2011届高三数学一轮复习测试题（直线与圆的方程）

2011届高三数学一轮复习测试题

(直线与圆的方程)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)

x＋1

1．(08·全国Ⅰ)设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝

x－1

( )

11

A．2 B. C．－ D．－2

22

[答案] D

x＋1

[解析] ∵点(3,2)在y＝上，

x－1

－21

y′＝2，y′|x＝3＝－， 2(x－1)

直线ax＋y＋1＝0的斜率为－a，

1

∴(－a)×(－)＝－1，∴a＝－2.

2

1

2．若函数f(x)＝－eax的图象在x＝0处的切线l与圆C：x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)

b

与圆C的位置关系是 ( )

A．P在圆C外 B．P在圆C内 C．P在圆C上 D．不能确定 [答案] B

1aaxa

[解析] 当x＝0时，y＝－，又f′(x)＝－·e，k＝f′(0)＝－，所以切线l的方程为y

bbb

a1＝－x－，

bb

即ax＋by＋1＝0.

122

由22>1得，a＋b<1，即点P在圆C内． a＋b

3．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] C

4．(文)如果直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是 ( )

1?

A．[0,1] B.??2，1?

1

0，? C.? D．[0,2] ?2?[答案] D

[解析] 由题意知l过圆心(1,2)，由图知k∈[0,2]．

- 1 -

(理)若曲线x＋y＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为 ( )

1

A．1 B．－1 C. D．2

2

[答案] D

[解析] 由条件知直线kx＋2y－4＝0是线段PQ的中垂线，∴直线过圆心(－1,3)，∴k＝2.

22

5．由直线y＝x－1上的一点向圆x＋y－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为

( )

A．1 B.2 C.3 D．2 [答案] A

[解析] 圆C：(x－3)2＋y2＝1，

2

2

的圆心C(3,0)，半径为1，P在直线x－y－1＝0上． 切线PQ⊥CQ(Q为切点)，

则切线长|PQ|＝|PC|2－|QC|2＝|PC|2－1.

|3－0－1|

|PC|的最小值为点C到直线x－y＋1＝0的距离＝2.

2

所以|PQ|min＝(2)2－1＝1.

6．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是 ( )

22

A．(x－2)＋(y－1)＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20 [答案] A

1

[解析] 由条件知O、A、B、P四点共圆，从而OP中点(2,1)为所求圆的圆心，半径r＝

2

|OP|＝5，故选A.

7．过点P作圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的切线，切点为M，若|PM|＝|PO|(O为原点)，则|PM|的最小值是 ( )

35－5255

A. B. C. D．1

525[答案] A

[解析] 设点P坐标为(x，y)，则由条件得|PM|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－1＝|PO|2＝x2＋y2，化简为x－2y＋2＝0，从而|PM|的最小值即为|PO|的最小值，也即O到直线x－2y＋2＝0的距离25，故选A. 5

8．直线l与圆x2＋y2＝1相切，并且在两坐标轴上的截距之和等于3，则直线l与两坐标

- 2 -

轴所围成的三角形的面积等于

31A. B. 22[答案] A

( )

C．1或3

13D.或 22

a＋b＝3??xy

[解析] 设直线l的方程为＋＝1，则满足?|ab|?ab＝－3或1(舍去)，从而所

ab＝1??a2＋b213

围成三角形的面积S＝|ab|＝，故选A.

22

9．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点．若点P(x，y)、点P′(x′，y′)满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 ( )

A.AB [答案] D

[解析] 首先若点M是Ω中位于直线AC右侧的点，则过M，作与BD平行的直线交ADC于一点N，则N优于M，从而点Q必不在直线AC右侧半圆内；其次，设E为直线AC左侧或直线AC上任一点，过E作与AC平行的直线交AD于F.则F优于E，从而在AC左侧半圆内及AC上(A除外)的所有点都不可能为Q，故Q点只能在DA上．

10．已知点P是抛物线y2＝4x上的点，设点P到抛物线的准线的距离为d1，到圆(x＋3)2＋(y－3)2＝1上一动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值是 ( )

A．3 B．4 C．5 D．32＋1 [答案] B

[解析] 由题意d1＝|PF|，d2＝|PQ|，点P在抛物线上，∴d1＋d2＝|PF|＋|PQ|，

故当P、F、Q三点共线时取最小值，由圆外一点到圆上点距离最值在这点与圆心连线与圆的交点处取得．

B.BC

C.CD

D.DA

∴最小值为|FQ|＝|FC|－|CQ|＝4.

11．(文)x2＋y2≤1是|x|＋|y|≤1成立的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 [答案] B

[解析] x2＋y2≤1表示⊙O内部及边界的平面区域M，|x|＋|y|≤1表示正方形ABCD内部及其边界的平面区域N，显然M?N，∴选B.

- 3 -

(理)四棱锥P－ABCD中，BC⊥平面PAB，底面ABCD为梯形，AD＝4，BC＝8，∠APD＝∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是

( )

A．圆

B．不完整的圆 C．抛物线

D．抛物线的一部分 [答案] B

[解析] 由题设知AD，BC都垂直于平面PAB，又∠APD＝∠CPB，可得△ADP∽△BCP，ADPA

所以＝，则PB＝2PA，且P点在与AD垂直的平面内，∴其轨迹为不完整的圆，故选B.

BCPB

12．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是

( )

94

A．y2＝－x或x2＝y

2394

B．y2＝x或x2＝y

2394

C．y2＝x或x2＝－y

2394

D．y2＝－x或x2＝－y

23

[答案] A

[解析] 由(a－1)x－y＋2a＋1＝0得 a(x＋2)－(x＋y－1)＝0， ???x＋2＝0?x＝－2，?∴∴?即点P(－2,3)． ?x＋y－1＝0?y＝3，??

设抛物线方程为x2＝p1y或y2＝p2x.

49

把点P的坐标代入求得p1＝，p2＝－.故选A.

32

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

→→

13．过点A(－2,0)的直线交圆x2＋y2＝1交于P、Q两点，则AP·AQ的值为________． [答案] 3

- 4 -

→

[解析] 设PQ的中点为M，|OM|＝d，则|PM|＝|QM|＝1－d2，|AM|＝4－d2.∴|AP|＝

→

4－d2－1－d2，|AQ|＝4－d2＋1－d2，

→→→→∴AP·AQ＝|AP||AQ|cos0°＝(4－d2－1－d2)(4－d2＋1－d2)＝(4－d2)－(1－d2)＝3.

14．如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．

[答案] 210 [解析] 点P关于直线AB的对称点是(4,2)，关于直线OB的对称点是(－2,0)，从而所求路程为(4＋2)2＋22＝210.

15．已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(2cosβ，2sinβ)，且直线2xcosα－2ysinα＋1＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1相切，则向量a与b的夹角为________．

[答案] 60°

[解析] 根据题设知圆心到直线的距离为 |2cosαcosβ＋2sinαsinβ＋1||2cos(α－β)＋1|13d＝＝＝1，解得cos(α－β)＝或－(舍去)，

2222a·b4cosαcosβ＋4sinαsinβ1

∴cos〈a，b〉＝＝＝cos(α－β)＝，∴向量a与b的夹角为60°.

|a||b|42

故填60°.

16．直线l：y＝k(x－2)＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0有两个不同的公共点，则k的取值范围是________．

[答案] k∈R且k≠－1

[解析] ∵点A(2,2)在⊙C上，直线l恒过A点，圆心C(1,1)，kAC＝1，∴k≠－1.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m的取值范围； (2)求该圆半径r的取值范围； (3)求圆心的轨迹方程．

[解析] (1)∵方程表示圆，∴D2＋E2－4F＝4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)＝4(－7m2

1

＋6m＋1)>0，∴－

7

1

(2)r＝4(－7m2＋6m＋1)

2

3164747m－?2＋≤＝－7?，∴0

?x＝m＋3?

(3)设圆心坐标为(x，y)，则?， 2

?y＝4m－1?2

消去m得，y＝4(x－3)－1.

120

∵－

77

- 5 -

即轨迹为抛物线的一段，

20?即y＝4(x－3)2－1 ??7

x≥0??

18．(本小题满分12分)已知平面区域?y≥0

??x＋2y－4≤0

被圆C及其内部所覆盖．

(1)当圆C的面积最小时，求圆C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与(1)中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．

[解析] (1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，

∵覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆． ∴圆心是(2,1)，半径是5，

∴圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5. (2)设直线l的方程是：y＝x＋b.

10∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是，

2

|2－1＋b|10即＝.解之得，b＝－1±5.

22∴直线l的方程是：y＝x－1±5.

19．(本小题满分12分)(文)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；

(2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最大值时，直线l的方程．

[解析] (1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时2＋a＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为x－y＝0；

2＋a

当直线l不经过坐标原点，即a≠－2时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得＝2

a＋1

＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.

所以，直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.

12＋a?2＋a，0?、N(0,2＋a)，又因为a>－1，故S

(2)由直线方程可求得M?×(2＋?△OMN＝×2a＋1?a＋1?

2

11(a＋1)＋2(a＋1)＋1111??＋2?＝2，当且仅a)＝×＝×[(a＋1)＋＋2]≥×?2(a＋1)×

222?a＋1?a＋1a＋1

1

当a＋1＝，即a＝0或a＝－2(舍去)时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－2＝0.

a＋1

[点评](1)截距相等，包括过原点的情形．

(2)应用基本不等式求最值一定要注意条件的验证． (理)(2010·苏北四市)已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l1过点A(3,0)，且与圆O相切． (1)求直线l1的方程；

(2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标．

[解析] (1)∵直线l1过点A(3,0)，∴设直线l1的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，

|3k|

则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d＝2＝1，

k＋1

2

解得k＝±.

4

- 6 -

2

∴直线l1的方程为y＝±(x－3)．

422

(2)在圆O的方程x＋y＝1中，令y＝0得，x＝±1，即P(－1,0)，Q(1,0)．又直线l2过点

t

A与x轴垂直，∴直线l2的方程为x＝3，设M(s，t)，则直线PM的方程为y＝(x＋1)．

s＋1

x＝3??4t??3，解方程组?得，P′ts＋1?. ?y＝(x＋1)??s＋1

2t??3，同理可得Q′

?s－1?.

4t2t

∴以P′Q′为直径的圆C的方程为(x－3)(x－3)＋?y－s＋1??y－s－1?＝0，

????

6s－2

又s2＋t2＝1，∴整理得(x2＋y2－6x＋1)＋y＝0，

t

若圆C经过定点，则y＝0，从而有x2－6x＋1＝0， 解得x＝3±22，

∴圆C总经过的定点坐标为(3±22，0)．

[点评] ⊙C经过定点，分离参数t与s，则该定点应与t、s无关，故y＝0.

20．(本小题满分12分)圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R)．

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点； (2)求⊙C与直线l相交弦长的最小值．

[解析] (1)将方程(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，变形为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0. 直线l恒过两直线2x＋y－7＝0和x＋y－4＝0的交点， ??2x＋y－7＝0由?得交点M(3,1)． ?x＋y－4＝0?

又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴点M(3,1)在圆C内，∴直线l与圆C恒有两个交点． (2)由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短． 又|CM|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，

∴弦长为l＝2r2－|CM|2＝225－5＝45.

21．(本小题满分12分)已知圆C的方程为：x2＋y2＝4. (1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；

(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝23，求直线l的方程；

→→→→

(3)圆C上有一动点M(x0，y0)，ON＝(0，y0)，若向量OQ＝OM＋ON，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

|2－k|

[解析] (1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，则由2＝2得，k1

k＋1

4

＝0，k2＝－，故所求的切线方程为y＝2或4x＋3y－10＝0.

3

(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；

当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，

|－1＋2|

即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d，则23＝24－d2，∴d＝1，∴1＝2，k＋1

3

∴k＝，此时直线方程为3x－4y＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.

4

(3)设Q点的坐标为(x，y)，

→→→→

∵M(x0，y0)，ON＝(0，y0)，OQ＝OM＋ON，

- 7 -

∴(x，y)＝(x0,2y0)，∴x＝x0，y＝2y0.

x2y2222?y?2

∵x0＋y0＝4，∴x＋?2?＝4，即＋＝1，

416

22xy

∴Q点的轨迹方程是＋＝1，轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆．

416

22．(本小题满分14分)(文)已知圆C经过点A(1,3)、B(2,2)，并且直线m：3x－2y＝0平分圆C.

(1)求圆C的方程；

(2)若过点D(0,1)，且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N. (ⅰ)求实数k的取值范围；

→→(ⅱ)若OM·ON＝12，求k的值．

35?3－25，，[解析] (1)线段AB的中点E?k＝＝－1，故线段AB的中垂线方程为y－＝?22?AB1－22

3

x－，即x－y＋1＝0. 2

因为圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上． 又因为直线m：3x－2y＝0平分圆C，所以直线m经过圆心． ?x－y＋1＝0?x＝2???由解得，?，即圆心的坐标为C(2,3)，而圆的半径r＝|CB|＝???3x－2y＝0?y＝3

(2－2)2＋(2－3)2＝1，

所以圆C的方程为：(x－2)2＋(y－3)2＝1. (2)直线l的方程为y＝kx＋1.

|2k－3＋1|

圆心C到直线l的距离d＝，

1＋k2|2k－3＋1|2

(ⅰ)由题意得d＝2<1，两边平方整理得：3k－8k＋3<0， 1＋k

4－74＋7

解之得：

?y＝kx＋1 ①?

(ⅱ)将直线l的方程与圆C的方程组成方程组得，? 22

?(x－2)＋(y－3)＝1 ②?

22

将①代入②得：(1＋k)x－4(1＋k)x＋7＝0，

设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则由根与系数的关系可得：

4(1＋k)7

x1＋x2＝， 2，x1x2＝1＋k1＋k2而y1y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，

4(1＋k)7→→

所以OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝(1＋k2)·＋1＝2＋k·1＋k1＋k24k(1＋k)

＋8， 1＋k24k(1＋k)2

故有2＋8＝12，整理k(1＋k)＝1＋k，解得k＝1.经检验知，此时有Δ>0，所以k1＋k＝1.

→→→

(理)已知定点A(0,1)、B(0，－1)、C(1,0)，动点P满足AP·BP＝k|PC|2. (1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线．

→→

(2)当k＝2时，求|2AP＋BP|的最大值和最小值． [解析] (1)设动点的坐标为P(x，y)，则 →→→

AP＝(x，y－1)，BP＝(x，y＋1)，PC＝(1－x，－y)．

- 8 -

→→→∵AP·BP＝k|PC|2，

∴x2＋y2－1＝k[(x－1)2＋y2]，

∴(1－k)x2＋(1－k)y2＋2kx－k－1＝0.

若k＝1，则方程为x＝1，表示过点(1,0)且平行于y轴的直线．

k1k1

若k≠1，则方程化为?x＋1－k?2＋y2＝?1－k?2，表示以?k－1，0?为圆心，以?1－k?为半

????????

径的圆．

(2)当k＝2时，方程化为(x－2)2＋y2＝1.

→→

∵2AP＋BP＝2(x，y－1)＋(x，y＋1)＝(3x,3y－1)，

→→

∴|2AP＋BP|＝9x2＋9y2－6y＋1＝36x－6y－26. 又∵(x－2)2＋y2＝1，则令x＝2＋cosθ，y＝sinθ， 于是有36x－6y－26＝36cosθ－6sinθ＋46

＝637cos(θ＋φ)＋46∈[46－637，46＋637]，

→→

故|2AP＋BP|的最大值为46＋637＝3＋37，

最小值为46－637＝37－3.

- 9 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8lm6.html