26.相似

26．相似

一、选择题 1．（2009年滨州）如图所示，给出下列条件： ①?B??ACD；②?ADC??ACB；③

ACAB2?；④AC?ADAB． CDBC其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

【关键词】三角形相似的判定. 【答案】C

2.（2009年上海市)如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ） A．

ADBC? DFCEB．

BCDF? CEADC．

CDBC? EFBED．

CDAD? EFAF

【关键词】平行线分线段成比例 【答案】A

3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1 【关键词】 【答案】B

4. (2009年安顺)如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有： A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形 【答案】D

5.（2009重庆綦江）若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）

A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶2 【关键词】 【答案】B

6.（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）

A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个 【关键词】相似三角形有关的计算和证明

【答案】B

7.2009年宁波市）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ） A．△AOM和△AON都是等边三角形

B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形

A

M B

O C

N D

【关键词】位似 【答案】C

8.（2009年江苏省）如图，在5?5方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平 移方法中，正确的是（ ）

A．先向下平移3格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移1格 C．先向下平移2格，再向右平移2格 D．先向下平移3格，再向右平移2格

【关键词】平移 【答案】D

9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为

A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 【关键词】黄金比 【答案】A

10. （2009年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，

若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 （ ）

A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米 【关键词】相似三角形 【答案】B

，?B?60°，D是AC上一点，DE?AB于E，且11.（2009恩施市）如图，在△ABC中，?C?90°CD?2，DE?1，则BC的长为（ ） A．2 B．

43 C．23 D．43 3

【关键词】解直角三角形、相似 【答案】B

12.（2009年甘肃白银）如图3，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ） A．12m B．10m C．8m D．7m

【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】A 13.（2009年孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B′点的坐标为 A．(33331331?) B．(?) C．(?) D．(,) 22222222

【关键词】旋转 【答案】A

14.（2009年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

【关键词】黄金比 【答案】C

15. （2009年新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）

A. 【关键词】相似三角形的判定

【答案】A

16.（2009年天津市）在△ABC和△DEF中，AB?2DE，AC?2DF，?A??D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ ） A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6 【关键词】相似三角形的性质 【答案】A

17.(2009年牡丹江市)如图， △ABC中，CD?AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（ ） ①?1??A，②

CDDB，∶4∶5，?，③?B??2?90°④BC∶AC∶AB?3

ADCD⑤AC?BD?AC?CD

A．1 B．2 C．3 D．4

【关键词】三角形相似的判定和性质 【答案】C

19. （2009年衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为 A．9.5 B．10.5

C．11 D．15.5

【关键词】线段的比和比例线段 【答案】D

20.（2009年衢州）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是

11A．?a B．?(a?1)

2211C．?(a?1) D．?(a?3)

22

【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】D

21.（2009年舟山）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方

式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为 A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5

【关键词】线段的比和比例线段 【答案】D

22.（2009年舟山）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是

11A．?a B．?(a?1)

2211C．?(a?1) D．?(a?3)

22

【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】D

23.（2009年济宁市）如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）

2222

A. 2 cm B. 4 cm C. 8 cm D. 16 cm

【关键词】相似多边形 【答案】C

24. （2009年福州）如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是（ ）

A．2DE=3MN， B．3DE=2MN， C． 3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F

【关键词】位似变换 【答案】B

25.（2009年宜宾）若一个图形的面积为2，那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（ ）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【关键词】相似图形的性质

【答案】A.

26. ．（2009年广西梧州）如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O， 则

AO等于（ ） DO25 32 C．

3 A．

1 31 D．

2

B．

【关键词】相似三角形 【答案】D

28. (2009年湖州)如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（ ） A．1∶3

B．2∶3

C．3∶2

D．3∶3

【关键词】等边三角形的性质，相似的性质 【答案】A

29．(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张

【关键词】等腰三角形性质，三角形相似的性质，梯形中位线 【答案】C

30.（2009年兰州）如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是

A．24m B．25m C．28m D．30m

【关键词】相似三角形、灯光与影子 【答案】D

32. （09湖南怀化）如图1，D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE:S△ABC?（ ） A． 1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D． 2∶3

【关键词】相似三角形有关的计算 【答案】C

33. （2009年山西省）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB?2，OD?3,则BC的长为（ ）

A．

2 3B．

3 2C．32 D． 22

【关键词】圆周角和圆心角；切线定理；相似三角形有关的计算；相似三角形与圆 【答案】A

AB的垂直平分线DE交BC?ACB?90°，BC?3，AC?4，34．（2009年山西省）如图，在Rt△ABC中，

的延长线于点E，则CE的长为（ ） A．

3725 B． C． 266 D．2

【关键词】相似三角形判定和性质；勾股定理；线段和角的概念、性质 【答案】B

35. （2009年枣庄市）如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的， 点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC 的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ） A．1:2 B．1:4 C．1:5 D．1:6

【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】B

36. （2009呼和浩特）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形的个数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

C E A O D B

【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】

37.(2009年抚顺市)如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG?2，则CF的长为（ ）

A

F E

B

C

A．4 B．4.5 C．5 D．6

G

【关键词】中位线 二、填空题

1.（2009年重庆市江津区）锐角△ABC中，BC＝6,S?ABC?12,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0）,当x ＝ ，公共部分面积y最大，y最大值 ＝ ,

【关键词】三角形、正方形、二次函数极值 相似 【答案】x?3,y?6

△ABC顶点A的坐标为(2，3)，2.(2009年滨州)在平面直角坐标系中，若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A?B?C?，使△ABC与△A?B?C?的相似比等于

1，则点A?的坐标为 ． 2【关键词】三角形位似.. 【答案】（4，6）

4.（2009年吉林省）如图，△OAB的顶点B的坐标为（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果CB?1,那么OE的长为 ． 【关键词】平移，平面直角坐标系内的平移 【答案】7

5.（2009山西省太原市）如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为 cm．（结果精确到0.1cm）

解析：本题考查黄金分割的有关知识，由题意知AC2?BC?AB， ∴AC2??10?AC??10，解得x≈6.2，故填6.2.．

【关键词】黄金分割 【答案】6.2.

6.（2009烟台市）如图，△ABC与△AEF中，AB?AE，BC?EF，?B??E，AB交EF于D．给出下列结论：

①?AFC??C； ②DF?CF；

③△ADE∽△FDB； ④?BFD??CAF．

其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．

【关键词】全等、相似 【答案】①，③，④

7.（2009年甘肃庆阳）如图11，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ．

【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】（?2，0）

8.（2009年广西南宁）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图6所示）.现测得OA?20cm，OA??50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．

【关键词】投影；相似三角形 【答案】

2 59.（2009年孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ▲ ．

【关键词】相似三角形 【答案】144;

，10.(2009年牡丹江市)如图，Rt△ABC中，?ACB?90°直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交

AD于点F，若S△AEG?1CFS四边形EBCG，? ． 则3AD

【关键词】相似三角形的性质 【答案】

1 211. （2009年日照市）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．

【关键词】相似三角形的性质 【答案】

12或2; 712.（2009年重庆）已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25，则△ABC与△DEF的相似比为 ．

【关键词】相似三角形的性质 【答案】2:5． 13.（2009年莆田）如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=20m，则AB=__________m．

【关键词】相似三角形 答案：40

，14. （2009年牡丹江）如图，Rt△ABC中，?ACB?90°直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若S△AEG?1CFS四边形EBCG，? ． 则3AD【关键词】相似三角形的面积比 【答案】

1 215.（2009年凉山州）已知△ABC∽△A?B?C?且S△ABC:S△A?B?C??1:2，则AB:A?B?= ． 【关键词】相似三角形的性质

【答案】1:2 16. (2009年宁德市)如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长为 ____．

【关键词】位似 【答案】6

17.（2009年湖北荆州）如图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10mm，则零件的厚度x?_____mm．

【关键词】相似三角形 【答案】

，DE?2，BD?3，则18.（2009年新疆乌鲁木齐市）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD?1BC? ．

【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】8

19. （2009年山西省）如图，△ABC与△A?B?C?是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．

【关键词】相似，中心投影 【答案】（9，0）

20. （2009年黄石市）在□ABCD中，E在DC上，若DE:EC?1:2，则BF:BE? ． 【关键词】平行四边形的性质；相似三角形判定和性质

【答案】3:5

21.（2009东营）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ． 【关键词】相似三角形

12【答案】或2;

7三、解答题

1.（2009年台湾） 某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7。若由外校转入1人加入 乙队，则后来乙与丙的人数比为何？ (A) 3：4 (B) 4：5 (C) 5：6 (D) 6：7 。 【关键词】比例 【答案】A

2.（2009年长春）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB?6，AE?9，DE?2，求EF的长．

【关键词】矩形的性质、直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 【答案】

解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6 ∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6 又∵AE=9

∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=∵△ABE∽△DEF， ∴

AE2?AB2?92?62?117

ABBE6117?，即? DEEF2EF117∴EF=

3?BAD?32°，3．（2009年长春）如图，在ABCD中，分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，

使BE?BC，DF?DC，?EBC??CDF．延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结

AE、AF．

（1）求证：△ABE≌△FDA．

（2）当AE⊥AF时，求?EBH的度数．

【关键词】平行四边形的性质、相似三角形有关的计算和证明 【答案】

（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB=DC. 又∵DF=DC， ∴AB=DF. 同理EB=AD.

在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC. 又∵∠EBC=∠CDF， ∴∠ABE=∠ADF，

∴△ABE≌△FDA.（4分） （2）解：∵△ABE≌△FDA， ∴∠AEB=∠DAF.

∵∠EBH=∠AEB+∠EAB, ∴∠EBH=∠DAF+∠EAB. ∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°. ∵∠BAD=32°，

∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°， ∴∠EBH=58°.

4.（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α， 且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．

【关键词】直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 【答案】

（1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可） 以下证明△AMF∽△BGM．

∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B ∴△AMF∽△BGM．

（2）解：当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC ∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝22分 又∵AMF∽△BGM，∴

AFBM ?AMBG

∴BG?AMBM22?228?? AF33又AC?BC?42cos45?4，∴CG?4?84?，CF?4?3?1 3345∴FG?CF2?CG2?12?()2?

335.（2009年郴州市）如图，在DABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，

（1）求

AD的值，（2）求BC的长 AB【关键词】相似 【答案】解：（1）因为AD=4，DB=8

所以AB=AD+DB=4+8=12

AD41== AB123（2）因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC

DEAD= 所以 BCAB 因为DE=3

31= 所以

BC3所以BC=9

所以

6.（2009年常德市）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．

【关键词】相似 【答案】

△ABE 与△ADC相似．理由如下： 在△ABE与△ADC中 ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE=90o， ∵AD是△ABC的边BC上的高， ∴∠ADC=90o， ∴∠ABE=∠ADC． 又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA=∠DCA． ∴△ABE ～△ADC．

7.(2009武汉)如图1，在Rt△ABC中，?BAC?90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E． （1）求证：△ABF∽△COE；

ACOF?2时，如图2，求的值； ABOEACOF?n时，请直接写出（3）当O为AC边中点，的值． ABOE（2）当O为AC边中点，B

D F A

O 图1

E C A

O 图2

B F D

E C

【关键词】相似三角形的判定和性质 【答案】解：（1）AD⊥BC，??DAC??C?90°． ?BAC?90°，??BAF??C． OE⊥OB，??BOA??COE?90°，

?BOA??ABF?90°，??ABF??COE． ?△ABF∽△COE；

G

B F A

D E C O

（2）解法一：作OG⊥AC，交AD的延长线于G． AC?2AB，O是AC边的中点，?AB?OC?OA． 由（1）有△ABF∽△COE，?△ABF≌△COE， ?BF?OE．

?BAD??DAC?90°，?DAB??ABD?90°，??DAC??ABD， 又?BAC??AOG?90°，AB?OA．

?△ABC≌△OAG，?OG?AC?2AB．

OG⊥OA，?AB∥OG，?△ABF∽△GOF，

?B OFOGOFOFOG????2． ，

BFABOEBFABD F E O C

A 解法二：

?BAC?90°，AC?2AB，AD⊥BC于D，

ADAC?Rt△BAD∽Rt△BCA．???2．

BDAB设AB?1，则AC?2，BC?5，BO?2，

211?AD?5，BD?AD?5．

525?BDF??BOE?90°，△?BDF∽△BOE，

?BDBO?． DFOE1525由（1）知BF?OE，设OE?BF?x，?，?x?10DF． ?DFx11222x，?x?在△DFB中x??．

51034224OF3?OF?OB?BF?2?2?2．???2．

233OE23OF?n． （3）OE

8.(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且

PQAD?（如图1所示）． PCAB（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；

满足

S△APQ3（2）在图中，联结AP．当AD?，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，?y，

2S△PBC其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义

域；

（3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求?QPC的大小．

D A A D D A

P P

P Q B 图1

C B （Q）

图2 ）

C

B

C

图3

Q

【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定 【答案】（1）∵Rt△ABD中，AB=2，AD=2， ∴

PQAD?=1，∠D=45° PCAB13BC?。 22∴PQ=PC即PB=PC， 过点P作PE⊥BC，则BE=而∠PBC=∠D=45° ∴PC=PB=

32 2（2）在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。 ∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB ∴

EBAD33???2? EPAB24设EB=3k，则EP=4k，PF=EB=3k

11?BC?PE??3?4k?6k， 22?2?x??3k AQ2?x12?x12?xS?APQ??S?APB???AB?PF???2?3k??3k=

2AB22222S12k4∴y??BPC? ?S?APQ?2?x??3k2?x∴S?BPC?函数定义域为0?x?2 A F

P D

A

P

P F

Q B E 图1

C B （Q）

图2 ）

C

B Q

E

图3

C

D

A

D

（3）答：90°

证明：在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。 ∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ∴Rt△ABD∽Rt△EPB

EBAD? EPABPQADEBPF??∴= PCABPEPE∴

∴Rt△PQF∽Rt△PCE ∴∠FPQ=∠EPC

∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°

8. (2009年陕西省)20．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：

如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．

已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．

【关键词】利用相似知识测物高

【答案】解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，则EH＝AG＝CD＝1.2， DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30． ∵EF∥AB， FHDH?∴． BGDG由题意，知FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5． 0.50.8?∴，解之，得BG＝18.75． BG30∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0． ∴楼高AB约为20.0米．

9. (2009年安顺)如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式；

（2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3） △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

【关键词】待定系数法，相似三角形判定和性质 【答案】（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3）， ∴设抛物线解析式为y?ax2?bx?3(a?0)

根据题意，得??a?b?3?0?a??1，解得?

?9a?3b?3?0?b?2∴抛物线的解析式为y??x2?2x?3 (5′)

(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） 设对称轴与x轴的交点为F

∴四边形ABDE的面积=S?ABO?S梯形BOFD?S?DFE

111AO?BO?(BO?DF)?OF?EF?DF 222111=?1?3?(3?4)?1??2?4=9 222=（3）似

如图，BD=BG2?DG2?12?12?2；∴BE=BO2?OE2?32?32?32 DE=DF2?EF2?22?42?25 ∴BD?BE?20, DE?20

222即： BD?BE?DE,所以?BDE是直角三角形

222∴?AOB??DBE?90?,且

AOBO2, ??BDBE2∴?AOB∽?DBE

10. （2009山西省太原市）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高 为 米．

甲 小华乙

解析：本题考查相似的有关知识，设路灯高为x米，由相似得 1.55，解得x?9，所以路灯甲的高为9米，故填9. ?x30【关键词】相似三角形的应用 【答案】9.

A．设F211. （2009年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线F使F2经过F1得到抛物线F2，1的顶点的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．

22C的坐标为(2，（1）如图1，若F0)，则①b的值等1：y?x，经过变换后，得到F2：y?x?bx，点

于______________；

②四边形ABCD为（ ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

B的坐标为(2，c?1)，求△ABD的面积； （2）如图2，若F1：y?ax?c，经过变换后，点

21227x?x?，经过变换后，AC?23，点P是直线AC上的动点，求点P333到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．

（3）如图3，若F1：y?

【关键词】平移变换 【答案】

12.（2009年吉林省）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F， 使DF?AD，连接BC、BF．

A D E C B

（1）求证：△CBE∽△AFB；

O F

（2）当

BE5CB?时，求的值 FB8AD【关键词】相似三角形判定和性质

【答案】（1）证明：AE?EB,AD?DF,

?ED是△ABF的中位线， ?ED∥BF,

??CEB??ABF, 又?C??A,

?△CBE∽△AFB,

（2）解：由（1）知， △CBE∽△AFB,

?CBBE5??. AFFB8又AF?2AD, CB5??． AD40)，直线BC经13.（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(?8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转?度得到四边形OA?B?C?，此时直线过点B(?8，OA?、直线B?C?分别与直线BC相交于点P、Q．

（1）四边形OABC的形状是 ， 当??90°时，

BP的值是 ； BQBP的值； BQ②如图3，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在直线BC上时，求△OPB?的面积．

（2）①如图2，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在y轴正半轴时，求

y B? B A? P C Q B C P x y y A? ? Q） B（B C C? O x A O A （图2） （图3）

C? x A O （备用图） （第26题）

（3）在四边形OABC旋转过程中，当0??≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】解：（1）矩形（长方形）；

1BQ？2BP4?． BQ7（2）①?POC??B?OA?，?PCO??OA?B??90°， ?△COP∽△A?OB?． CPOCCP6???， ，即

???ABOA6897?CP?，BP?BC?CP?．

22

同理△B?CQ∽△B?C?O，

CQ10?6CQB?C??，即， 68C?QB?C??CQ?3，BQ?BC?CQ?11． BP7． ??BQ22②在△OCP和△B?A?P中， ??OPC??B?PA?，? ??OCP??A??90°，?OC?B?A?，??△OCP≌△B?A?P(AAS)． ?OP?B?P． 设B?P?x，

?在Rt△OCP中， (8?x)2?62?x2，解得x?25． 412575?S△OPB????6?．

2441BQ． 23?7???点P的坐标是P，?9?6，6P6?． 2??，1??42????（3）存在这样的点P和点Q，使BP?对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．

过点Q画QH⊥OA?于H，连结OQ，则QH?OC??OC，

11PQOC，S△POQ?OPQH， 22?PQ?OP． 设BP?x， S△POQ?y B? P B Q C H O A? A C? x BP?1BQ， 2?BQ?2x，

① 如图1，当点P在点B左侧时， OP?PQ?BQ?BP?3x，

在Rt△PCO中，(8?x)?6?(3x)，

y B? A? B Q C P H 222C? A

O x 解得x?1?36，x?1?36（不符实际，舍去）． 1222

?PC?BC?BP?9?36， 23???P?9?6，61??．

2??②如图2，当点P在点B右侧时，

?OP?PQ?BQ?BP?x，PC?8?x． 在Rt△PCO中，(8?x)2?62?x2，解得x?25． 4?PC?BC?BP?8?257?， 44?7??P2??，6?．

?4?综上可知，存在点P1??9???13?7??6，6?，P2??，6?，使BP?BQ．

22?4??14.(2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，

使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

（1）当x=0时，折痕EF的长为 # .；当点E与点A重合时，折痕EF的长为 # .； （2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；

2（3）令EF?y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断EAP与PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。

温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！

【关键词】相似三角形 【答案】

解：（1）3， 2 （2）1≤x≤3．

F D

C

A

E P 图1

B

当x?2时，如图1，连接DE、PF，

EF为折痕，?DE?PE， 令PE为m，则AE?2?m，

222在Rt△ADE中，AD?AE?DE，

?1?(2?m)2?m2，

D E O A P 图2

C F H B 解得m?55，此时菱形边长为．

44（3）如图2，过E作EH⊥BC，

易证△EFH∽△DPA，

?D E A

FHAP?，?FH?3x EHAD(F) C

O P 图3

H B

?y?EF2?EH2?FH2?9?9x2

当F与点C重合时，如图3，连接PF，

PF?DF?3，?PB?32?12?22，

?0≤x≤3?22．

显然，函数y?9?9x2的值在y轴的右侧随x的增大而增大，

当x?3?22时，y有最大值． 此时?EPF?90°，△EAP∽△PBF．

综上所述，当y取最大值时，△EAP∽△PBF，x?3?22（?EPF?90°不写不扣分）．

，BC?10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的15.（2009恩施市）如图，在△ABC中，?A?90°B重合）Ex?，任意一点（D不与A、，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设D以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△A?DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．

（1）用x表示△ADE的面积；

（2）求出0?x≤5时y与x的函数关系式； （3）求出5?x?10时y与x的函数关系式；

（4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

A D B

A E

A?

C

B

【关键词】相似、二次函数

【答案】解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C

C

∴△ADE∽△ABC ∴即S?ADE?S?ADEDE2?()

S?ABCBC12x 412x 4(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤x?5 时 y?S?ADE?（3）5?x﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形

∵S△A'DE=S△ADE=x2

∴DE边上的高AH=AH'=由已知求得AF=5 ∴A'F=AA'-AF=x-5 由△A'MN∽△A'DE知

141x 2S?A'MNA'F2?()

S?A'DEA'HS?A'MN?(x?5)2

12322∴y?x?(x?5)??x?10x?25

4412（4）在函数y?x中

4∵0﹤x≤5

∴当x=5时y最大为： 在函数

25 43y??x2?10x?25中

4b2025?当x??时y最大为： 2a332525∵﹤

432025∴当x?时，y最大为：

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