2018年江苏省高考数学预测试题（二）含详解

2018年江苏高考预测试题(二)

(对应学生用书第133页) (限时：120分钟)

数学Ⅰ试题

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B＝{x|1＜x≤3}，则A∪B＝________.

{x|－1≤x≤3} [由x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2. ∴A＝{x|－1≤x≤2}，又集合B＝{x|1＜x≤3}， ∴A∪B＝{x|－1≤x≤3}．]

2．设复数z满足(z＋i)i＝－3＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．

－3＋4i

25 [z＝－i＝3i＋4－i＝4＋2i，则|z|＝|4＋2i|＝

i

42＋22＝25.] 3．表中是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中值近似计算本组数据的平均数x，则x的值为________.

数据 频数 [12.5,15.5) 2 [15.5,18.5) 1 [18.5,21.5) 3 [21.5,24.5] 4 19.7 [根据题意，样本容量为10，利用组中值近似计算本组数据的平均数x， 1

则x＝×(14×2＋17×1＋20×3＋23×4)＝19.7.]

10

4．若双曲线x2＋my2＝1过点(－2，2)，则该双曲线的虚轴长为________.

【导学号：56394121】

4 [∵双曲线x2＋my2＝1过点(－2，2)， 1

∴2＋4m＝1，即4m＝－1，m＝－，

4

y2

则双曲线的标准方程为x－＝1，则b＝2，即双曲线的虚轴长2b＝4.]

4

2

5．根据如下所示的伪代码，可知输出的结果S是________．

17 [执行程序，有i＝1；

1

满足条件i＜6，i＝3，S＝9； 满足条件i＜6，i＝5，S＝13； 满足条件i＜6，i＝7，S＝17， 不满足条件i＜6，输出S的值为17.]

6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．

1

[设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本3

事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA，共2个，故21

所求的概率P＝＝.] 63

7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图1所示，则该函数的解析式是________．

图1

2π?y＝2sin??7x＋6? [由图知A＝2，y＝2sin(ωx＋φ)， 1∵点(0,1)在函数的图象上，∴2sin φ＝1，解得sin φ＝，

2π

∴利用五点作图法可得φ＝. 6

7π7ππ7ππ

－，0?在函数的图象上，∴2sin?－ω＋?＝0，∴－ω＋＝kπ，k∈Z， ∵点??12??126?126212k2解得ω＝－，k∈Z.∵ω＞0，∴当k＝0时，ω＝，

7772π?∴y＝2sin??7x＋6?.]

8．如图2，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱

2

锥B－ACC1D的体积为________．

图2

23 [取AC的中点O，连接BO，则BO⊥AC， ∴BO⊥平面ACC1D，

∵AB＝2，∴BO＝3， ∵D为棱AA1的中点，AA1＝4， 1

∴SACC1D＝(2＋4)×2＝6，

2∴四棱锥B－ACC1D的体积为23.] x＋2y－4≤0，??

9．已知实数x，y满足?x－y－1≤0，

??x≥1，

则

y＋1

的取值范围是________． x

?1，5? [作出不等式组对应的平面区域，y＋1的几何意义是区域内的点到定点D(0，?2?x

－1)的斜率，

由图象知，AD的斜率最大，

3

BD的斜率最小，此时最小值为1，

???x＝1，?x＝1，3

1，?， 由?得?3即A??2?y＝，???x＋2y－4＝0，?2

3

＋125

此时AD的斜率k＝＝，

12

y＋15y＋15

1，?.] 即1≤≤，故的取值范围是??2?x2x

Sn10．已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，总有＝

Tn

3n＋1a3，则＝________. 4b3

9 [设{an}，{bn}的公比分别为q，q′，

n

Sn3＋1∵＝，∴n＝1时，a1＝b1. Tn4

5n＝2时，＝. b1＋b1q′2

n＝3时，＝7.

b1＋b1q′＋b1?q′?2

∴2q－5q′＝3,7q′2＋7q′－q2－q＋6＝0，解得q＝9，q′＝3， a3a1q2∴＝＝9.] b3b1?q′?211．已知平行四边形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝1，AD＝2，点P是线段BC上的一个→→动点，则AP·DP的取值范围是________．

a1＋a1q＋a1q2

a1＋a1q

?－1，2? [以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，?4?

作AE⊥BC，垂足为E，

∵∠BAD＝120°，AB＝1，AD＝2，∴∠ABC＝60°，

4

∴AE＝

311353，BE＝，∴A?，?，D?，?. 22?22??22?→→

13??∵点P是线段BC上的一个动点，设点P(x,0)，0≤x≤2，∴AP＝x－，－，DP＝

2??2

?x－5，－3?，

2??2

→→15331x－??x－?＋＝?x－?2－， ∴AP·DP＝??2??2?4?2?431

∴当x＝时，有最小值，最小值为－. 24当x＝0时，有最大值，最大值为2， →→1

－，2?.] 则AP·DP的取值范围为??4?

x2y2

12．如图3，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为

abπ

椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，当∠ABF＝时，椭圆的离心率为________．

12

图3

6

[设椭圆的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性及AF⊥BF可知，四边形AFBF13

是矩形，所以

|AB|＝|F1F|＝2c，所以在Rt△ABF中，|AF|＝2csinππ

cos＋sin?＝2a，即 2c?12??12

5

ππ

，|BF|＝2ccos，由椭圆定义得 1212

ce＝＝a

1

ππcos＋sin1212

＝16

＝.] ππ?32sin??4＋12?

→→π

13．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C＝，c＝2.当AC·AB取得

3b

最大值时，的值为________.

a

【导学号：56394122】

2＋3 [∵C＝π2π

3，∴B＝3－A，

由正弦定理得bsin B＝csin C＝23＝4

3

，

2∴b＝

43sin?2π?3－A??＝2cos A＋2

3

sin A， ∴AC→→·AB＝bccos A＝2bcos A＝4cos2A＋2

3sin 2A

＝2＋2cos 2A＋2

3

sin 2A ＝4?13?2

sin 2A＋32cos 2A??＋2

＝

4

3sin??

2A＋π3??＋2， ∵A＋B＝2π23，∴0＜A＜π

3

，

∴当2A＋πππ

→→3＝2即A＝12时，AC·AB取得最大值，

此时，B＝2π3－π12＝7π

12

，

∴sin A＝sinπππ12＝sin??3－4?6－2?＝32×22－12×2

2＝4， sin B＝sin?ππ?3＋4??＝3216＋22×2＋2×22＝4. ∴bsin B

6＋2a＝sin A＝6－2

＝2＋3.] 14．对于实数a，b，定义运算“ ”：a

b＝???a2－ab，a≤b，??

b2－ab，a＞b.6

设f (x)＝(x－4)

?7x－4?，若关于x的方程|f (x)－m|＝1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取?4?

值范围是________．

(－1,1)∪(2,4) [由题意得，f (x)＝(x－4)

?7x－4?

?4?

?

＝?21

?16x－3x，x＜0，

2

3

－x2＋3x，x≥0，4

画出函数f (x)的大致图象如图所示．

因为关于x的方程|f (x)－m|＝1(m∈R)，即f (x)＝m±1(m∈R)恰有四个互不相等的实数

??m＋1＞3，根，所以两直线y＝m±1(m∈R)与曲线y＝f (x)共有四个不同的交点，则?

??0＜m－1＜3???0＜m＋1＜3，?m＋1＝3，

或?或?得2＜m＜4或－1＜m＜1.] ?m－1＜0???m－1＝0，

二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)如图4，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，25其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB＝.

5

图4

(1)求cos β的值；

5

(2)若点A的横坐标为，求点B的坐标．

13

7

[解] (1)在△AOB中，由余弦定理得：AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB，

?25?222

1＋1－OA＋OB－AB?5?33

所以，cos∠AOB＝＝＝，即cos β＝.

2OA·OB552×1×1

2

2

2

π3

0，?，∴sin β＝(2)因为cos β＝，β∈??2?5

1－cos2β＝3?24

1－??5?＝5.

6分

55

因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，cos α＝，

1313因为α为锐角，所以sin α＝1－cos2α＝

5?212

1－??13?＝13. 5312433

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－，

13513565

33561235456

－，?. sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝，即点B??6565?13513565

14分

16．(本小题满分14分)在平面四边形ABCD(图5①)中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图5②所示的三棱锥C′－ABD.

① ②

图5

(1)当C′D＝2时，求证：平面C′AB⊥平面DAB； (2)当AC′⊥BD时，求三棱锥C′－ABD的高．

[解] (1)证明：当C′D＝2时，取AB的中点O，连接C′O，DO， 在Rt△ABC′，Rt△ADB中，AB＝2，则C′O＝DO＝1，

∵C′D＝2，∴C′O2＋DO2＝C′D2，即C′O⊥OD，

8

由∠BAC＝45°得△ABC′为等腰直角三角形，

∴C′O⊥AB，又AB∩OD＝O，AB，OD?平面ABD， ∴C′O⊥平面ABD，∵C′O?平面ABC′， ∴平面C′AB⊥平面DAB.

(2)由已知可求得AD＝3，AC′＝BC′＝2，BD＝1，

当AC′⊥BD时，由已知AC′⊥BC′，得AC′⊥平面BDC′， ∵C′D?平面BDC′，∴AC′⊥C′D， 由勾股定理，得C′D＝AD2－AC′2＝

3－2＝1，

6分

而△BDC′中，BD＝1，BC′＝2， ∴C′D2＋BD2＝BC′2，∴C′D⊥BD. 11∴S△BDC′＝×1×1＝.

22

1112

三棱锥C′－ABD的体积V＝·S△BDC′·AC′＝××2＝.

332613

S△ABD＝×1×3＝，

22

1326

设三棱锥C′－ABD的高为h，则由××h＝，解得h＝.

3263

14分

17．(本小题满分14分)如图6，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图7，半径OA的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C－D－E－F，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形，设DE

?5，0＜t≤3，

＝t百米，记修建每1百米参观线路的费用为f (t)万元，经测算f (t)＝?11

8－?t，3＜t＜2.

1

图6 图7

(1)用t表示线段EF的长；

9

(2)求修建参观线路的最低费用．

[解] (1)设DQ与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE， 以CF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴， 建立平面直角坐标系xOy.

设EF与圆切于G点，连接OG，过点E作EH⊥OF，垂足为H.

∵EH＝OG，∠OFG＝∠EFH，∠GOF＝∠HEF， 1

∴Rt△EHF≌Rt△OGF，∴HF＝FG＝EF－t.

21

EF－t?2， ∴EF2＝1＋HF2＝1＋?2??t1

解得EF＝＋(0＜t＜2).

4t

(2)设修建该参观线路的费用为y万元． 1?t＋1?＋t?＝ ①当0＜t≤，由y＝5?2??4t??332?32

t＋.y′＝5?－2?＜0， 5??2t??2t?1

0，?上单调递减， 可得y在??3?1

∴t＝时，y取得最小值为32.5.

3

1t1116328－??2?＋?＋t?＝12t＋－－2. ②当＜t＜2时，y＝??t???4t??3t2t1644?t－1??3t＋3t－1?

y′＝12－2＋3＝.

ttt32

6分

1

∵＜t＜2，∴3t2＋3t－1＞0. 3

1?∴t∈??3，1?时，y′＜0，函数y此时单调递减；t∈(1,2)时，y′＞0，函数y此时单调递增．

10

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