=a1=18． 故答案为18．

3,解：∵站内原有的6辆车全部开出用时为4×（6－1）=20分钟．

此时站内又有出租车（20－2）÷6+1=4（辆） 设再经过x分钟站内无车． x /6 + 4 = x /4 x=48 48+20=68（分钟）

答：经过至少68分钟站内无车．就不能正点发车．

4,解：由题意声音走的路程为4×340=1360（米），车的速度为72000 /3600 =20米/秒，

∴车走路程为72000 /3600 ×4=80（米），

则2（听到回响时汽车离山谷听距离）=声音走的路程－车行路程=1360－80=1280（米）， 因为声音是来回所以单程为1280÷2=640（米），

－ 5 －

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故答案填：640．

5，解：由图可得，小正方体从图1的位置依次翻到第12格时，“A”在下面，

∵A，B，C的对面分别是x，y，z三个字母， 则这时小正方体朝上面的字母是“x”． 故答案为：x．

6，解：∵204－79=125，

若两整数分别为a，a+1，则（a+1）2－a2=125，2a+1=125，a=62，

若两整数分别为a，a+2，则（a+2）2－a2=125，4a+4=125，a不是整数，舍去， 若两整数分别为a，a+3，则（a+3）2－a2=125，6a+9=125，a=19，a2＜1000， 对于a，a+n（n＞3），得到的a更小，更不符合大于1000， ∴a=62，a2=3844， 3844－79=3765． 这个数是3765． 故答案为：3765．

7，解：根据题意可得：AC+AD+AB+CD+CB+DB=29，

即（AC+CB）+（AD+DB）+（AB+CD）=29， 3AB+CD=29，

∵图中所有线段的长度都是正整数， ∴当CD=1时，AB不是整数， 当CD=2时，AB=9， 当CD=3时，AB不是整数， 当CD=4时，AB不是整数， 当CD=5时，AB=8， …

当CD=8时，AB=7， 又∵AB＞CD， ∴AB只有为9或8．

－ 6 －

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故答案为：9或8．

8，解：设a1，a2，a3，a4为1，2，3，4，

∴a5+a6+a7…+a10=2000－（1+2+3+4）=1990， ∵a6≥a5+1；a7≥a5+2；a8≥a5+3；a9≥a5+4；a10≥a5+5； ∴a5+a6+a7…+a10≥6a5+15， ∴6a5+15≤1990， 解得a5≤3291 6 ，

∴a5最大能取329，那么可得a5，a6，a7，a8，a9，只能分别取330，331，332，333，那么a10只能取335． 故答案为329；335．

9，解：每行驶1km前后胎的损耗度分别为1/ 5000 ，1 /3000 ，行驶xkm后交换，继续行驶ykm报废．

x /5000 +y /3000 =1 x /3000 +y /5000 =1 ， 解得 x=1875 y=1875 ，

∴最多可行驶1875+1875=3750km， 故答案为3750．

10，解：设儿子的速度是x，父亲的速度是kx，即父亲速度是儿子速度的k倍，设圆形溜冰场一圈的长是s．

根据题意得：s/ kx－x ×5=s /kx+x解得：k=3/ 2 ． 故答案是：3 /2 ．

11，解：由题意可知首先考虑大数至少是另一个小数的3倍时，小数都不可取，

因为65×3＜199＜67×3，

所以在67前面的数都可以找到它的整数倍，在67～199后面中的某一个数； 1、3、5、7、…、65共33个数，

因此所取出的数中，任何一个数都不是另一个数的整数倍，这样的数最多能取出 100－

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33=67个． 故答案为67．

12，解：∵AB=AC，BG=BH，AK=KG，

∴∠ABC=∠ACB，∠G=∠H，∠A=∠G， ∴∠A=∠H，

∵∠ABC=∠G+∠H=2∠A=∠ACB，∠ACB=∠KCH，∠CKH=∠A+∠G=2∠A， ∴∠CKH+∠KCH+∠H=180°， 即5∠A=180°， ∴∠A=36°． 故答案为：36°．

13，解：如图，连接BC，

∵AM=CN=2，∠AMC=∠CNB=90°，MC=BN=1， ∴△AMC≌△CNB（SAS）， ∴AC=BC，∠1=∠BCN，

又∠1+∠ACM=90°，∴∠BCN+∠ACM=90°， 即∠ACB=180°－（∠BCN+∠ACM）=90°， △ABC为等腰直角三角形， ∠BAC=45°，

∴∠1+∠2=90°－∠BAC=45°． 故答案为：45°．

14，解：若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即a+b＞c．

∵b＜c， ∴b＜c＜a+b，

又∵c－b＜a≤b，三角形的三边a，b，c的长都是整数， ∴1＜a≤5， ∴a=2，3，4，5．

当a=2时，5＜c＜7，此时，c=6；

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当a=3时，5＜c＜8，此时，c=6，7； 当a=4时，5＜c＜9，此时，c=6，7，8； 当a=5时，5＜c＜10，此时，c=6，7，8，9； ∴一共有1+2+3+4=10个． 故答案为：10．

15，解：设3n+1=m2，则3n=m2－1=（m+1）（m－1），

故m+1，m－1中必有一个是3的倍数， 不妨设m－1=3a，

则3n=m2－1=（m+1）（m－1）=（3a+2）?3a， 即n=a（3a+2），

则n+1=a（3a+2）+1=3a2+2a+1=a2+a2+（a+1）2， 故其最小值为3． 故答案为：3．

16，解：1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（答案不唯一）．

以上5个数可用以下步骤找出： 第一步：2，3，4为满足要求的三个数；

第二步：设a，a+2，a+3，a+4为满足条件的四个数，则a可被2，3，4整除， 取a=12，得满足条件的四个数为12，14，15，16；

第三步：设b，b+12，b+14，b+15，b+16为满足条件的五个数， 取12，14，15，16的最小公倍数为b，即b=1680， 得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696． 二、选择题

17，解：根据父亲离家的距离在这个过程中分为3段，先远后不变最后到家，儿子离家的路程也分为3段．

故选C．

18，解：设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为t0=s

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a+v0 +s a－v0 ，

设河水速度增大后为v，（v＞v0）则往返一次所用时间为t=s a+v +s a－v ．

∴t0－t=s a+v0 +s a－v0 －s a+v －s a－v =s（[1 a+v0 －1 a+v ）+（1 a－v0 －1 a－v ）] =s[v－v0 (a+v0)(a+v) +v0－ (a－v0)(a－v) ] =s（v－v0）[1 (a+v0)(a+v) －1 (a－v0)(a－v) ] 由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v 所以（a+v0）（a+v）＞（a－v0）（a－v）

∴1 (a+v0)(a+v) ＜1 (a－v0)(a－v) ，即1 (a+v0)(a+v) －1 (a－v0)(a－v) ＜0， ∴t0－t＜0，即t0＜t，

因此河水速增大所用时间将增多． 故选A．可以假设具体数字尝试。

19，解：2001=3×23×29，3、23、29都是质数，

能组成三角形的有3、3、3，23、23、23，29、29、29， 3、23、23，3、29、29， 23、23、29，23、29、29， 共能组成7个不同的三角形． 故选B．

20，解：由题意得：x=200－2y /3 ，

∵x和y的值取正整数，200是偶数

∴200－2y＞0，且是3的倍数，x只能取偶数， 根据以上条件可得0＜x＜200 3 ，

∴x只能取2，4，6，…64，66，共33个数， 即方程成立的正整数对（x，y）有33个． 故答案选B．

21，解：当x=0时，y+z=1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；

当x=1时，y+z=1998，有1999个整数解；

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当x=2时，y+z=1997，有1998个整数解； …

当x=1999时，y+z=0，只有1组整数解，

故非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1=2001000（个）， 故选C． 22，解：

由图可知经过两次折叠后（最右边的图形中）， AB=AD－BD=AD－（10－AD）=2， BD=EC=10－AD=4． ∵AD∥EC， ∴△AFB∽△EFC． ∴AB /EC =BF /FC ． ∵AB=2，EC=4， ∴FC=2BF． ∵BC=BF+CF=6， ∴CF=4．

S△EFC=EC×CF÷2=8． 故选C． 三、应用题

23，解：当n=4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．（3分）

当n=5时，设a1，a2，a5是1，2，…，9中的5个不同的数．

若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则a1，a2，a5中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．

于是a1，a2，…，a5中必定有一个数是5．

若a1，a2，…，a5中含1，则不含9．于是不含4（4+1+5=10），故含6；于是不含3（3+6+1=10），故含7；

于是不含2（2+1+7=10），故含8．但是5+7+8=20是10的倍数，矛盾．

若a1，a2，…，a5中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5=20），故含4；于是不含7（7+4+9=20），

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故含3；

于是不含8（8+9+3=10），故含2．但是5+3+2=10是10的倍数，矛盾． 综上所述，n的最小值为5．（8分）

24，解：∵随着x增大，[x]，[2x]，[3x]，[4x]中有时候只有一个数会增加1，

如x=0.25时，在x＜0.25时，[x]，[2x]，[3x]都是0，[4x]是1，A=0+0+0+1=1； 当4x=1时，有时几个数同时增加1，使得中间数有跳过．

如当0.25＜x＜0.5，A=0+0+1+1=2，当x=0.5时，A=0+1+1+2，中间就跳过了3． 如当0.5＜x＜1，A=0+1+2+3，当x=1，A=1+2+3+4，中间跳过3，7，8，9． 再增加也是这个规律，每隔10会有一个循环．

∴从小到大排列，第30个数应该是，30除以4等于7余2， ∴第30个数是为77． 故答案为：77．

25,解：设甲、乙、丙三人完成同一件工作所需要的时间分别为a、b、c天，则

a=bc / b+c ?p b=ac /a+c ?q c=ab /a+b ?x ， ∴ p=a(b+c)/ bc q=b(a+c) /ac x=c(a+b) /ab ，

∴p+q+2 /(pq－1) =a(b+c)/ bc +b(a+c)/ ac +2 除以 a(b+c)/ bc ?b(a+c) /ac －1 =c(a+b)/ ab ，

∴x=p+q+2 /（pq－1 ）．

26.解：如图：

过点E作EF∥AD，且交BC于点F，则CF/ FD =CE/ EA =2 5 ， ∴FD=5/ 5+2 ×CD=5/ 7 ， ∵PQ∥CA，

∴PQ /EA =BP/ BE =BD/ BF =4/（ 4+5 /7 ） =28 /33 ，

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于是PQ=140 /33 ， ∵PQ∥CA，PR∥CB， ∴∠QPR=∠ACB， ∵△PQR∽△CAB，

∴S△PQR S△CAB =(PQ /CA )2=(20 /33 )2=400 /1089 ． 故答案是：400 /1089

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8mnr.html