J0321 - A

中国人口增长预测

摘 要

中国是一个人口大国，人口总数及结构的变化对未来经济、社会的发展有着直接而深刻的影响。因此，对人口总数和年龄、性别、地域等结构发展趋势的准确预报对制定人口政策具有非常重要的作用。

人口模型是一个动态的复杂系统，总数和结构都在逐年发生变化。引起这些变化的因素是很多的，而这些因素的结果集中通过出生率和死亡率的变化影响人口。数据表明出生率和死亡率因人口的年龄、性别、地域、年份不同而变化。为预测未来若干年不同人群出生率和死亡率的变化，本文首先根据现有出生率和死亡率按年龄变化的特点，分别利用对数正态函数和分段指数函数对不同地域、性别的人群中出生率和死亡率进行了非线性最小二乘拟合，得到了它们与年龄的变化规律，再对不同年份拟合得到的两个参数进行线性拟合，实现了对未来不同人群出生率和死亡率的预报。这样做的好处是可以保证了各种人群出生率和死亡率关于年龄的变化规律基本一致，与逐年龄预报相比，节省了计算量。预报结果表明，我国人口的出生率和死亡率逐年缓慢下降，体现了“低出生，低死亡”的特点。

在此基础上，本文以宋健提出的离散形式的人口发展模型为基础，结合我国人口的实际数据和发展特点，分性别建立了人口发展的矩阵递推模型。利用该模型对不同地域、年龄、性别的人群进行了中短期预报，得到了中短期人口结构的数据，2006~2010年我国人口总人数分别为:13.10亿,13.13亿,13.16亿,13.17亿,13.19亿。本文同时分析了我国人口性别比、老龄人口比、城镇乡人口比的变化规律。因为国家计划生育政策可以影响总生育率，本文通过调整总生育率，又分析了观察人口政策改变对人口结构的影响。

[关键字] 人口发展模型 非线性最小二乘拟合 总生育率

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一. 问题重述

人口数量, 质量以及年龄结构的形态直接影响着一个地区的经济发展, 资源分配,社会保障, 社会稳定和区域活力。随着中国近年来不断的发展, 人口的结构产生了一定的新特点, 例如老龄化进程加速,出生人口性别比例增高, 乡村人口城镇化等。这些新特点都会对人口总数的变化产生不同程度的影响。但是, 人口数量的单独预测已经能不能够对国家的发展控制产生足够有效的意义, 所以对这些新特点各自具有什么特征的研究, 以及人口结构的技术分析已经成为新的课题。在本文中, 我们将解决以下问题：

1. 建立数学模型，实现对我国人口总数和人口结构的中短期和长期预测。 2. 为研究我国人口结构变化规律，研究人口男女出生比例、不同年龄层人

数的比例关系、城镇乡三部分的人口比例等数据的变化规律。

3. 通过调整模型中一些能够体现人口政策的参数，研究政策调整对人口总

数和结构的变化的影响，为人口政策调整提供实验数据。

二. 问题分析

2.1题目分析

本题的主要目的不仅仅是给出一个对人口总数的预报，而更重要的是体现出随着时间的推移，我国人口结构在老龄人口比例、男女性别比例以及城镇化水平 等方面的具体变化规律，为我国建设和谐发展的现代化社会提出科学合理的指导。为制定符合科学发展观的人口政策建言献策。

人口数量以及结构的变化受到总生育率、育龄妇女占总人口比重、社会发展水平、医疗养老保险政策等诸多因素的影响和制约，而这些制约在人口模型中主要通过生育率和死亡率体现。从提供的数据来看，在不同城、镇、乡等不同地域、不同性别、不同年龄层次、不同年份出生率和死亡率是不同的，所以要实现对人口数量和结构的预报首先要实现对出生率和死亡率的准确预报。本文首先分析了现有出生率、死亡率数据的特点，对它们分别建立了数学曲线模型进行拟合，并对不同年代拟合得到的参数又建立线性模型进行预报，从而实现对将来不同年龄、性别、地域的人口的出生率死亡率进行预报。

在实现了对出生率、死亡率的预报后，下面要建立人口发展模型。现有的人口发展模型较多，比如灰色系统GM（1，1）预报模型、Logistic模型、宋健模

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型［１］、Verhuls模型等，各有特点。其中Logisitic模型比较符合人口发展的规律，但它适于描述一种自然增长模型，不适于我国计划生育政策下的人口发展实际，灰色预报模型能够较好的克服数据的随机性，但没有结合和出生率、死亡率等数据，纯粹从人口数预报人口数，而且不能实现人为的政策调控。而宋健模型运用了年龄移算理论【２】，结合了生育率死亡率等数据，既比较符合人口发展的机理，又能够反应我国的实际国情。本文拟在宋健模型的基础上，结合题目提供的大量数据建立一个更为具体的人口发展模型。它既能预报出不同地域、不同性别、不同年龄层次的人口变化规律，又能通过调整模型中的一些控制参数，模拟因为政策调整对人口变化规律的影响。

2.2 数据提取与修正

在附录Excel表中, 给出了中国人口1%的调查信息

1) 2005年中国人口1%调查数据。包括了城镇乡三部分男女人口总数。但是这

些数据只是人口抽样结果,而并非1%抽样数据结果。也就是说这三部分人口数据总和并非真实的全国人口数据的1%。为了实现对我国人口总数的间接预测，本文通过网络资源查出2005年我国实际的人口总数为：130756（万）， 然后将题目提供的2005年人口数据与之折算，得到了抽样数据占全国人口总数的比例为：12.99%，并以此作为全国总人口预报的依据。

2) 2001-2005各年中,城,镇,乡三部分地区中男性,女性各自所占地区总人口比例,

死亡率, 这些数据是按照0-90及90岁以上这91组给出的,以及15-49岁城镇乡妇女生育率统计数。我们将这五年的具体数据, 分男女, 分年龄、地域进行了分类整理，将其作为相应参数预测的原始数据。

3) 1994-2005各年中城,镇,乡男女比例,妇女生育率(缺1994,2000年数据)。

三. 模型假设

1 国家对人口的宏观调控在短期内不会发生太大的变化。 2. 由于我国幅员辽阔,人口底数大,所以假设迁入迁出人数为零。

3. 我们假设在题目中所给的数据是真实可信的，同时，城镇乡的抽样比例相同，男女抽样调查比例相同。

四 符号说明及名词解释

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4.1名词解释

1) 人口:生活在一定社会生产方式,一定时间,一定地域,实现其生命活动并构成

社会生活主题,具有一定数量和质量的人所组成的社会群体。

2) 生育率: 某年每1000名15-49岁妇女的活产婴儿数。又称一般生育率。他将

生育同可能生育的特定性别年龄的人口联系起来。它更能解释生育水平的变化。

3) 总和生育率:假设妇女按照某一年的年龄别生育率度过育龄期,平均每个妇女

在育龄期生育孩子的总数。

4) 死亡率:一定时期内(通常为一年)死亡人数与同期同年龄总人数之比。

5) 人口性别比:之某一人口中男性对女性的比例,通常以100个女性对一个的男

性数来表示。

4.2符号说明

符 号 符 号 说 明 年龄r=0,1,…,89,90+ 年份 死亡率(‰) 妇女平均总和生育率(万) 第t年总人口数(万) 第t年第i年龄组别妇女的生育率(‰) 第t年第i年龄组别的人口数(万) 国家宏观调控对生育率产生影响的调控因子 r t ?(r,t) ?(t) N(t) bi(t) xi(t) a 五.模型建立

我们认为在预测人口总数的基础上,更重要的是预测人口按照年龄的分布情况,即人口结构,因为人口结构不仅是历史上人口迁移,生育,死亡的结果,也是未来

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研究人口发展的参照。 本文将人口发展模型的建立分为两步：第一步：建立出生率死亡率模型；第二步：分别建立人口发展的中短期和长期模型。

5.1生育率预测模型—对数正态分布模型: 5.1.1基本方法—主成份分析法

每一年的分年龄别的生育率有15~49岁共35组数据,即使将其压缩为以五岁年龄为间隔的年龄组生育率,也需要7组数据。如果以不同年龄别或年龄组的生育率作为预测单位,则预测的工作量会很大。所以我们利用Bozik和Bell提出的主成份分析法应用于生育率的预测,其基本思想是将各个年龄组生育率视为多个变量,透过主成份分析缩减维度简化计算。由于各主成份间相互独立,可以对每一主成份进行预测,将多变量预测问题转化为若干单变量的预测。所以可以使用合适的生育率模型拟合历史统计数据,以辨识得到的各个参数作为观测序列,即要预测的主成份。分别对这些参数进行预测。然后,只需将各个参数的预测值代入已经选择好的生育率模型,即可得到分年龄别生育率的预测值。

利用附录中的数据,提取2001~2005每年15~49岁,按照城镇乡划分的妇女的生育率。 bi(t)表示第t年中年龄为i的妇女生育率,其中

i?15,16...,49,t?2001~2005

5.1.2模型选取---对数正态分布模型 以2001~2005年乡村妇女生育率为例说明。

从附录中分别提取2001~2005年各个年龄段妇女生育率，借助MATLAB软件,描绘以年龄t为变量,生育率为因变量的散点图1。

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图1：2001~2005年乡村妇女实际生育图

发现每年的散点分布大致服从正态分布,因此,可以在概率分布函数的基础上构造生育率模型,采用Lognormal(对数正态分布模型)[1],其数学表述为

[ln(x?x0)??]21 f(x)?k1??exp{?} (1) 22??2?

其中:x为年龄, x0为生育起始年龄,这里我们选取x0=14, , ?,?,k1为待求参数,

k1表示对数正态分布所对应的尺度变换因子,与生育水平有关, 由模型计算得到

(?的期望生育年龄为 exp??22?)x0

?,?决定了分年龄别生育率曲线的形状,在?相同的情况下, ?越小,到达语气生育年龄的时间就越短。 在?相同的情况下,?越小,期望生育年龄周围生育率越高。

5.1.3拟合效果检验

我们对2001年城市妇女的生育率进行线性拟合，拟合图如下：

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图2：2001城市妇女生育率的拟合图

拟合曲线上的数据和真实数据之间的误差见下：

表1：2001年城市妇女生育率(‰)拟合数据和真实数据之间误差 拟合数据 4.88E-09 0.000718 0.11285 1.7424 8.9473 24.84 47.195 69.839 86.963 95.701 96.175 90.281 80.451 68.864 57.121 46.224 36.68 28.659 样本数据 0.02 0.25 1.07 3.07 9.83 29.01 48.17 64.95 84.17 96.45 96.52 92.42 83.1 69.48 55 45.34 35.43 27.09 误差(%) -0.02 -0.24928 -0.95715 -1.3276 -0.88268 -4.17 -0.97549 4.8892 2.7927 -0.74881 -0.34506 -2.1389 -2.6491 -0.61642 2.1214 0.88383 1.2505 1.5689 拟合数据 22.117 16.902 12.818 9.6612 7.248 5.4181 4.0394 3.0059 2.234 1.6592 1.2319 0.91476 0.67955 0.50517 0.37588 0.27998 0.20881 样本数据 21.28 17.5 12.46 8.98 6.36 4.51 3.37 2.7 1.76 1.23 0.9 0.64 0.76 0.9 0.5 0.52 0.74 误差(%) 0.83705 -0.59775 0.35753 0.68119 0.88796 0.90807 0.66943 0.30591 0.47403 0.42917 0.3319 0.27476 -0.08045 -0.39483 -0.12412 -0.24002 -0.53119 均 方 误 差=0.421036%

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5.1.4模型预测

通过将数据代入Lognormal模型,得到2005年各个参数如下:

表2：2005年乡村妇女生育率模型中的参数

参数名 参数值

同上,我们可以得到2001~2005各年参数,如下所示:

表3：2001~2005年乡村妇女生育率模型中的参数

2001 2002 2003 2004 k1 153.98 ? 2.29 ? 0.32992 k1 167.89 166.71 166.46 155.87 ? 2.2082 2.2405 2.2361 2.2861 ? 0.41091 0.38158 0.3683 0.33952

利用上表中k1 ? ?这三列的数据再进行纵向拟合。我们以k1这一列的数据进行说明:通过2001~2005这五年的k1值,借助MATLAB软件进行以年份为变量, k1值为因变量的线性拟合,得到了如下预测结果。 表4: 参数k1的2006~2015预测值

年份 2006 2007 2008 2009 2010 k1 150.58 146.72 142.85 138.98 135.12 年份 2011 2012 2013 2014 2015 k1 131.25 127.39 123.52 119.65 115.79 同理,可以得到参数? 和?二十年预测值如下表:

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表5:2006~2015年参数? ，?的预测值

年份 2006 2007 2008 2009 2010 ? 2.3149 2.3358 2.3567 2.3777 2.3986 ? 0.30484 0.28443 0.26403 0.24363 0.22322 年份 2011 2012 2013 2014 2015 ? 2.4195 2.4404 2.4613 2.4822 2.5031 ? 0.20282 0.18242 0.16201 0.14161 0.12121

将各年对应的参数代入模型方程中，就可得到各年各年龄组妇女的生育率。

5.2死亡率预测模型—分段死亡率模型 我们仍采取主成份分析法进行预测。 5.2.1基本模型:--分段死亡率模型

我们以2001～2005年男性的死亡率数据进行EXCEL散点图描绘,图示如下：

2001－2005年男性死亡率按年龄分布图3503002502001501005001713192531374349556167737985912005年城市男性死亡率按年龄分布2004年城市男性死亡率按年龄分布2003年城市男性死亡率按年龄分布2002年城市男性死亡率按年龄分布2001年城市男性死亡率按年龄分布图

图3：2001～2005男性死亡率按年龄分布图

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观察上图可以发现，在儿童少年时期的死亡率随年龄的上升而下降，在老年期死亡率随年龄的上升而上升，而青壮年的死亡率变化比较平稳且水平较低。考虑到死亡率在儿童少年期，青壮年期，老年期各自有各自的特征，因此在每个区间分别使用不用的模型进行拟合。

对比各种死亡率模型，发现在年龄x满足0

?(x)??x?‰ (2)

当x>14，即高龄期，Kannisto模型的拟合效果较好:

?x?x‰ (3) ?(x)??x1??(x?1)综合以上两个阶段,我们得到最终的综合模型---分段死亡率模型:

??1x?1/1000?(0x?15)? ?(x)?? (4) ?2x?2x?1??(x?2x?1)/1000(x?14)?2

5.2.2拟合效果检验

我们以2005城市小于15岁男性人口和2005年城市大于14岁女性人口为例,通过上述分段模型，得到如下的拟合曲线

图4：2005城市小于15岁男性人口死亡率拟合曲线

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表6：2005城市小于15岁男性人口死亡率（‰）拟合值和真实值的误差 年龄 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 样本数据 拟合数据 6.3321 6.38 1.2567 0.84 0.48798 0.58 0.24941 0.56 0.14819 0.2 0.096847 0.23 0.067593 0.29 0.0495 0.51 0.037606 0.3 0.029411 0.44 0.023547 0.18 0.019221 0.19 0.015947 0.32 0.013415 0.13 0.01142 0.36 均方误差 ＝0.464615％ 误差％ -0.047945 0.4167 -0.092019 -0.31059 -0.051809 -0.13315 -0.22241 -0.4605 -0.26239 -0.41059 -0.15645 -0.17078 -0.30405 -0.11659 -0.34858

图5：2005城市大于15岁女性人口死亡率拟合曲线

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表7：2005城市大于15岁女性人口拟合死亡率（‰）和真实值的误差

年龄 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 样本 数据 0.07 0.18 0.15 0.31 0.24 0.06 0.26 0.23 0.21 0.23 0.29 0.36 0.14 0.18 0.3 0.2 0.29 0.44 0.27 0.5 0.44 0.62 0.6 0.76 0.7 0.72 拟合 数据 2.4204 2.445 2.4703 2.4962 2.523 2.5505 2.5788 2.608 2.638 2.669 2.7009 2.7338 2.7678 2.8029 2.8392 2.8766 2.9154 2.9555 2.997 3.04 3.0845 3.1308 3.1787 3.2285 3.2803 3.3342 误差 ％ 2.3504 2.265 2.3203 2.1862 2.283 2.4905 2.3188 2.378 2.428 2.439 2.4109 2.3738 2.6278 2.6229 2.5392 2.6766 2.6254 2.5155 2.727 2.54 2.6445 2.5108 2.5787 2.4685 2.5803 2.6142 年龄 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 样本 数据 0.7 0.82 1.03 1.16 1.07 1.64 1.19 1.82 1.61 2.05 1.94 2.37 2.9 3.6 3.17 3.34 4.04 4.17 5.49 6.28 5.82 6.82 7.83 7.4 9.73 8.07 拟合 数据 3.3902 3.4486 3.5094 3.5729 3.6393 3.7086 3.7811 3.8571 3.9367 4.0204 4.1082 4.2007 4.2981 4.4009 4.5096 4.6245 4.7463 4.8757 5.0133 5.16 5.3166 5.4843 5.6642 5.8577 6.0664 6.2921 误差 ％ 2.6902 2.6286 2.4794 2.4129 2.5693 2.0686 2.5911 2.0371 2.3267 1.9704 2.1682 1.8307 1.3981 0.80094 1.3396 1.2845 0.70635 0.70571 -0.47668 -1.12 -0.50338 -1.3357 -2.1658 -1.5423 -3.6636 -1.7779 年龄 68 69 70 71 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 样本 数据 11.34 13.7 15.23 16.1 16.79 19.97 23.7 21.61 27.36 32.91 36.15 40.7 42.83 50.51 54.27 58.29 65.92 79.3 82.12 104.3 117.01 111.96 124.77 269.87 108.67 131.72 拟合 数据 6.5372 6.804 7.0957 7.4158 7.7688 8.16 8.5959 9.0846 9.6363 10.264 10.985 11.821 12.802 13.969 15.382 17.127 19.335 22.221 26.151 31.819 40.703 56.625 93.433 270.54 13.162 13.179 误差 ％ -4.8028 -6.896 -8.1343 -8.6842 -9.0212 -11.81 -15.104 -12.525 -17.724 -22.646 -25.165 -28.879 -30.028 -36.541 -38.888 -41.163 -46.585 -57.079 -55.969 -72.481 -76.307 -55.335 -31.337 0.66539 -95.508 -118.54 均 方 误 差 ＝ 0.207012%

通过上表可见，曲线拟合的误差较小，拟合效果比较好。

5.2.3模型预测

将2001~2004年城市男性人口的死亡率数据代入分段死亡率模型进行线性拟合,得到各年的参数,如下表7所示:

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表8:2001~2004年城市男性死亡率参数拟合值

2001年 2002年 2003年 2004年

结合2005年相关参数，利用上表中四个参数所在列的数据,分别再次进行线性拟合,得到以时间为变量的四条曲线，表示了模型中各个参数分别的变化。 在这里,我们选取了2006~2015年,死亡率参数间参见下表:

表9:2006~2015年死亡率参数的预测值 (单位:‰) 年份 2006 2007 2008 2009 2010

在上表中,每一行的四个参数,都可以唯一确定当年不同年龄组的死亡率。根据死亡率模型公式,当需要得到0~15岁人口的死亡率是,将当年的?1,?1代入公式(2)

?1 5.6809 10.76 3.25 4.2749 ?1 -1.1137 -13.826 -11.699 -2.8584 ?2 9.9919 10.136 9.0058 9.037 ?2 -0.00111 -0.00108 -0.00127 -0.00126 ?1 5.6809 12.5271 8.6 4.0477 13.9066 ?1 -1.1137 -13.8257 -11.699 -2.8584 -2.333 ?2 9.9919 5.8692 10.908 6.5687 10.093 ?2 -0.0011105 -0.0020243 -0.001035 -0.0017792 -0.0011265 ?(x)??1x?‰

1当需要15岁以上人口的死亡率,就将当年?2,?2代入公式(3)

?2x?x‰ ?(x)?1??2(x?x?1)22我们以2006年5岁和20岁城市男性的死亡率为例进行说明:

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取年龄x=5,代入(2),记得到了2006年的死亡率

?(x?5)??1x??2.5809?5?1.1137=0.4029‰

1取x=20,代入(2):死亡率为:

?2x?x9.9919?20?0.0011105?20=26.2000‰ ?(x?20)??1??2(x?x?1)1?9.9919(20?0.0011105?20?1)22同理可以预测出2006年城市男性0~90岁各个年龄的死亡率。我们这里先给出二十个年龄组死亡率的预测值如下表:

表10:2006年城市男性死亡率

年 龄 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 死 亡 率‰ 2.6754 2.6733 2.6715 2.6699 2.6685 2.6672 2.666 2.6649 2.6639 2.66 年 龄 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 死 亡 率‰ 2.6734 2.7019 2.7312 2.7613 2.7923 2.8242 2.857 2.8909 2.9257 2.9617

5.3人口预测—人口发展模型 5.3.1模型引入

20世纪80年代初,宋健等人的人口发展方程,用微分方程来研究人口系统,即把人口系统看作一个动力系统来进行研究,从而把我国人口研究从定性研究引入到定量分析中。但由于人口系统的复杂性,影响其发展的因素很多,我们不可能将所有因素都带入人口发展微分方程作为参数。常用的方法是对人口总量、死亡率等数据进行预测。但随着时间的推移,当时的死亡率、生育模式等参数已经发生了很大的变化,当时建立模型的条件和结论已经不适用于现在的情况。鉴此,本文针对我国人口现状,重新给出建模参数,用微分方程模型对人口总量,进行预测。所

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得结果与实际情况比较吻合,可以为相关部门制定人口政策提供一定的数据支持。

5.3.2人口发展方程

1) 完整的人口发展方程的连续形式为:

??p(r,t)?p(r,t)??r??t???(r,t)p(r,t)?f(r.t)??p(r,0)?p(r)0 (5) ??p(0,t)??(t)?r2?(t)??(t)??r1h(r,t)k(r,t)p(r,t)dr?其中

p(r, t)为人口按年龄分布密度函数, p(r,t)??N(r,t)/?r, N(r,t)表示t时刻某地区年龄小于r的人口总数,它是关于r的非减函数。

f(r.t)为迁移函数

p0(r)表示初始年代按年龄人口密度函数,

?(t)表示婴儿出生总率, 直接含义是时刻t单位时间内平均每个育龄女性的生育

数，是人们主要关注和可以用作控制手段的人口控制变量

?(t)是死亡率函数,可以有人口统计资料得到。

N(t)表示t时刻总人口数。

由于我国幅员辽阔,人口底数巨大,我们可以认为迁入迁出人口函数f(r.t)=0。 方程组(1)中的第2,3式为定解条件。 p0(r)为初始概率密度，可由人口调查资料得到。。

2) 人口发展方程的离散形式

为了对人口发展方程进行定量分析，对其进行数值求解，还需要将微分方程离散化。

我们将每个年龄i作为一个组别,则0~90+可以分为91组,在第t年终,年龄i中的总人数记作xi(t),于是x(t)?(x0(t),x1(t),...,xm(t))T这个人口列向量表示第t年各年

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龄的人口构成。下图反映了人口迁移的变化过程

第n年出生人口 第n-1年1岁到第n年2岁第n-1年1岁人死亡人口 第n年0岁人口 第n年2岁人第n年90岁人口 人口变迁过程 第n-1年1岁人口 0岁--?1岁---?2岁…………………………………-?89岁--?90岁及以上

图6:人口发展方程的数据流图

? 下边界条件设定

我们知道,在第t年,0岁人口总数即为第t年新生人数之和,而第t年新生人口是由第t年15-49岁妇女生育的, 设定bi为第i年龄组的妇女生育率, ?i(t)为女性人口

占全体人口的比例, a为总和生育率,上述关系可用数学式表示如下

x0(t)?a??i(t)bixi(t) (6)

i?1549? 非边界条件下的求解

另外,设?i(t)表示第t年第i个年龄组的死亡率,则

第t+1年第i(i=1,2,3…,89)年龄组的人数xi(t?1) 为第t年第i年龄组的存活率和第t年第i年龄组的总人数的乘积,即

xi(t?1)=(1??i?1(t))xi?1(t) (7) ? 上界条件设定

?x而最后一个年龄组包括90岁及以上,其总人数90(t?1)为

x?90(t?1)?(1??89(t))x89(t)?(1??90(t))x90(t) (8)

16

结论:综合上述三个表达式,得到了离散化的人口增长模型,表达式如下:

49??x0(t)?a?bixi(t)i?15??x(t?1)?(1??(t))x(t) (9) i?1i?1?i?x?(t?1)?(1??(t))x(t)?(1??(t))x(t)89899090?90??i=1,2,3,4...,89

3)基于宋健人口模型的进一步改进

为了利用人口总数和人口结构对之后中国人口男女比例平衡,乡镇城市化发展,人口老龄化问题作出一定的指导,我们在该模型中,将所给的数据进行细化: 我们以城市人口的细化为例作出划分示意图:

总人口 城市 男 0 1 ……… 90+ 镇 女 0 1 ……… 90+ 乡 女 男 女 男 镇,乡男女的再进一步划分同城市男女的细分 图7：人口预测划分图：

从上表中看出:

首先,我们设xc,xz,xx分别表示城镇乡人口数量,下标c代表城市,z代表镇,x代表乡 其次,将xc,xz,xx在按照男女划分为xc_m,xc_f,xz_m,xz_f,xx_m,xx_f,m表示男性,f表示女性。

最后,在按照各个年龄将如

xc_m,xc_f,xz_m,xz_f,xx_m,xx_f各自划分为 91个年龄组,

xc_m_i表示城市女性第i个年龄组的人数。

即有:

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x(t)?xc?xz?xx?(xc_m?xc_f)?(xz_m?xz_f)?(xx_m?xx_f)90? (10)

??[(xc_m_i?xc_f_i)?(xz_m_i?xz_f_i)?(xx_m_i?xx_f_i)]i?0

所以我们将按以上分类对各部分人口分别进行预测。

于是我们的模型在预测男女人口的模型中出出现了一定的差别: 男性人口预测模型为(其中rm_0(t)表示第t年中0岁男性的比例)

?49?xm_0(t)?a?bi(t)xf_i(t)rm_0(t)??i?15?xi(t?1)?(1??i?1(t))xi?1(t) ??x90?(t?1)?(1??89(t))x89(t)?(1??90(t))x90(t)??i=1,2,3,4...,89

女性人口预测模型为: (其中rf_0(t)表示第t年中0岁男性的比例)

?49?xf_0(t)?a?bi(t)xf_i(t)rf_0(t)??i?15?xi(t?1)?(1??i?1(t))xi?1(t) ??x90?(t?1)?(1??89(t))x89(t)?(1??90(t))x90(t)??i=1,2,3,4...,89

综合上述两个部分,对于城镇乡三者中任意一个的总人口预测模型优化为:

?4949?x0(t)?xf_0(t)?xm_0(t)?a?bi(t)xf_i(t)rf_0(t)?a?bi(t)xf_i(t)rm_0(t)??i?15i?15?xi(t?1)?(1??i?1(t))xi?1(t) ??x?90(t?1)?(1??89(t))x89(t)?(1??90(t))x90(t)??i=1,2,3,4...,894)模型方程的矩阵表示 我们以

xc_m,xc_f,xz_m,xz_f,xx_m,xx_f中的任意一组数据为例进行说明。

表达式组(4)按照矩阵可以统一表示如下:

18

(11) x(t?1)?H(t)x(t?)B(t) x t (12) 其中x(t)?(x1(t),x2(t),...,xi(t))T,

0...00??0?1??(t)?001??? (13) H(t)??1??2(t)??...???1??i?1(t)1??i(t)????0...0b15(t)?0..00B(t)???........?00?0...b49(t)0...00...........000?0?? (14) ...??0?从上述分析我们知道:将每年的生育率，死亡率代入矩阵(13)（14）中就可以得到当年人口总数的预测。

表11:2006~2040年人口预测值

年份 2006 182348713.5 181465589.7 113187676.1 111377944.8 366896539.1 2007 183251768.2 182257362.4 113566029.3 111713830.8 367363132.2 2008 183910864.3 182845142.4 113862488.3 111999231.6 367468444.1 2009 184411728.3 2010 184822839.3 183345276 183745596 113988965 114096523 112004569 112015698 367500320 367500250 3.55E+08 3.55E+08 3.56E+08 3.56E+08 3.56E+08 3.58E+08 3.61E+08 3.65E+08 3.63E+08 3.64E+08 3.67E+08 城市男 城市女 镇男 镇女 乡男 乡女 2015 186007848.6 184923698.4 114828063.7 112733897.3 369856512.9 2020 187176813.6 186094370.8 115698125.3 113683975.1 373010651.2 2025 187355409.5 186448037.9 116295437.5 114436016.9 376970311.4 2030 188493963.3 187395322.8 116362814.8 114240658.5 374799883.5 2035 189168044.1 188065474.7 116778944.5 114649199.1 376140220.3 2040 190569459.4 189458721.8 117644079 115498555.8 378926783.3

我们将2006~2010年城市男性和镇女性人口总数作出柱状图如下:

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2006~2010年总人口预测132000000013180000001316000000131400000013120000001310000000130800000013060000001304000000200620072008年份20092010

图8:2006~2010年人口总头数预测值

2006~2010城市男性人口预测18600000018500000018400000018300000018200000018100000020062007200820092010人口系列12006~2010镇女性人口预测11220000011200000011180000011160000011140000011120000011100000067890000000022222010人口系列1人口系列1年份年份

图9:2006~2010年城市男性和镇女性人口总数预测值

2006~2040年长期城市男性人口总数192000000190000000188000000186000000184000000182000000180000000178000000161116212631年份2006~2040年长期镇女性人口总数116000000115000000114000000113000000112000000111000000110000000109000000161116212631年份人口系列1人口系列1

图10:2006~2040年长期城市男性和镇女性人口总数预测值

20

5.4老龄化问题: 5.4.1问题引述

随着计划生育政策的进一步贯彻落实,全国生育率迅速大幅度下降,同时随着医疗事业的发展,人口死亡率不断降低。这种低生育低死亡的人口发展状态导致了我国人口老龄化速度的加快。 5.4.2衡量指标:

我们认为可以用以下几个指标来量度老龄化程度 1) 人口抚养比：

人口抚养比指人口总体中非劳动年龄人口数（本文定为60以上）与劳动年龄人口数（本文定为15~59岁）之比。通常用百分比表示，说明每 100 名劳动年龄人口大致要负担多少名非劳动年龄人口。用于从人口角度反映人口与经济发展的基本关系。

2) 60/65岁以上人口在全国总人口中所占比例

这个比例越高，说明老龄人口群体在全国总人口中所占的比例最大，通过对未来这个指标的计算，可以得到老龄人口的比重的变化趋势，这种趋势正是我们所需要探讨的老龄化进程的重要标志。

在对总人口的数量预测中,我们的模型已经是按照不同年龄分别进行的计算,所以从我们已经得到的数据中,我们进行分类对比。见下表:

表12：中国未来10年人口老龄化发展预测

人口老龄化2006 指标 >60岁% >65岁% 人口抚养比 11．2 7．6 10．9 11．6 7．9 11．3 12．3 8．0 11．8 12．7 8．3 12．0 13．2 8．9 12．4 15．8 10．2 15．0 2007 2008 2009 2010 2015

从我们计算得出的结果可以看出，我国的人口老龄化程度在不断加深。我们认为国家会在老龄化达到一定程度后采取相应措施抑制问题加剧。如我国某些地区现在已允许夫妻双方均为独生子女的家庭生育第二胎，这必然会导致生育率的提

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高，因此我们在人口预测模型中引入的生育率控制因子a可体现国家政策变化等对生育率的影响。 5.5新生人口性别比的分析 5.5.1问题引述

我国“人口政策几乎全部集中于妇女生育子女数为代表的生育率下降”，人口与计划生育工作多年来一直强调出生人口数量的控制，忽视了对出生性别比正常的关注，在政策法规、管理评估和规范服务方面都没有把握住出生人口性别结构的平衡，为存在性别偏好观念的人群提供了可乘之机。有专家认为以女婴为主的出生人口漏报和通过B超仪进行产前性别鉴定及选择性人工流产是可以解释80年代后期以来中国出生性别比偏高的主要原因(穆光宗，1995)。 5.5.2衡量指标

每年新生人口的男女比例:

在按照性别的人口数量预测中,我们知道每年新生男性和新生女性的人口数分别是:

xm_0(t)?a?bi(t)xf_i(t)rm_0(t)

i?154949xf_0(t)?a?bi(t)xf_i(t)rf_0(t)

i?15所以n?xm_0(t)xf_0(t)就代表了第t年新生人口的男女比例。下表是我们对

2006~2030年新生人口性别比的计算结果:

表13:2006~2015年新生人口性别比

2006 2007 2008 2009 2010

xm_0(t) 7609016 8576454 8676548 8756320 9203837 22

xf_0(t) 6419086 7239012 7146021 7190120 7262879 n 1.185374 1.184755 1.214179 1.217827 1.267244 1.281.271.261.251.241.231.221.211.21.191.182005200620072008200920102011系列1

图11:2005~2010年新生性别比的预测值

5.5.3数据分析:

我们上述预报过程是基于政府人口政策无大变化的基础上,即a恒定下计算得到的，但是我们可以预见，如果中国出生人口性别比持续非平衡发展，会出现一系列的社会问题，例如收入、素质较低男性在到达婚姻年龄时难以找到配偶等。而国家绝不会也任凭这种非正常发展，甚至群众自身也会因为男孩抚养成本的提高而自动进行男女生育比例的调整。国家的调控可以通过a来反映，而总和生育率和a之间有着直接的关系。我们改变总和生育率的值，得到一系列预测结果。用下图表示：

3000000000250000000020000000001500000000100000000050000000001611162126313641总和生育率为1.0时的人口总数预测总和生育率为1.8时的人口总数预测 总和生育率为3.0时的人口总数预测

图12：不同总和生育率下的人口预测结果 5.5.4新生性别比建议

国家可以通过以下措施来引导男女比例向正常方向发展 1) 禁止非医学需要鉴定胎儿性别和选择性终止妊娠。

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2) 制定相关政策和管理制度。

3) 制定并兑现一系列有利于计划生育女儿户家庭的奖励扶助政策，如开展

“关爱女孩工程”。

所以我们认为在国家的引导下，在较长时间后，出生人口性别比会在经历幅度越来越小的震荡，最终达到由生物学规律决定的正常出生性别比，即n保持在1.03～1.07之间。

5.6乡村城镇化进程问题： 5.6.1问题引述：

城镇化不是一个抽象的概念, 它是经济、社会发展的一种体现, 是社会生产力发展到一定阶段的客观过程。具体而言, 就是一定地域在社会产业结构、人口、文化和人们的生产生活等各方面, 向具有城镇特点的表现形态变迁的系统的、动态的过程。

5.6.2衡量指标：

根据我们对未来人口的分地区预测，我们可以得到未来乡村人口总数，镇人口和城市人口总数。乡村人口总数和城镇人口总数的比值可以作为对城乡化进程的反映。我们列出2006~2010年的计算数值：见表13

表14:2006~2010年乡村，城镇人口以及比例 乡村人口 城镇人口 乡村人口/ 城镇人口 2006 2007 2008 2009 2010

5.6.3乡村城镇化进程建议

中国城镇迅速发展, 历史数据也表明，中国城市化速度达到同期世界城市化速度的两倍, 但是与世界发达国家相比, 中国城市化程度仍然十分落后，所以加强乡

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7.22E+08 7.23E+08 7.23E+08 7.23E+08 7.24E+08 588379924.1 590788990.8 592617726.6 593750538.3 594680656.3 1.23E+00 1.22E+00 1.22E+00 1.22E+00 1.22E+00 村城镇化进程将对我国目前经济发展产生重要影响。 5.7 长期预报模型

如果直接将上述预报的模型（见11式）用于预报长期预报，发现由于生育率和死亡率变化过于平缓，导致人口峰值过大，《国家人口发展战略研究报告》中指出：“随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，20世纪90年代中后期，总和生育率已降到1.8左右，并稳定至今。实现全面建设小康社会人均GDP达到3000美元的目标，要求把总和生育率继续稳定在1.8左右。”,本文将（11）中的总生育率取为定值1.8，并以2010年的死亡率预报结果作为2010年后固定的死亡率，以此作为人口发展预报的长期模型，并得到如下的预报结果：我国人口总数将在2042年达到峰值15.7843亿。

六.模型优缺点评价

6.1模型优点：

1）本文首先根据现有出生率和死亡率按年龄变化的特点，分别利用对数正态函

数和分段指数函数对不同地域、性别的人群中出生率和死亡率进行了非线性最小二乘拟合，得到了它们关于年龄的变化规律。与逐年龄预报出生率、死亡率相比，节省了计算量。

2）对上述不同年份拟合中得到的两个参数进行线性拟合，实现了对未来不同人群出生率和死亡率的预报。这样做的好处是可以保证了各种人群出生率和死亡率关于年龄的变化规律基本一致。

3）在人口发展中短期模型中，对人群按性别、地域分别进行计算，便于分别描述不同性别、地域人群的发展变化规律。然后，在总体上考察人口城镇化、男女比例、老年人比重等重要指标的变化规律。

4）在人口发展中短期模型中，显含了总体生育率，通过调整它，可以考察不同人口政策对人口结构变化的影响。 6.2模型缺点：

1）本文建立的生育率、死亡率模型在中短期内的预报效果较好，但长期预报效果欠佳。

2）因为没有提供人口迁移的数据，本文的人口发展模型是在假设迁入迁出人口

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相等的情况下建立的，这与实际情况不甚符合。

3）本文提供的数据仅有五年的，样本数量太少，本文建立的模型利用小样本数据进行长期预报，准确性不高。

·参考文献

[1]虞丽萍，人口年龄结构模型建模和预测，上海交通大学硕士学位论文,28,2007 [2]王培勋，陕西省人口老龄化发展趋势的数学模型与统计预测，统计与信息论

坛, 第19卷第4期,第2页, 2004年7月.

[3]姜启源,数学模型,北京,高等教育出版社,2003年.

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相等的情况下建立的，这与实际情况不甚符合。

3）本文提供的数据仅有五年的，样本数量太少，本文建立的模型利用小样本数据进行长期预报，准确性不高。

·参考文献

[1]虞丽萍，人口年龄结构模型建模和预测，上海交通大学硕士学位论文,28,2007 [2]王培勋，陕西省人口老龄化发展趋势的数学模型与统计预测，统计与信息论

坛, 第19卷第4期,第2页, 2004年7月.

[3]姜启源,数学模型,北京,高等教育出版社,2003年.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8lwp.html