2009全国初中数学联赛

试题

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1.

设a 1，则3a 12a 6a 12 （ A.24. B. 25.

C. 10.

D. 12.

2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ ）

A. B. 10.

C.

3．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x 2[x] 3 0的解的个数为 （ ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）

A.

2

3

2

A ）

D. 3314. B. . C. . D. . 14727

D

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin CBE＝ （ ）

21 B. . C. .

D. 33

6．设n是大于1909的正整数，使得

C

n 1909

为完全平方数的n的个数是 （ ）

2009 n

A.3. B. 4. C. 5. D. 6.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

22

1．已知t是实数，若a,b是关于x的一元二次方程x 2x t 1 0的两个非负实根，则(a 1)(b 1)的

2

最小值是____________.

2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为______.

22

3．如果实数a,b满足条件a b 1，|1 2a b| 2a 1 b a，则a b _____.

2

2

4．已知a,b

是正整数，且满足

是整数，则这样的有序数对(a,b)共有_____对.

试题

第二试 （A）

一．（本题满分20分）已知二次函数y x2 bx c(c 0)的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.

（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点.

（2）如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC＝2，求b和c的值.

二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求I1I2.

试题

三．（本题满分25分）已知a,b,c为正数，满足如下两个条件：

a b c 32 ①

b c abc c a bca a b cab 1

4

②

为三边长可构成一个直角三角形.

第二试 （B）

一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.

二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.

N

B

试题

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

第二试 （C）

一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）已知a,b,c为正数，满足如下两个条件：

a b c 32 ①

b c ac a ba b c1

②

bccaab4

.

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