常系数线性方程组基解矩阵的计算

常系数线性方程组基解矩阵的计算

董治军

（巢湖学院 数学系，安徽 巢湖 238000）

摘 要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过 方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数expAt，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数

Calculation of Basic solution Matrix of Linear Homogeneous System with Constant

Coefficients

Zhijun Dong

(Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu)

Abstract: Differential equations application in engineering technology is very extensive,

when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method.

Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent

引言:线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X’＝AX ★ 的基解矩阵的计算问题，这里A是n?n常数矩阵.

一．矩阵指数expA的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质

定义：对于n?n矩阵A＝?aij?n×n 和n维向量X＝?X1,...,Xn?

??nTn 定义A的范数为A＝?i,j?1a ，

ijX=?i?1x

i设A，B是n×n矩阵，x，y是n维向量，易得下面两个性质： （1）AB≤AB ，AX≤AX； （2）A?B≤A+B ，X?Y≤X+Y.

2.矩阵指数expA的定

(!)定义：如果A是一个n×n常数矩阵，我们定义矩阵指数expA为下面的矩阵级

?数的和： expA=?k?0Ak!k=E+A+A+?+A+? （1.0） 2!m!2m其中E为n阶单位矩阵，Am是A的m次幂，这里我们规定A0=E，0！=1 这个级数对于所有的A都是收敛的.因次expA是一个确定的非负矩阵，特别的，对所有元均为0的零矩阵0，有exp0=E.

事实上，由上面范数的性质（1），易知对于一切正整数k，有

Ak!k≤

Ak!k，

A2!2又因对于任一矩阵A，A是一个确定的实数，所以数值级数E+A++

Am!m+?

?+? 是收敛的.进一步指出，级数expAt=?Akkk!t在t的任何有限区间上是一致

k?0收敛的.

事实上，对于一切正整数k，当t≤c（c是某一整数）时，有

?Ak!ktk≤

Ak!ktk≤

Ak!kc，

k而数值级数??Ack!?k?是收敛的，因而expAt=?k?0kkAk!t是一致收敛的.

k?0（2）矩阵指数expA的性质：

①若矩阵A，B是可交换的，即AB=BA，则 expA（A+B）=expAexpB ；

②对于任何矩阵A，?expA?存在，且?expA?=exp（-A）； ③如果T是非奇异矩阵，则 exp（T?1AT）=T?1（expA）T .

3.有关常系数奇次线性微分方程组★的基本问题 定理1：矩阵?（t）=expAt （1.1）

是★的基解矩阵，且?（0）=E.

证明：由定义易知?（0）=E，将（1.1）对t求导，得??（t）

k?12t+? =AexpAt = A?（t） =?expAt?=A+At+At+?+(kA1!?1)!2!'2?1?13k这就表明，?（t）是★的解矩阵，又det?（0）=detE=1 因此?（t）是★的解矩阵. 证毕.

注1：由定理1，我们可以利用这个基解矩阵推知★的任一解 ?（t）=（expAt）C 这里C打、是一个常数向量.

?a1?A=?????????an?例1：如果A是一个对角矩阵

a2? （其中未写出的元均为零）

试找出x?=Ax 的基解矩阵. 解：由

?a1?????a2??????an?（

?a12??????a221.0

?????2an??）

?a1k??????a2k可

?????kan??得

expAt=E+

t1!+

?t2!2+

?tk!k+?

?ea1t?=????ea2t??????ante?

根据定理1，这就是一个基解矩阵. 例2：试求x?=??2?0?2?01??2?0??2?1??2?x的基解矩阵.

0??2??0?01?? 而且后面的两个矩阵是可交换的，得到 0?0???0?E??2t??e???0?解：因为A=??2expA=exp??0=??2?0+??0t?exp??00?? 0??e2t1??t=?0??01??0?t??0??01??0?2t2!2?????

???0但是??01??0?2?0=??0所以 级数只要两项，因此 基解矩阵是expAt= e二．基解矩阵的计算

1.基于特征值和特征向量型计算基解矩阵

2t?1??0t??1?.

类似于一阶齐次线性微分方程，希望方程组★有形如?(t)?e?tC的解，其中?为待定的参数，C为待定的n维非零向量，将之代入方程组，得到 ?e?tC?Ae?tC，即有

(?E?A)C?0 （1.2）

要使齐次线性代数方程组（1.2）有非零解向量，应有

det(?E?A)?0 （1.3）

称式（1.3）为方程组★的特征方程，称?为A的特征值.称非零向量C为A的对应于特征值?的特征向量.

于是有如下结论:

?t?(t)?eC为方程组★的充分必要条件是?为A的特征值，且C为对应于?的特征

向量.

这样就提供了用代数方法求解的平台.

（1）

设A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,?vn，它们对应的特征向量分别为?1,?2??n（不必各不相同）易知矩阵?(t)?(e?tv1,e?tv2,?e?tvn)

12n?t?R

是常系数齐次线性微分方程组★的一个基解矩阵.

事实上，由上面讨论知道向量函数e?tvi（1≤i≤n） 都是方程组★的一个解，

i因此?(t)是方程★的解矩阵.计算det?(0)?det(v1,v2,?vn)?0 于是?(t)是方程组★的基解矩阵.

注2：当A是n个不同的特征值时，就满足上述性质.

注3：此处?(t)不一定是标准基解矩阵expAt，但由线性微分方程组的一般理论知：存在一个n个非奇异矩阵C，有expA=?(t)?C 令t=0，得C=??1(0) 即

expAt=?(t)???1(0)于是当A是实矩阵时，则expAt为实的，这样上式就给出了一个

构造实基解矩阵的方法.

例3：利用特征值与特征向量求基解矩阵的方法，求解例1中的一个基解矩阵.

解:显然A是对角矩阵，它有n个特征值?i?ai(1?i?n)对于每个特征值?i易知其

T对应的特征向量为Ci?(0,?1,?0)即有(?iE?A)Ci?0而这些特征向量C1,C2?Cn线

性无关，由注2

?ea1t??????，

ea2t于是

?????ante?方程组有基解矩阵

?(t)?eC1,e?a1ta2tC2,?eantCn? 这与例1 的计算结论一样.

?例

?34：试求方程组x??Ax，其中A????55??3? 的一个基解矩阵.

?5解：A的特征值就是特征方程det(?E?A)?

??35??3???6??34?0的根，解

2

之得?1,2?3?5i 对应与特征值?1?3?5i的特征向量，计算齐次线性代数方程

?5i(?1E?A)u???5?5??u1?????05i??u2? 因此u????是对应于?1的特征向量，类似的，可以

?i??i??1??i??1?求得对应于?2的特征向量v???? 其中?,??0为任意常数，而v1???,v2???是对

?i??1??1?应于?1,?2的两个线性无关的特征向量.

根据注2，于是矩阵?(t)??ev1,ev2??1t?2t?e?3?5i?t???3?5i?tie??iee?3?5i?t?3?5i?t????就是方程组的一个基解

矩阵.

再

由注3

iee?3?5i?t?3?5i?t，

??1i????i1????实

?1基

12解

iee?3?5i?t?3?5i?t矩

??1???i???阵

?i?3t?e?1?为

?cos5t???sin5tsin5t??cos5t??e?3?5i?t?1expAt??(t)?(0)???3?5i?t??ie??e?3?5i?t?3?5it????ie（2）设A有k个不同的特征值?1,?2??k它们的重数分别为n1,n2,?nk其中

n1?n2???nk?n 那么如何计算expAt？回忆高等代数理论，对应于nj重特征值?j的

nj如下线性代数方程组(?jE?A)u?0 （1.4）

的解全体构成n维欧几里得空间的一个nj维子空间Uj(i?j?k)并且n维欧几里得空间可表示成U1,U2?Uk的直和，由此对于n维欧几里得空间的每一个向量u，存在唯

一组向量u1,u2?uk其中uj?Uj(1?j?k)使得分解式为 u?u1?u2???uk （1.5）

因此，一方面 对于★的初始值x(0)?x0，应用式（1.5）知存在vj?Uj有

x0?v1?v2???vk注意到空间Uj的构造，即知vj是式（1.4）的解，即有(?jE?A)vj?0nj因而有(?jE?A)lvj?0 l?nj,1?j?k （1.6）

另一方面，??jE为对角矩阵，因此由例1知

?e??jt??exp(??jEt)????????????jt?e?e??jt? 故有e(??jEt)?E

?jt计

算

(expAt)vj?(expAt)Evj?(expAt)e2?jtexp(??jEt)vjnj?1=

nj?1e?jt(exp(A??jE)t)vj=

e?jt(E?t(A??jE)?t2!2(A??jE)???t(nj?1)!(A??jE))vj

所以方程组★满足初始条件x?0??x0??t???expAt?x0??expAt??v1?v2???vk?kkj的解?(t)为

=

??expAt?vj?1??ej?1?jti?ni?1i??ti!?A??jE??i?0???vj （1.7） ??同时注意到?expAt???expAt?E???expAt?e1,?expAt?e2,??expAt?en?其中

e1??1,0,?0?,e2??0,1,?0??en??0,0,?1?TTT即在上面初始条件中分别令

x0?e1,x0?e2,?x0?en应用式（1.7）求得expAtn个解，然后以这n个解作为列即得

.

注4：当A只有一个特征值时，即?为n重的，因此?v?Rn都有??E?A?v?0这

表

明

??E?A??tn为

e零

?t矩阵

n?1ti!i.

i则

expAt?expAtE??expAt???eexp???Et????exp?A??E?t???A??E?i?0

（1.8）

注5：式（1.7）表明方程组的任一解都可以经过有限次代数运算求出.

例5：若A是例2中的矩阵，求初值问题x??Ax,x?0??x0的解和expAt. 解：本题用两种方法计算expAt和??t?

方法一：易知?1,2?2是A的二重特征值，此时，A只有一个特征值，根据式

1（1.8）计算有expAt=e??t?=（expAt）x0.

2t??A?2E?ti!i?0ii?e2t?E?t?A?2E???e2t?1??0t??1?和特解

方法二：?1,2?2是A的二重特征值，这时n1?2,R2只有一个子空间U1，

?1??xx0=???2??x不需要分解，根据式（1.7）有

??t?=e2t??E?t?A?2E???x0?e2t?1?tx?2??x???x2?.

分别取x0????e,1x?0???e?0??1??1?t??e2t?1??0?代入上式中的??t?中，则

?1?2t??,?2?t??e?0??t??? ?1??1t?所以expAt???1?t?,?2?t???e2t?? 和特解??t?=?expAt?x0.

?01?例6：考虑方程组x??Ax，其中

?3?A?2???1?10?11??1?2??试求满足初始条件

?1x?0??x0??x?2x?3?xT的解，并求expAt.

1?1?2??1????1????2??0???2??3解：A

???3?2的特征方程为det??E?A??????1??1

为了确定R的子空间U1,U2 由式（1.4） ?1?1,?2?2分别为n1?1,n2?2重特征根，

?22?A??E?u?????1?1?1?11??u1????1u2?0???1????u3??首先考虑齐次线性代数方程组 解得

u1???01?1，其中?为任意常数. 因此U1是由u1构成的一维子空间，其次考

2T虑齐次线性方程组?A?2E??0?u??1????10110??u1????0u2?0???0????u3???1??1??解得u2???????0???0???0????1?? 其中

?,?为任意常数.因此U2是由u2构成的二维子空间.

?1??x?0??1???????2??1??1??x下面对初值x?0??x0进行分解，有x0?u1?u2 即?????????3????x??1???0???0???0????1??于是

?0??????2?x?1,v2?v1?x?????2?x?1???3??x??x???1x??2?x?1?x??1x 根据式（1.7） 有

??t??eEv1?et2t?0??t?2t??E?tA?2Ev=??ex?x?e??21??2????2?x?1??x??1?t?x?3??x???t?x?3?x?1??3?x?2x??2?x?1??x??2?x?1?x???1?x?最后为了得

?1??0??0??????0,x0?1,x0?0到expAt，依次分别令x0????????????0???0???1??代入上式得到3个线性无关解

?1?t?,?2?t?,?3?t?

??1?t??t??p??2??????t??e??2t于

?2是

2tt22eA????1???x?t??2t??e??3?? te??tttte2：“哈-凯莱”法：

设A是方程组★的n?n实系数矩阵，p???是A的特征多项式，

p????det?A??E????a1?nn?1???an?1??an

特征方程为A的p?????n?a1?n?1???an?1??an=0 （1.9） 方程（1.9）的根?1,?2??n是矩阵A的特征多项式，且有

p????????n?????n?1??????1?

哈密顿-凯莱定理：设p???是矩阵A的特征多项式，则

p?A??A?a1Ann?1???an?1A?anE?0亦即

p?A???A??nE??A??n?1E???A??1E??0

定理：设?1,?2??n是矩阵A 的n个特征值（它们不一定不相等）则

n?1exp?At???r?t?p （2.0）

i?1ii?0其中p0?E,pi??A??iE??A??i?1E???A??1E? ?i?1,2,?n?

?r1???1r1??并有r1?t?,r2?t??rn?t?是初值问题?rj??rj?1??jrj ?j?2,3?n? （2.1）

?r0?1,r0?01??j????的解.

n?1i推论：若A只有一个特征值?，则expAt?exp?t?ti!?A??E?

i?0i上述定理将计算expAt的问题转化为求方程组（2.1）满足初始条件的解的问题，由于方程组（2.1）是一个特殊的一阶常系数齐次线性方程组，容易直接求解.因而由公式（2.0）就可以直接求出方程组★的基解矩阵expAt.

?247：求常系数齐次线性方程组x??Ax，其中A?????4?2??4的特征方程为det?A??E??????4?3?5???43?3?5?43??3?2??例的解.

解：A

??3?????1????2????2?=0 ?2????解得特征值为?1??1,?2??2,?3?2

?r1???r1??r2??r1?2r2???r3??r2?2r3???r1?0??1,r2?0??0,r3?0??0?2t求解初值问题： 得

r1?t??e,r2?t??e?3??A4???42?t?t?et,r3?t???1e3?3?E4????4?2?t?1e43?112e2t

????t1又

?????1因

2A2?1p1???????3??3??2??p?,????2t?A?E1 则由公式：212得expAt??i?02t?e??2t2tri?1?t?pi???e?e??e?2t?e2t?e?ee?tt?ee?2t?2t?e2t2t?e2t?e??t2t??e?e?2t?e??e.

3:算子构造法：

其构造步骤是：

① 利用已引入的微分算子D?ddx写出★的微分算子表示;

② 用算子法求解★的微分算子表示的方程组得其通解：

cn???y1?x,c,1c?2??y2?x,c,1c?cn?2?y?x????????yx,cc?c???n?12n??；

?c1??1??0??0?????????c2010③ 依次令?????,??,???????????????????????c00?1??n????? 代入上述通解，则得★得n个线性无关的特

?1?x?,y?2?x?,?y?n?x?； 解y?1?x??1?x?,y?2?x?,?y?n?x?为列作成的矩阵Y?x???④ 以y?y?2?x?y??n?x??y?

就是★的基解矩阵，且★夫人矩阵指数函数形式的基解矩阵为：

eAx?Y?x?Y?1?0?.

?1??y1??y,y???3??y2??1?1????. 3??例

?18：试求方程组y????1? （2.2）

的基解矩阵，并求eAx.?A???1?解：①（2.2）的算子表示就是??D?1②求解（2.3）???11?D?1?y1?y2?0 （2.3）

?y?D?3y?0?2??1?????y1?0D?3? 即?D?2?y1?0 （2.4）

2于是（2.4）的通解为y1??C1?C2x?e2x C1,C2为任意常数 （2.5） （

2.5

）

代

入

（

2.3

2x）

?C2xe2x的第一个方程得

y2???D?1?y1??Dy1?y1???C1?C2x?e2x?y1??C1?C2x?e??2x2x??y2???C1?C2?e?C2xe 故（2.3）的通解为

(C1,C2为任意常数）

③依次令

?C1??1??0??????,???C2??0??1?得（2.3）的两个线性无关解

2x??xe?e2x??1?x????y,yx?； ?2??2x?2x???e????1?x?e??1,y?2作列而成的矩阵： ④ 以y?1 Y?x???y?e2x?2???y??e?2x?e2x???1?x?e?xe2x?1???1?? 就是（2.2）的一个基??1?x??x解矩阵.

⑤求（2.2）的基解矩阵eAx

因

?1Y?0?????1?1x0???1???1，

0?故

Y?1?1?0?????1?x??1?x?0???1? 于是

eAx2x?e?=e2x?????x??1??1?x????1?1??1?x.

结束语：关于基解矩阵expAt的计算，还可以利用矩阵的约当标准型等有关线性代数知识进行计算，在此不作详述.

参考文献：

?1?王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松 常微分方程 高等教育出版社；

?2?西南师范大学数学与财经学院 常微分方程 西南师范大学出版

社；

?3?肖箭，盛立人，宋国强 常微分方程简明教程 科学出版社； ?4?王翊，陶怡 常系数齐次线性微分方程组的解法 牡丹江大学学报.

因

?1Y?0?????1?1x0???1???1，

0?故

Y?1?1?0?????1?x??1?x?0???1? 于是

eAx2x?e?=e2x?????x??1??1?x????1?1??1?x.

结束语：关于基解矩阵expAt的计算，还可以利用矩阵的约当标准型等有关线性代数知识进行计算，在此不作详述.

参考文献：

?1?王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松 常微分方程 高等教育出版社；

?2?西南师范大学数学与财经学院 常微分方程 西南师范大学出版

社；

?3?肖箭，盛立人，宋国强 常微分方程简明教程 科学出版社； ?4?王翊，陶怡 常系数齐次线性微分方程组的解法 牡丹江大学学报.

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