光的衍射习题1

第二章 光的衍射（1） 一、选择题

1．根据惠更斯—菲涅耳原理，若已知光在某时刻的阵面为S，则S的前方某点P的光强度决定于波阵面S上所有面积元发出的子波各自传到P点的

(A) 振动振幅之和 (B) 光强之和

(C) 振动振幅之和的平方 (D) 振动的相干叠加

2.在如图所示的单缝夫琅和费衍射装置中，将单缝宽度a稍稍变宽， 同时使单缝沿y轴正方向作为微小位移，则屏幕C上的中央衍射条纹将 (A) 变窄，同时向上移； (B) 变窄，同时向下移； (C) 变窄，不移动； (D) 变宽，同时向上移； (E) 变宽，不移动。

3．波长λ=5000?的单色光垂直照射到宽度a=0.25mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹。今测的屏幕上中央条纹一侧第三个暗条纹和另一侧第三个暗条纹之间的距离为d=12mm，则凸透镜的焦距f为

(A) 2m (B) 1m (C) 0.5m (D) 0.2m (E) 0.1m

4．在透光缝数为的光栅衍射实验里，缝干涉的中央明纹中强度的最大值为一个缝单独存在时单缝衍射中央明纹强度最大值的

(A) 1倍 (B) N倍 （C）2N倍 (D) N2 倍

5．波长为4.26?的单色光，以70o角掠射到岩盐晶体表面上时，在反射方向出现第一级级大，则岩盐晶体的晶格常数为

(A) 0.39? (B) 2.27? (C) 5.84λ? (D) 6.29? 二、填空题

1．惠更斯—菲涅耳原理的基本内容是：波阵面上各面积元所发出的子波在观察点P的______，决定了P点的合震动及光强。

2．在单缝夫琅和费衍射实验中，设第一级安稳的衍射角很小，若钠黄光(λ≈5890?)中央明纹宽度为4.0mm，则λ=4420?的蓝紫色光的中央明纹宽度为_____.

3．一束单色光垂直入射在光栅上，衍射光谱中共出现5条明纹。若已知此光栅缝宽度与不透明部分宽度相等，那么在中央明纹一侧的两条明纹分别是第_____级和第_____级谱线。 4．单色平行光垂直照射一侧狭缝，在缝后远处的屏上观察到夫琅和费衍射图样，现在把缝宽加倍，则透过狭缝的光的能量变为_____倍，屏上图样的中央光强变为_____倍

5．一双缝衍射系统，缝宽为a，两缝中心间距为d。若双缝干涉的第±4,±8, ±12, ±16,…级主极大由于衍射的影响而消失（即缺级），则d/a的最大值为_____. 6．半径为ρ=1.2cm的不透明圆盘与波长为λ=6000?位于圆盘轴线上的点光源间距为R=10m.在圆盘后面r0=10m处的轴线上P点观察，该圆盘遮住的半波带个数k=_______

7．一会聚透镜，直径为3cm，焦距为20cm. 照射光波长550nm. 为了可以分辨，两个远处的点状物体对透镜中心的张角必须不小于_____rad（弧度），在透镜焦平面上两个衍射图样的中心间的距离不小于______μm. 三、计算题

1．一双缝，缝距d =0.40 mm，两缝宽都是a = 0.080 mm，用波长为λ = 4800?的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f =2.0的透镜求：

（1）在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距?X.

（2）在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目N和相应的级数。

2．单缝的宽度a=0.10mm，在缝后放有焦距为50 cm的会聚透镜，用平行绿光(λ=5460?)垂直照射到单缝上，试求位于透镜焦平面处的屏幕上中央明纹宽度。

LC?af 3．在用白光做单缝夫琅和费衍射实验中，测的波长为λ的第3级明条纹中心与波长为λ/=6300?的红光的第2级明条纹中心相重合，求波长λ.

4．如图所示，设波长为λ的平面波沿与单缝平面法线 成θ角的方向入射，单缝AB的宽度为a，观察夫琅和费 衍射。试求出各级小值（即各暗条纹）的衍射角Φ.

5．以波长400nm---760nm的白光垂直照射在光栅上， 在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，问第二 级光谱被重叠的波长范围是多少。

6．一块每毫米500条缝的光栅，用钠黄光正入射，观察衍射光谱。钠黄光包含两条谱线，其波长分别为5896?和5890?，求在第二级光谱中这两条谱线相互分离的角度。

7．将一束波长λ=5890?的平行钠光垂直入射在厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅上，光栅的透光宽度a与其间距b相等，求：

（1） 光线垂直入射时，能看到几条谱线？是哪几级？

（2） 若光线与光栅平面法线的夹角θ = 300的方向入射时，能看到能看到几条谱线？是哪几

级？

8．一平面透射多缝光栅，当用波长λ1=6000?的单色平行光垂直入射时，在衍射角θ=300的方向上可以看到第2级主极大，并且在该处恰能分辨波长差?λ=0.05?的两条谱线，当用波长的单色光平行垂直入射时，在衍射角θ=300的方向上却看不到本应出现的第3级主极大，求光栅常数d和总缝数N，再求可能的缝宽a。

2四．证明题：（共10分）

1．利用牛顿环的条纹可以测定平凹透镜的凹球面的曲率半径，

2方法是将已知半径的平凸透镜的凸球面放置在待测的凹球面上， 1R1在两球面间形成空气薄层，如图所示，用波长为λ的平行单色光

垂直照射，观察反射光形成的干涉条纹，试证明若中心O点处刚 好接触，则第k个暗环的半径rk与凹球面半径R2，凸球面半径 R1( R1 < R2)及入射光波长λ的关系为

rk2= R1 R2 k λ / (R2-R1) （k = 1,2, 3…）

五．问答题（共10分）

1．图为单缝衍射装置示意图，对于会聚到P点 的衍射光线，单缝宽度a的波阵面恰好可以分成三 个半波带，图中光线1和2，光线3和4在P点 引起的光振动都是反相的，一对光线的作用恰好 抵消，为什么在P点光强是极大而不是零呢？ 2．在单缝衍射图样中，离中心明纹越远的明 条纹亮度越小，试用半波带法说明。

?A??BOORO1.5??LCaPf一、选择题

1．（D） 2．（C） 3．（B） 4．（D） 5．（B）

二、填空题

1． 干涉（或答：相干叠加）

2． 3.0mm 3． 一， 三 4． 2， 4 5． 4 6． 48

7． 2.24×10-5， 4.47

三、计算题

1． 解：双缝干涉条纹：

（1）第k级亮纹条件： dsinθ=kλ 第k级亮纹位置： xk=f tgθ≈fsinθ≈kfλ/d

相邻两亮纹的间距： △x=xk+1-xk=(k+1)fλ/d－kfλ/d=2.4mm （2）单缝衍射第一暗纹： asinθ=λ

单缝衍射中央亮纹半宽度：△x0= f tgθ1≈fsinθ1≈fλ/a=12mm ∴双缝干涉第±5级主极大缺级。

∴在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目 N=9 分别为 k=0, ±1, ±2, ±3, ±4级亮纹 或根据d/a=5指出双缝干涉缺第±5级主极大 2．解：中央明纹宽度：5.46mm 3．解：asinΦ=0.5(2k+1) λ λ的第3级明纹 asinΦ=7λ/2 λ′的第2级明纹 asinΦ=5λ′/2 由题意 7λ/2=5λ′/2

λ=5λ′/7=450nm

4．解：1、2两光线的光程差，在如图情况下为 δ=asinθ- asinΦ 由单缝衍射极小值条件 a(sinθ- sinΦ)= ±kλ k=1,2,3,…… 得 Φ=sin-1(±kλ/a+ asinθ) k=1,2,3,……(k≠0)

5．解：令第三级光谱中 λ=400nm的光与第二级光谱中波长为λ′的光对应的衍射角都为θ，则 dsinθ=3λ dsinθ=2λ′ λ′= dsinθ/2=600nm 所以，第二级中重叠范围是600 nm ------760 nm

6．解：光栅公式，dsinθ=kλ 现d=1/500mm=2×104△, λ1=5896 △ , λ2=58960△ , k=2

∴ sinθ1=kλ1/d=0.5896, θ1=36.1290 sinθ2=0.5890, θ2=36.0860 δθ=θ1 - θ2=0.0430

7．解：(1) (a+b)sinΦ= kλ, 当Φ=π/2时 k=(a+b) / λ=3.39 取kmax=3 a=b (a+b)sinΦ=2asinΦ=kλ asinΦ=kλ/2 当k= ±2, ±4, ±6……时缺级。 ∴能看到5条谱线，为0 , ±1, ±3级

(2) (a+b)(sinΦ+ sinθ)= kλ, θ=30°, Φ=±90° Φ=90°, k=5.09 取kmax=5 Φ=-90°, k=-1.7 取k′max=-1 ∵a=b, ∴第2，4，……缺级

∴能看到5条谱线，为+5，+3，+1，0，-1级 8．解：据光栅公式 dsinψ=kλ 得： d=2.4μm

据光栅分辨本领公式 R=λ/△λ=kN 得： N=60000.

在θ=30°的方向上，波长λ2=400nm的第3级主极大缺级，因而在此处恰好是波长λ2的单缝衍射的一个极小，因此有：dsin30°=3λ2, a dsin30°=k′λ2 ∴a= k′d/3, k′=1或2 缝宽a有下列两种可能： 当k′=1时， a=d/3=0.8μm. 当k′=2时， a=2×d/3=1.6μm. 四、证明题

证：如图所示，第k个暗环处空气薄膜的厚度△e为 △e=e1-e2 由几何关系可得近似关系 e1=rk2/(2R1), e2=rk2/(2R2) 第k个暗环的条件为 2△e= kλ ∴rk2= kλR1R2/(R2-R1) (k=1,2,3……) 五、问答题

1． 答：会聚在P点的光线不只是1,2,3,4四条光线，而是从1到4之间的无数条衍射的光线，它们的相干叠加结果才决定P点的光强。现用半波带法分析P点的光强。由于缝被分成三个半波带，其中相邻两个半波带上对应点发的光线的光程差为λ/2，在P点均发生相消干涉，对总光强无贡献，但剩下的一个半波带上各点发出的衍射光线聚于P点，叠加后结果是光矢量合振幅（差不多）为极大值（与P点附近的点相比），使P点光强为极大。

2． 答：除中央明纹（零级）外，其他明纹的衍射方向对应着奇数个半波带（一级三个，二级五个，……），级数越大，则单缝处的波阵面可以分成的半波带

数目越多，其中偶数个半波带的作用两两相消之后，剩下的光振动未相消的一个半波带的面积越小，由它决定的该明条纹的亮度就越小

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