2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟考试数学（文）试题（解析版）

高三2016届一诊模拟考试

文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.

21.集合A?xy?lg(?x?2x)，B?xx?1，则A?B?

????A.x1?x?2 B.x0?x?1 C. x?1?x?0 D.xx?2 2.已知复数z(1?i)?2i，则复数z= A.1+i B.1-i C.

????????1111?i D.?i 2222?3x?y?6?0?3.设x，y满足约束条件?x?y?2?0，则目标函数z?2x?3y的最大值为

?x?0,y?0?A.4 B.6 C.16 D.26

4.执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 A.

79810 B. C. D. 810911

5.已知a，b为两条不同的直线，?，?为两个不同的平面，下列四个命题：①a∥b，a∥??b∥?；②a⊥b，a⊥??b∥?；③a∥?，?∥??a∥?；④a⊥?，?⊥??a∥?.其中不正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6.对于函数f(x)=xcosx，现有下列命题：①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)的最小正周期是2?；③点(是函数f(x)的图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间[0,A.②④ B.①④ C.②③ D.①③

?2,0)?4]上单调递增.其中是真命题的为

7.若在区间(-1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则直线ax-by=0与圆(x?1)2?(y?2)2?1相交的概率为 A.

5533 B. C. D. 816816228.在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a?c?b，且sin(A?C)?2cosAsinC，则b=

A.6 B.4 C.2 D.1

x2y29.已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，

abPM为?F1PF2的角平分线，过F1作PM的垂线交PM于点M，则OM的长度为 A.a B. b C.

ab D. 220.30.3A.10.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时不等式f(x)?xf?(x)?0恒成立，若a?3?f(3)，

12.若函数f(x)在[a,b]上的值域为[,]，则称函数f(x)为“和谐函数”.下列函数中：①g(x)?ab22

x?1?1；4②p(x)?1；③q(x)?lnx；④h(x)?x2.“和谐函数”的个数为 xA.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

?3x,x?0,13.已知函数f(x)??若f(x0)?0，则x0的取值范围是_______.

?log2x,x?0,14.设等比数列?an?的前n项和为Sn，若S10?40，S20?120，则S30?_______.

15.已知S，A，B，C都是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=2，AB=3，BC=4，则球O的表面积等于______.

16.△ABC中，∠A=120°，∠A的平分线AD交边BC于D，且AB=2，CD=2DB，则AD的长为_____

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

设函数f(x)?sinx?cosx(x?R). （1）求函数f(x)的最小正周期和最值； （2）若f(?12)?2sinA，其中A是面积为

33的锐角△ABC的内角，且AB=2，求边AC和BC的长. 218.（本小题满分12分）

某班为了调查同学们周末的运动时间，随机对该班级50名同学进行了不记名的问卷调查，得到了如下表所示的统计结果：

男生 女生 合计

（1）根据统计结果，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为该班同学周末的运动时间与性别有关？ （2）用分层抽样的方法，从男生中抽取6名同学，再从这6名同学中随机抽取2名同学，求这两名同学中恰有一位同学运动时间超过2小时的概率.

运动时间不超过2小时

10 13 23

运动时间超过2小时

20 7 27

合计 30 20 50

n(ad?bc)2附：K?，其中n=a+b+c+d.

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD.底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=1. （1）求证：平面PAB⊥平面PCB； （2）求四棱锥P-ABCD的体积V.

20.（本小题满分12分）

x2y2椭圆C:2?2?1(a?b?0)，作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设

ab直线l的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，k1k2??（1）求椭圆C的离心率；

（2）设直线l与x轴交于点D(?3,0)，且满足DP?2QD，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程. 21.（本小题满分12分） 已知函数f(x)?lnx?kx?1.

（1）若f(x)?0恒成立，试确定实数k的取值范围；

2. 351017n2?1?（2）证明：ln()?ln()?ln()?????ln(2)?1(n?N,n?2).

4916n请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2.

（1）求证：AD?AB?AE?AC； （2）求线段BC的长度.

23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 已知曲线C的参数方程为：??x?2cos?,?x?2?3t,(?为参数）(t为参数），直线l的参数方程为：?，点

?y?sin?,?y?1?t,P(2,1)，直线l与曲线C交于A，B两点.

（1）写出曲线C和直线l在直角坐标系下的标准方程； （2）求PA?PB的值.

24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数f(x)?x?1?x?3.

（1）请写出函数f(x)在每段区间上的解析式，并在图上的直角坐标系中作出函数f(x)的图象； （2）若不等式x?1?x?3?a?1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围. a

高2016届一诊模拟考试文科数学参考答案

一、选择题

1-5 BADCD 6-10BBCAD 11-12DC 【解析】

1.A?x0?x?2，B?x?1?x?1，∴A?B?x0?x?1，故选B. 2.z???????2i?1?i，故选A. 1?i3.由题意，当直线2x+3y=z过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，目标函数z=2x+3y取得最大值26，故选D. 4.S?1118???????，故选C. 1?22?38?995.因为四个命题均有直线在平面内的可能，所以均不正确，故选D.

6.f(0)=0，f(2?)?2?，f(0)?f(2?)，所以②错；f(0)=0，f(?)???，f(0)??f(?)，所以③错，故选B.

7.直线ax-by=0与圆(x?1)2?(y?2)2?1相交，应满足：

a?2ba?b22?1，即4a>3b，又-1

9.延长F1M交PF2延长线于点H，则OM为△F1F2H的中位线，由双曲线定义知，OM?a，故选A. 10.令F(x)=xf(x)，则当x>0时，F?(x)?0，即F(x)单调递减，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以F(x)是奇函数，所以c>b>a，故选D.

11.如图，根据三视图间的关系可得BC?23，∴侧视图中VA?锥侧视图面积S△VBC?2342?(??23)2?23，∴三棱

321?23?23?6，故选D. 2

ab，f(b)?，结合图象知：①④正确，③22?1b?a?2ba错误.若f(x)在区间[a,b]上单调递减，须满足：f(a)?，f(b)?，对于②，代入有?，ab=2即可.

1a22???b21例如：[,4]满足题意，所以②正确，故选C.

212.由题意知，若f(x)在区间[a,b]上单调递增，须满足：f(a)?二、填空题

13.x0?0或x0?1 【解析】根据指数函数、对数函数的图象，易知x0?0或x0?1 . 14.280 【解析】S10，S20?S10，S30?S20成等比数列，所以有S30?280.

15.29? 【解析】由已知，球O的直径为2R?SC?29，∴表面积为4?R?29?.

24CD212?，则AD?AC?AB，根据角平分线的性 【解析】由题意B，C，D三点共线，且

3BD133222ABBD1121441622??，所以AC=4，AD?AD?(AC?AB)?AC?AB?AC?AB?，质

ACCD23399994所以AD?.

316.三、解答题

17.解：（1）f(x)?sinx?cosx?2sin(x??4)，

∴函数f(x)的最小正周期T?2?. ...............................4分 当x??45??2k?(k?Z)时，函数f(x)的最大值为?2. ....................6分 当x?4（2）因为f(?2k?(k?Z)时，函数f(x)的最大值为2；

)?2sinA，即f()?2sin?2sinA， 12123???∴sinA?sin?3，∵A是面积为

?33的锐角△ABC的内角，∴A?. ................8分

32∵S△ABC?133，∴AC=3. AB?AC?sinA?22222由余弦定理得：BC?AC?AB?2?AB?AC?cosA?7， ∴BC?7. ........................12分

50?(10?7?13?20)2?4.844?3.841， 18.解：（1）K?30?20?23?272所以能在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为该班同学周末的运动时间与性别有关. ................................6分

（2）由题意，随机抽取的6名同学中，有2名同学运动时间不超过2小时，记为a，b，有4名同学运动时间超过2小时，记为A，B，C，D.

任意抽取两名同学共有?a,A?，?a,B?，?a,C?，?a,D?，?b,A?，?b,B?，?b,C?，?b,D?，?a,b?，?A,B?，

?A,C?，?A,D?，?B,C?，?B,D?，?C,D?，共15个基本事件，

恰好有一位同学的运动时间超过2小时的，共有8个基本事件， 所以所求概率P?8. .....................12分 1519.（1）证明：如图，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC.

又AB⊥BC，PA?AB=A，∴BC⊥平面PAB. ....................3分 又BC?平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB. .................5分

（2）解：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.

又PC⊥AD，∴AD⊥平面PAC，∴AC⊥AD. ...................7分 在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得?BAC?∴?DCA??BAC??4，

?4.

又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形， .......................9分

1?2）?1?∴DC=2AB，∴S梯形ABCD?（123， 21131?V四棱锥P?ABCD?S梯形ABCD?PA???1?. ......................12分

332220.解：（1）设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，代入椭圆C的方程有：

22x2y2x12y12??1,2?2?1， .........................2分 a2b2ab22x2?x12y2?y12??0， 两式相减：22ab即

(x2?x1)(x2?x1)(y2?y1)(y2?y1)??0， 22ab?k1???又??k2???y2?y1x2?x1，

y2?y1x2?x1b22联立两个方程有k1k2??2??， ........................4分

a3解得：e?c3. ..................5分 ?a3c3，得a2?3c2,b2?2c2， ?a3222（2）由（1）知e?可设椭圆C的方程为：2x?3y?6c，

设直线l的方程为：x?my?3，代入椭圆C的方程有

(2m2?3)y2?43my?6?6c2?0， .............................6分

因为直线l与椭圆C相交，所以??48m?4(2m?3)(6?6c)?0，

2226?6c243m由韦达定理：y1?y2?，y1y2?. 222m?32m?3又DP?2QD，所以y1??2y2，

96m2代入上述两式有：6?6c??， ...................8分 22m?32所以S?OPQ13?3?ODy1?y2??22a248m2?4(2m2?3)(6?6c2)2m?32 ..................9分

?18m2m?322?1812m?3m?36， .......................10分 2当且仅当m?32时，等号成立，此时c?5，代入?，有??0成立， 2x2y2??1. .........................12分 所以所求椭圆C的方程为：

151021.（1）解：由f(x)?0有：kx?lnx?1， 即：k?lnx?1lnx?1，令h(x)?， xx?lnxh?(x)?2?0，解得x=1， ........................2分

x在(0,1)上，h?(x)?0；在(1,??)上，h?(x)?0.

所以h(x)在x=1时，取得最大值h(1)=1，即k?1. ..................4分 （2）证明：由（1）知，当k=1时，lnx?x?1，当且仅当x=1时，取等号. 令x?1?111111?(n?N,n?2)ln(1?)????，有， ..........7分 222nnnn(n?1)n?1n11111111)?1?ln(1?)??ln(1?)??， ，...， ， ........10分 22222323nn?1n所以有：ln(1?51017n2?11?累加得：ln()?ln()?ln()?????ln(2)?1??1(n?N,n?2). ......12分

4916nn22.（1）证明：由已知∠BDC=∠BEC=90°， 所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，

由割线定理知：AD?AB?AE?AC. ...........................3分 （2）解：如图，过点F作FG⊥BC于点G，

由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆， 所以由割线定理知：CG?CB?CF?CD，① ....................5分 同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：

BF?BE?BG?BC，② .......................7分

①+②得：CG?CB?BG?BC?CF?CD?BF?BE，

即BC?CF?CD?BF?BE?3?5?3?5?30， ........................8分 所以BC?30. . ..................10分

2x2?y2?1， 23.解：（1）曲线C的标准方程为：2直线l的标准方程为：x?3y?2?3?0. ..........................5分

?3x?2?t??2（2）将直线l的参数方程化为标准方程：?（t为参数）， ................6分

1?y?1?t?2?代入椭圆方程得：5t2?8(3?1)t?16?0， ...........................8分 所以PA?PB?t1t2?16. ..........................10分 5?2?2x(x??1),?24解：（1）f(x)??4(?1?x?3), ........................................2分

?2x?2(x?3),?函数f(x)的图象如图所示.

（2）由（1）知f(x)的最小值是4， 所以要使不等式x?1?x?3?a?11恒成立，有4?a?， .......7分 aa解之得a?(??,0)?(2?3,2?3). ..........................10分

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