曲线曲面积分部分难题解答

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

曲线、曲面积分部分难题解答

1．（P201,第1题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）： （ⅰ）?xyds，l为抛物线y?2x上从原点O(0,0)到点A(2,2)的弧OA；

2?l（ⅱ）?l?x2（ⅲ）?l?y22?ds，l为联结点O(0,0)、A(2,0)和B(0,1)的三角形围线；

2x?yds，l为圆周x2?y2?ax?a?0?；

2（ⅳ）?l?x2?y?z2?ds，l为螺线x?acost,y?asint,z?bt?b?0?的 一段弧

?0?t?2??；

?x2?y2?z2,（ⅴ）?lzds，l为曲线?2上从点O(0,0,0)到A(a,a,a2)的一段弧.

??y?axa?0?1??x?y2,解：（ⅰ）l:?y??0,2?，ds?2??y?y,?dx?1???dy??dy???21?ydy.

2所以

?xyds?l?2120y.y.1?ydy1212tan3322（令y?tant） ?2 ? ? ??arctan20arctan2t.sectdt?arctan2120tan2t.sectd?sect?

2?0?sec2t?1.sectd?sect?

?1?1153sect?sec2?3?5?arctant?|?02?1?12??5?5?5??13?5?3?15?1?3??

?1?12?55155?55???. ??2?315?3152（ⅱ）解：?l?x2

?y2?ds??2OA??AB?2?OB

??xOA2?yds?2???x0?0.1?0dx?2??20xdx?283;

，其中：OA:??y?0,?x?x2,0?x?2.

1??xAB2?yds?????2?2y?0102?y.1???2?dy

22? ?5?5y?8y?4dy??2?535.

1

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

其中：AB:??y?y,?x?2?2y,2,0?y?1.

??xBO2?yds????0012?y2?.1?0dy?2?20ydy?213.，

?x?0,其中：BO:?,0?y?1.

y?y?所以

I??OA??AB??OB?535?3.

（ⅲ）

aa?x??cost,??22解法一：l:?,0?t?2?.

?y?asint?2?x??t??y??t?dt?22ds?a?a??a???sint???cost?dt?dt.

2?2??2?2?2?a2a2?1?cost??sin?44?222所以，?x?yds?l22?0?at?dt ?2 ?a24a?22?02?1?cost?dt?a24?2?02.2sin2t2dt

?2?2?0sint2dt?a2?2?0sint?t?t?2?2?2d???a??cos?|?2a. 2?2?2?0??解法二：化l为极坐标表示：l:r????acos?,????,?. ?22?则

2?x?r???cos??acos?,??,????. l:?2??acos?.sin?2?y?r???sin??? ds?22r????r????dt?22?acos??22???asin??dt?ad?.

2所以，?x?yds?l????acos2?2?2????acos?sin??ad?

???2? ?a?2??2acos?d??2a222?20cos?d??2asin?|2?2a.

220 2

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

（ⅳ） dsl?x??t??y??t??z??t?dt?222??asint?222??acost??bdt?22a?bdt

22 ??x2?y2?z2?ds? ? ?a?b2?322???acost?2?022??asint???bt?.a?bdt

2???a022?2?btdt?22?2?2b3?2?a?b?at?t?|

03??22?3a2?4b?2?a?b.

222．（P201,第2题）设有某种物质分布在椭圆l:求它的总质量.

解：不妨假设a?b.

M?xa22?yb22其密度??x,y??y.?1上，

?lyds?4?ydsl1，其中l1;?2?x?acost,??t??0,?2?y?bsint,??. ?2 ds?所以

x??t??y??t?dt?2??asint?2??bcost?dt?asin22t?bcostdt.

22?M?4?yds?4?2bsintasinl1022t?bcostdt

22 ?4?2bsinta2??a2?b2?cos2tdt

0? ??4b?2a2??a2?b2?cos2td?cost?

0? ??4b?01a?a?budu?4b??222?22?210a?a?budu

2?22?2 ?4ba?b?22a220a?b?udu2（公式）

a222?a2?2222?a?b.arcsin ?4ba?b.?2????2a22?.arcsin ?4ba?b.?2a2?b2??ua222u?a?b2a?b??u?1? |?0??2aa?ba22222???a?b2??1?? ??? 3

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

? ?2b.???a22.arcsin2a?ba22a?b??b?. ??3．（P202,第3题）设曲线l的长度为L，而函数f在包含l的某个区域内连续.证明：

?f?P?dsl?L.maxf?P?.

P?l证明：由第一型曲线积分的定义

故

n?f?P?dsl?limd?0?f?P?.?s

iii?1?f?P?dsln?limd?0?f?P?.?s

iii?1n ?limd?0?f?P?.?s

iii?1 ?limd?0?f?P?.?sii?1ni?limd?0?maxf?P?.?si?1p?lni

?L.maxf?P?.

P?l4．（P202,第4题）从原点O?0,0?到点A?1,2?沿下列不同路径分别计算第二型曲线积分

?xdy?ydx.

?OA（1）.OA为直线段；

（2）.OA为抛物线y?2x2上的弧；

（3）.OA为从点O?0,0?经点B?1,0?到点A?1,2?的折线OBA. 解： （1） OA:?

???????y?2x,?x?x?,x:0~1.

1?OAxdy?ydx???x.2?2x?dx0?0.

?y?2x2,,x:0~1. （2）OA:?x?x?

4

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

1212

??OAxdy?ydx???x.4x?2x2?30dx?3x|0?3.

（3）??xdy?ydx?OA???2?2.OB??0BA

其中，OB:?y?0,?,x:0~1.?x?x.

?1OBxdy?ydx??0?x.0?0?dx?0;

其中，BA:?1,??x?y?y.,y:0~2. ?2BAxdy?ydx??0?1?y.0?dy?2.

5．（P202,第5题）计算曲线积分 ?lydx?xdy.

（1）.l为从点?a,0?点??a,0?的上半圆周y?a2?x2?a?0?；

（2）. l为从点?a,0?点??a,0?的直线段?a?0?； （3）. l为逆时针方向的圆周x2?y2?a2. 解： （1）

l:?x?acost,??y?asint,t:0~?.

?lydx?xdy???0??asint??.?asint???acost??.acost??dt ?2 ?a2?0cos2tdt?a2sin2t|?0?0.

（2）l:?y?0,??x?x,x:a~?a.

?lydx?xdy??a?a?0?x.0?dx?0.

（3）l:??x?acost,?y?asint,t:0~2?.

?2?lydx?xdy??0??asint??.?asint???acost??.acost??dt 2?2?a2?0cos2tdt?a2sin2t|2?0?0.

5

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

6．（P202,第6题）计算沿逆时针方向的圆周?x2?y2?a2?的曲线积分 ??x?y?dx2??x?y?dy2lx?y.

?x?acost, 解：l:?,t:0~2?y?asint.?，所以，

??x?y?dx22???x?y?dy2lx?y?

dt??acost?asint???asint???acost?asint?.?acost?a20

??2??aa220dt??2?.

7．（P202,第7题）计算下列曲线积分，曲线的方向与参数增加方向： （ⅰ）??x2?2xy?dx??y2?2xy?dy，l为抛物线y?x2??1?x?1?；

l（ⅱ）?l?x2（ⅲ）?l?y2?y2?dx??x?2?ydy，l为折线y?1?x?1?0?x?2?；

2??z2?x?t,?2,2dx?2yzdy?xdz，l的参数方程为?y?t?0?t?1?.；

?z?t3,??x?x,x:?1~1. 解：（ⅰ）l:?2?y?x

??xl2?2xydx?y?2xydy

??2? ? ????x1?12?2x.x2???x4?2x.x.2xdx

2????1?15?x34x?114x?4xdx?2????. ?|05?15?324?（ⅱ）设点A?1,0?.则

??xL2?ydx?x?y2??22?dy???xOA2?ydx?x?y2??22?dy???xAB2?ydx?x?y2??22?dy

其中 OA:??y?x,?x?x,x:0~1.

6

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

故

??xOA2?ydx?x?y2??22?dy????x102?x2???x2?x2??dx ??102xdx?22x33|10?23.;

其中

?y?2?x,AB:??x?x,x:1~2.

故

??xAB2?ydx?x?y2??22?dy????x212??2?x?2???x2??2?x?.??1?dx

2????212?2?x?dx?22?x?2?33|21?23.

所以

原式?23?23?43.

2（ⅲ）?l?y2 ? ?10?z42?dx?2yzdy6?xdz

322???t10?t??2.t42.t.2t?t.3tdt

???3t6?2t?dt1?3725?1??t?t?|?.

05?35?78．（P202,第8题）设曲线l的长度为L，而函数f?P?在包含l的某个区域内连续.证明：

证明：

设f?P???f1?P?,f2?P??.

由第二型曲线积分的定义及柯西不等式

故

n?f?P?..drl?L.maxf?P?.

P?l?f?P?.drl?limd?0??f?P?.?x1ii?1i?f2?Pi?.?yi?

?f?P?.drln?limd?0??f?P?.?x1ii?1ni?f2?Pi?.?yi?

?limd?0??f?P?.?x1ii?1i?f2?Pi?.?yi?

7

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

?limnd?0?i?1nf12?Pi??f22?Pi?.??xi?2???yi?2???yi?2

?limnd?0?f?P?.??x?iii?12

?limd?0?maxf?P?.??x?ii?1P?l2???yi??maxf?P?.?ds?L.maxf?P?

2l9．（P209,第1题）求下列曲面块的面积：

P?lP?l（ⅰ）球面x2?y2?z2?a2包含在圆柱面x2?y2?b2?0?b?a?内的那部分面积；

（ⅱ）圆锥面z?x?y22被圆柱面x2?y2?2x截下的那一部分；

（ⅲ）圆柱面x2?y2?a2被圆柱面y2?z2?a2截下的那一部分.

解：（ⅰ）画出示意图Dxy:x2?y2?b2. 将曲面方程化为?:z?a2?x2?y2，则

?z?x??xa?x?y2222,?z???y2ya?x?y22，所以，

2 dS?因此

??z???z?1????????x???y?dxd?yaa?x?y222d. xdy S?2S上?2??Dxy极aa?x?yardra?r22222 dxdy?? ?2?0d??02?b?122?2?a??.2a?r?2|?

0b ?4?aa?a2?b2.

（ⅱ）画出示意图Dxy:x2?y2?2x. 由曲面方程?:z?

?z?x?xx?y22??x?y22，得

,

2?z?y?yx?y222,，所以，

dS?因此

??z???z???1???dxdy??????x???y?2dxd,y.

8

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

S???Dxy2dxdy?2S?Dxy??2?.

（ⅲ）利用对称性（仅在第一卦限内计算）

S?8S1，曲面?1（?1为?在第一卦限的那部分，其面积设为S1）向yoz面

上的投影区域为Dyz:y2?z2?a2. 将曲面?1方程化为x?a?y22，则

?x?y?y?,

?x，所以，

a2?y2 ?z?0,22 dS?1????x?a?????x??y????dydz????z?a2?y2dydz.

因此

S?8Sa1?8??22dydz Dyza?y22 ?8?adya?ya0?08a2?y2dz??aadz?820a.

10．（P209,第2题）求下列曲面积分：

（ⅰ）??dSS?1?x?y?2，式中S为四面体?x?0,y?0,z?0,x?y?z?1?的表面；（ⅱ）???x2?y2?dS，式中S为圆柱体?x2?y2?a2,0?z?h?的表面；

S（ⅲ）???x?y?z?dS，式中S为球面?x2?y2?z2?a2?的表面.

S解：（ⅰ）S?S1?S2?S3?S4. 其中

S1:z?0, dS1?dxdy，

??dS11?1?x?y?2???2dxdy??10dx?1?x0S1Dxy?1?x?y??1?x?y?2dy

??1??1?1?x10?1?x??|0dx???11??y?0?x?2?dx?1??

??1?11?0???dx?ln?1?x?|1?1?ln2?1；

?1?x2?022 9

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

S2:x?0, dS2?dydz，

??dS1?y12???S2?1?x?y?Dyz?1?0?y?2dydz??10dy?10?1?y?2dz

??11?y10?1?y?2dy????20???1?dy

?1?y?21?y??? ??211?y|10?ln?1?y?|0?1?ln2；

S3:y?0,

dS3?dzdx，

??dS1?2?1???12?dx0?1?x10S3x?y?Dzx?dzdx?1?x?0??1?x?2dz

??11?x10?1?x?2dx????21??0???1?x?2?1?x?dx ? ??211?x|10?ln?1?x?|0?1?ln2；

S4:z?1?x?y, dS4?3dxdy，

??dS??111?x1?1?x?y?2?32dxdy?3?0dx?

S4Dxy?1?x?y?0?1?x?y?2dz ?3?1??1?1?x30?1??1?1???1?x?y?|0dx???1?x2?dx0?

?3?1?1?3ln?x111?0?3??1?x?12?dx???1?|0?23??ln2??2?.；

?所以

??dSdSdSdSdS?1?x?y?2???2?2S?1???S1x?y??1?x?y2???S2?3?1?x?y???S4?1?x?y?2

S

???ln2?1?2???1?ln2???1?ln2??3??ln2?1?3?1ln2?3???2???2?2?.

（ⅱ）S?S1?S2?S3.

10

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

表示函数u?u?x,y?沿边界曲线l外法线方向的方向导数.

证明：设?为曲线l的正向的切线向量，其方向余弦为cos?,x、cos?,y，则 有

n,x??,y，n,y????,x. 故

cosn,x?cos?,y，cosn,y??cos?,x.

???????????????????????nl?uds???u?u?cos?,y?cos?,x?l??x?y????u?y?????ds（由两型曲线积分之间的联系）

???xl?udy?dx（格林公式）

???D?????x???u????u??????????dxdy

??x??y??y????dxdy??? ???D??2u?2u???x2??y2????udxdyD.

21（P226第7题）在第6题的假设和记号下，证明：

??D???u?2??u?2??????????dxdy????u?udxdy??x????y??D????ul?u?nds.

证明：仿上题 ?ul?u?nds???u?u?ucos?,y?cos?,x?l??x?y???????（由两型曲线积分之间的联系） ?ds

? ??ul?u?xdy?u?u?ydx（格林公式）

???D????u????u?????u?????u??dxdy ?x?x?y?y??????2???u?u?u????x.?x?u.?x2??2???u?u?u??????y.?y?u.?y2?? ???D????dxdy???

???D???u?2??u?2??????????dxdy??x?y??????????D??2u?2uu???x2??y2???dxdy ?? 21

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

?移项，即得 ??D??D???u?2??u?2??????????dxdy??x?y??????????u?udxdyD

???u?2??u?2??????????dxdy????u?udxdy??x????y??D????ul?u?nds.

22（P227第8题）格林第二公式 若函数u?u?x,y?和v?v?x,y?都满足第6题中的假设，证明： 证明：我们有 ?vl??D?uu?vv?udxdy??v?ndsv?l?nu

?u?nds???u?u?vcos?,y?cos?,x?l??x?y??????? ?ds （由两型曲线积分之间的联系）

? ??vl?u?xdy?v?u?ydx（格林公式）

???D????u????u?????v?????v??dxdy ?x?x?y?y??????2???v?u?u????x.?x?v.?x2??2???v?u?u??????y.?y?v.?y2?? ???D????dxdy???

???D??u?v?u?v???.?.??dxdy??x?x?y?y????u?v?u?v???.?.??dxdy??x?x?y?y????D???u?2??u?2??v????????dxdy ?x?y???????? ???D ??v?udxdy. （1）

D由轮换对称性，知 ?ul?v?nds ???D??u?v?u?v???.?.??dxdy???x?x?y?y???u?vdxdy. （2）

D于是

?u?v?nds?v?l?nu?v???uv?uds??l??n?n??

??????D

??u?v?u?v???.?.??dxdy??x?x?y?y????D?v?udxdy??

22

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

??????D???u?v?u?v???.?.??dxdy??x?x?y?y?????D?u?vdxdy?

????v?u?u?v?dxdyD??D?uu?vvdxdy.

23（P227第9题）计算高斯(Gauss)积分 I?a,b???cosr,nrl??ds

其中l为简单（光滑）闭合曲线，r为不在l上的点?a,b?到l上动点?x,y?的向量，而n为l上动点?x,y?处的法向量.

解：设?为曲线l的正向的切线向量，其方向余弦为cos?,x、cos?,y，则 有

n,x??,y，n,y????,x. 又设n0?cosn,x,cosn,y ，r??x?a,y?b?，则

??????????0?????????x?a?.cosn,x??y?b?.cosn,yr.n0? cosr,n?cos?. ?r,n???22??0?x?a???y?b?r.n??????故

cosr,nr????x?a?.cos?n,x???y?b?.cos?n,y?.

?x?a?2??y?b?2I?a,b????x?a?ll12??y?b?122??x?a?.cos?n,x???y?b?cos?n,y??ds

2 ???x?a? ???y?b???x?a?.cos??,y???y?b?cos??,x??ds

2?x?a?dy?l?x?a?2??y?b?dx??y?b?y?b.

记 P?x,y????x?a?2??y?b?2,Q?x,y??x?a?x?a?2??y?b?2.

23

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

则

?P?y??y?b?2??x?a?2??x?a?2??y?b?2?Q?x?,?Q?x?P?y??y?b?2??x?a?2?.它们在xoy平面内除点 22?x?a???y?b??a,b?外处处连续，且?0.

（一）若点?a,b?在l所包围的区域D外，原式=0；

（二）若点?a,b?在l所包围的区域D内，以点?a,b?为中心作一个充分小的圆

l?:?x?a???y?b???(??0).取逆时针方向，使之完全包含在l为边界的区域

222内.记介于l?和l之间的区域为D?. 则在D?由格林公式可得：

????x?a?lx?a?dy??y?b?dx2??y?b?2??x?a?dy?l?x?a?2???y?b?dx??y?b?2???Q?P??????x??y?dxdy?0.

?D??所以，

I??x?a?dy?l?x?a?21??y?b?dx??y?b?2???x?a?dy??y?b?dxl??2

???2??x?a?dy??y?b?dx（格林公式）

l?1?2??D????x?a???b?y??1?dxdy???2?y???x???D2dxdy?2?2.??2?2?.

24（P227第10题）利用斯托克斯公式重新计算积分（例3） I???z?y?dx??x?z?dy??x?y?dz,其中l是曲线

l?x2?y2?1, ?

?x?y?z?2.方向为从oz轴正方向往负方向看去是顺时针方向. 解一：由斯托克斯公式

dydzdzdxdxdy????xz?y?yx?z?zx?y .取??2dxdy为平面x?y?z?2上由椭圆所围成的那一

小块曲面.（取下侧），因此

24

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

0n??1,?1,1?,n???31?,?,?.） 33??33 I???z?y?dx??x?z?dy??x?y?dz????2dxdy??2??l??13dS

??2??Dxy13.3dxdy??2.??dxdy??2?.

Dxy解二：（直接计算）

I???z?y?dx??x?z?dy??x?y?dz?l??2dxdy?其中，Dxy:x2?y2?1.

所以，I????2dxdy??2?..

Dxy25（P238第1题）下面的向量场是否为保守场？若是，并求位势u:

?1?因为

f?2xcosy?ysinx,2ycosx?xsiny;?22?

解：（1）这里P?x,y??2xcosy?y2sinx，Q?x,y??2ycosx?x2siny.

?P?y??2xsiny?2ysinx??Q?x，?x,y??R2

所以f??2xcosy?y2sinx,2ycosx?x2siny?是定义在全平面上的保守场.所以，

?2xcosy?ysinxdx?2ycosx?xsinydy2??2?是某一个函数u?x,y?的全微分.

故可取

?2xcosu?x,y????0,0???x,y?y?ysinxdx?2ycosx?xsinydy2??2???2xcos0?002x2sinxdx?2???2ycosx?x0yy2sinydy2?

?x|?x0?ycosx?xcosy22?|0?x?2??y2cosx?xcosy?x?2?

?ycosx?xcosy.

2则，所求的位势为

u?x,y??c?y2cosx?x2cosy?c.

?2?f?2xe??y,cosz?xe2?y,?ysinz.?

2?y解：这里

P?x,y,z??2xe

?y,Q?x,y,z??cosz?xe,R?x,y,z???ysinz.

25

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

因为

?P?y??2xe?y??Q?x；

?y?Q?z??sinz??R?y；

?R?x?0??P?z. ?x,y,z??R.

3所以，

2xe?yf?2xe?,cosz?xe?y2?y,?ysinz为定义在全空间上的保守场.所以，

zdz?dx??cosz?xe2?dy?ysin2xe?y是某一个函数u?x,y,z?的全微分.

（二）现取

u?x,y,z?????x,y,z?0,0,0?dx?cosz?xe?2?y?dy?ysinzdz

取M0M如图所示，从M0?0,0,0?沿x轴到点M1?x,0,0?再沿平行于y轴的直线到点

M2?x,y,0?最后沿平行于z轴的直线到点M?x,y,z?.于是

u?x,y,z???x02xex?0dx???cos0?x0y0y2e?y?dy??z0z0?ysinzdz

?x2|??y?x2e?y?|?ycosz|?x2???y?x2e?y??x2???ycosz?y?

0 ?x2e?y?ycosz. 则，所求的位势为

u?x,y,z??c?x2e?y?ycosz?c.

26（P238第2题）证明式（14-31），并由此求下面的曲线积分：

(1).?

?1,2?ydx?xdyx2?2,1?;(2).??6,1,1??1,2,3?yzdx?zxdy?xydz.

解：（一）要证式（14-31）成立，即要证若平面区域D内保守力场

f??P?x,y?,Q?x,y??

有位势u?x,y?，则对D内的任意两点M1?x1,y1?,M2?x2,y2?，有 事实上，因为

???x2,y2?x1,y1?P?x.y?dx?Q?x,y?dy?u?x2,y2??u?x1,y1?.

f??P?x,y?,Q?x,y??为保守力场，故

?P?x.y?dx?Q?x,y?dy在D内与路径无关，而只取决于路径的起点、

l终点.

令 v?x,y?????x,y?x1,y1?P?x.y?dx?Q?x,y?dy （1）

则可证明v?x,y?也是f在D内的一个势函数.故

26

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

u?x,y??v?x,y??C ，对任意?x,y??D成立 （2） （2）式中取?x,y???x1,y1?，并注意到v?x1,y1??0（因为沿闭合曲线的积分为零），得

C?u?x1,y1??v?x1,y1??u?x1,y1? （3） （2）式中再取?x,y???x2,y2?，并注意到v?x1,y1??0,得

u?x2,y2??v?x2,y2??C 即

v?x2,y2??u?x2,y2??C??3?u?x2,y2??u?x1,y1?.

???????????又由（1）式，注意到v?x,y?的记号，得 ??x2,y2??xP?x.y?dx?Q?x,y?dy?u?x2,y2??u?x1,y1?.

1,y1?（二）(1).??1,2?ydx?xdyP?x,y??y?2,1?x2中，x2，Q?x,y???xx2??1x.

因为 ?P?y?1x2??Q?x，?x,y??R2,x?0.

所以，ydx?xdyx2是某一个函数u?x,y?的全微分.

故可取

u?x,y????x,y?ydx?xdyx?1,0?x2??10dx??y???1?y0?x?dy???x.

所以

??1,2?ydx?xdy?2,1?x2?u?1,2??u?2,1???21????1????3. ?2?2(2).??6,1,1??1,2,3?yzdx?zxdy?xydz.中，

P?x,y,z??yz,Q?x,y,z??zx,R?x,y,z??xy.

因为

?PP?y?z??Q?x；

?Q?z?x??R?y；

?R?x?y???z. ?x,y,z??R3.

所以，yzdx?zxdy?xydz是某一个函数u?x,y,z?的全微分.

27

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

（二）现取

u?x,y,z?????x,y,z?0,0,0?yzdx?zxdy?xydz

取M0M如图所示，从M0?0,0,0?沿x轴到点M1?x,0,0?再沿平行于y轴的直线到点

M2?x,y,0?最后沿平行于z轴的直线到点M?x,y,z?.于是

u?x,y,z???x00dx??y00.xdy??z0xydz ?xyz.

所以

??6,1,1??1,2,3?yzdx?zxdy?xydz?u?6,1,1??u?1,2,3??0.

27（P238第5题）验证下列方程我全微分方程，并求通解：

(1).?2x?3y?dx??3x?4y?dy?0;(2).?3x2?2xy?y2?dx??x2?2xy?3y2?dy?0.

解：(1).?2x?3y?dx??3x?4y?dy?0; 这里，P?x,y??2x?3y,Q?x,y??3x?4y. 因为，

?PQ?y?3???x，所以方程是全微分方程.

故：u?x,y????x,y??0,0??2x?3y?dx??3x?4y?dy

??x0?2x?0?dx??y0?3x?4y?dy

?x2|x0??3xy?2y2?|y20?x?3xy?2y2.

因此，所求方程的通解为：x2?3xy?2y2?c.

(2).?3x2?2xy?y2?dx??x2?2xy?3y2?dy?0.

这里，P?x,y??3x2?2xy?y2,Q?x,y???x2?2xy?3y2.. 因为，

?P?y??2x?2y??Q?x，所以方程是全微分方程.

故：u?x,y????x,y?2?2xy?y2?0,0??3x?dx??x2?2xy?3y2?dy

??x20?3x?0?dx?y0??x2?2xy?3y2?dy

?x3|x0???x2y?xy2?y3?|y3230?x?xy?xy2?y.

因此，所求方程的通解为：x3?x2y?xy2?y3?c..

28

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

28（P238第6题）设函数u?u?x,y?在凸区域（即包含区域内任意两点间的连线）

2??R内连续可微分且gradu?K（常数）.证明：对于?内任意两点A,B，都

有

u?A??u?B??K.d?A,B?. 其中d?A,B?表示点A,B之间的距离.

证明：由于?为凸区域，故线段AB整个属于?.设点B的坐标为?x0,y0,z0?，点A的坐标为?x1,y1,z1?，且令?x?x1?x0,?y?y1?y0,?z?z1?z0. 考虑一元函数

f?t??u?x0?t?x,y0?t?y,z0?t?z? ?0?t?1?. （1） 显然， f?0??u?B?,f?1??u?A?. （2） 且f?t?在?0,1?上可微，并且

f??t??u?x?x0?t?x,y0?t?y,z0?t?z?.?x ?u?y?x0?t?x,y0?t?y,z0?t?z?.?y

?u?z?x0?t?x,y0?t?y,z0?t?z?.?z （3） 于是，由微分学中值定理知

u?A??u?B??f?1??f?0??f???? ???3???u?x?x0???x,y0???y,z0???z?.?x ?u?y?x0???x,y0???y,z0???z?.?y ?u?z?x0???x,y0???y,z0???z?.?z

?gradu?x0???x,y0???y,z0???z?.BA. （4） 由（4）式可知

u?A??u?B??gradu?x0???x,y0???y,z0???z?.BA

?gradu?x0???x,y0???y,z0???z?.BA?K.d?A,B?. 29（P238第7题）求向量场f?grad?arctan?

?y??沿下列曲线lx?的环量：

29

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

（ⅰ）l为圆周?x?2?2??y?2?2?1；

l为圆周x2?y2?4（分为左、右半圆周分别计算）.

解： f?grad?arctan??y????y???y??????arctan?,?arctan?? x???x?x??y?x?? ???2?y2?x?y,?. 22?x?y?xydxx?y22 （ⅰ）

?lf.dr???l?xdyx?y22（格林公式）

???D?????x????x??y?2??? ?x?y2???y??x2?y2??dxdy??????y?x22 ???D?y2?x2?22??x?y??2?x?2?y2?2??dxdy?0. ??14 （ⅱ）?f.dr?l?xdy?ydxx?y2214l?lxdy?ydx??2.?2??2?.

230（P238第8题）求rotf,其中f??2z?3y,3x?z,y?2x?. 解：rotf??

???y?2x???3x?z???2z?3y???y?2x???3x?z???2z?3y?????,?,????2,4,6?.

?y?z?z?x?x?y????R??y??Q?P?R?Q?P?,?,?? ?z?z?x?x?y?31（P238第9题）证明： rotuf?urotf?gradu?f. 解：设f??P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z??，则

uf??uP?x,y,z?,u.Q?x,y,z?,uR?x,y,z??.

?? rotf?????uR???y???uQ???uP???uR???uQ???uP??,?,?? ?z?z?x?x?y??u???R?u???P?P?R?,?u???u?z???x?x???z??, ???R?u???Q?u??{?u?R?u?Q????y???z?z??y 30

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

?u???Q?x?Q?u???P?u????u?P???},?x???y?y?

??R?Q?P?R?Q?P??u??,?,???y?z?z?x?x?y?????u?u???u?u?????R?Q,?R?P??????y?z?x?z???????u?u?????P?Q?? ?x?y????urotf?gradu?f.

31（P246第1题）利用奥-高公式计算下列各曲面积分：

（ⅰ）??xdydz?ydzdx?zdxdy，沿球面?x?a?2??y?b?2??z?c?2?R2外侧；

S（ⅱ）??x3dydz?y3dzdx?z3dxdy，沿正方体?0?x?1,0?y?1,0?z?1?的外表

S面；

（ⅲ）??x2cos?n,x??y2cos?n,y??z2cos?n,z?dS，沿锥面SS???x?y22?z?h?的下

侧；

（ⅳ）??z3dxdy,沿上半球面z?Sa?x?y222的上侧.

解：

（ⅰ）??xdydz?ydzdx?zdxdy（奥-高公式）

S ????????x???y???z??????dv??y?z???x????3dv?3.43?R?4?R.

33（ⅱ）??x3dydz?y3dzdx?z3dxdy（奥-高公式）

S33??x3?y?z???z ??????dxdyd ?x?y?z?????2??2????????103x?y?z1122?dxdydz?9???zdxdydz

?2?9?dx?dy?zdz?9?1?1?0013?3.

（ⅲ）若取S1:z?h（上侧）.则S与S1一起构成一个封闭曲面.记它们所围成的

空间闭区域为?.在?上利用奥-高公式，便得：

???xS?S12cosn,x?ycosn,y?zcosn,zdS

??2??2???31

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

???xS?S12dydz?ydzdx?zdxdy22

（奥-高公式）

22??x2?y?z? ???????z?dxdyd

?x?y?z?????????????2?x??y?z?dxdydz?h????2?02zdxdydz（???xdxdydz??????ydxdydz ?0）

?2?2?0d??rdr0h2?2hrzdz?2?h4d??h0r12?h2?r2?dr

?2??r?h?r?dr?02?.

所以

???xS2cosn,x?ycosn,y?zcosn,zdS2????S12??22???

?h2h2?? xdydz?ydzdx?zdxdy222 ?2????hDxydxdy??h22??h.?h?22h22?.

（ⅳ）??z3dxdy,沿上半球面z?Sa?x?y222的上侧.

若取S1:z?0（下侧）.则S与S1一起构成一个封闭曲面.记它们所围成的空间闭

区域为?.在?上利用奥—高公式，便得： 3z??dxdydz

S?S1 （奥-高公式） ?????0?z3?z?dxdydz????3z?a02dxdyd z?3?2?d?d??20sin?d??2??cos??2?2d?

a40?3?2??0?20cos?.sin?d???d?

??1?152?53?6?.??cos?|2?.a?a.

0355??所以

??Szdxdy ?32?5a?5??S1zdxdydz3

32

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

? ?a????5?2?5?2?5???0dxdydz??5a. Dxy?332（P246第2题）设S为光滑封闭曲面，c为常向量.证明：

?n,c?dS??cosS?0.

n?n?P?为S上点P处的单位外法向量

证明：设n??cos?,cos?,cos??,c??c1,c2,c3?.

cosn,c???n.cn.c?c1.cos??c2cos??c3cos?c1?c2?c3222

??Scosn,cdS???1c1?c2?c3222??cdydz1S?c2dzdx?c3dxdy

（奥-高公式）?0.

33（P246第3题）证明等式

????dxdydzr?12?r,n?dS. ??cosS其中S为包围空间有界区域??R3的光滑封闭曲面，n为曲面S上动点P?x,y,z?处的单位外法向量，r为连接定点M0?a,b,c?M0?S??与动点P处的向量

M0P,r?r.

证明：设n??cos?,cos?,cos??,r??x?a,y?b,z?c?.

cosr,n???r.nr.n??x?a?.cos???y?b?cos???z?c?cos?2?x?a???y?b???z?c?22

1??2Scosr,ndS???1??2S?x?a?dydz??y?b?dzdx??z?c?dxdy2?x?a???y?b???z?c?22

记

P?x?a?x?a??x?a?2??y?b???z?c?22，Q?y?b?x?a?2??y?b???z?c?22,

R?z?c2??y?b???z?c?22.

则

33

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

?P?x?R?z??y?b?2??z?c?22??x?a???x?a???Q?y2??y?b???z?c???y?b?222??32;?Q?y??x?a?2??z?c?22??x?a?2??y?b???z?c?2?32;

??x?a?2232.

??y?b???z?c?2 所以

?P?x??R?z?2?x?a???y?b???z?c?22?232?

?2r.

??x?a??2??y?b???z?c?22?2?x?a?2??y?b???z?c?22故由奥—高公式，得

1??2Scosr,ndS?????????P?Q?R???????dxdydz?y?z???x?????dxdydzr.

33（P247第4题）计算高斯积分 I?a,b,c????Scosr,nr2??dS.

其中S为光滑封闭曲面，n为S上动点P?x,y,z?处的外法向量，点?a,b,c??S，r为连接点?a,b,c?与动点?x,y,z?处的向量，r?r. 证明：设n??cos?,cos?,cos??,r??x?a,y?b,z?c?.

cosr,n???r.nr.n??x?a?.cos???y?b?cos???z?c?cos?2?x?a????y?b???z?c?22

??Scosr,nr2??dS??S?x?a?dydz?????y?b?dzdx??z?c?dxdy??y?b???z?c????23

?x?a?2 记

P????x?a3，

?x?a?2??y?b???z?c????22Q????y?b?x?a?2??y?b???z?c????223,

34

周世国：曲线曲面积分部分难题解答

R????z?c?x?a?2??y?b???z?c????223.

则

?P?x????13????3?x?a?25；

?x?a?222??y?b???z?c?????x?a?222??y?b???z?c?????Q?y????1?x?a?2??y?b???z?c????223????3?y?b?25；

?x?a?222??y?b???z?c????

?R?z????1?x?a?222??y?b???z?c????3????3?z?c?25.

?x?a?222??y?b???z?c????记S所围成的区域为?.

（1）当曲面S不包围定点?a,b,c?时，则

?P?x??Q?y??R?z?0.

故由奥—高公式，有 I?a,b,c??故由奥—高公式，得

??Scosr,nr2??dS???P?Q?R????z0. ?????x?y?z??dxdyd??????Scosr,ndS???????dxdydzr.

（2）当曲面S包围定点?a,b,c?时，则我们以点?a,b,c?为中心，以?为半径作一球??包围在曲面S内，此球面记以S?（取外侧）.将奥—高公式用于????上，则有

??Scosr,nr2??dS???S?cosr,nr2??dS??????????P?Q?R???????dxdydz?0. ?x?y?z??故

35

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8kj6.html