二次函数最值

二次函数最值

内容讲解： 二次函数的最值问题，包括三方面的内容： 自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值

b24ac?b2b的求法．二次函数y=ax+bx+c=a（x+）+．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-时，

2a2a4a2

bb4ac?b2y随x增大而减小；当x>-时，y随x?增大而增大；当x=-时，y取最小值．当a<0时，

2a2a4a抛物线开口向下，此时当x<-

bbb时，y随x增大而增大；当x>-时，y随x增大而减小；当x=-时，

2a2a2a4ac?b2y取最大值．

4a 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，?要结合图象和增减性来综合考虑． （1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值； （2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．

3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解． 例题剖析

例1 （2003年武汉选拔赛试题）若x-1= （A）3 （B）

y?1z?2?，则x2+y2+z2可取得的最小值为（ ）． 23599 （C） （D）6

214y?1z?2? 分析：设x-1==t，则x2+y2+z2可用只含t的代数式表示，通过配方求最小值． 2355959 解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t2+10t+6=14（t+）2+，所以最小值是．

141414 评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k法是解决等比问题最常用的方法．

例2 （1995年全国初中数学联赛试题）设x为正实数，则函数y=x2-x+ 分析：先将原函数配方，再求最值。解：y=x2-x+

1的最小值是________． x111=（x-1）2+（x+）-1 =（x-1）2+（x?）2+1 xxx要求y的最小值，最好有（x-1）2=0且（x?最小值1．

评注：函数y=x2-x+

112

）=0，这时得到x=1． 于是，当x=1时，y=x2-x+取

xx11含有，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、?最有效的方xx1

法仍然是配方法．

例3 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x2+4│x│-1的最小值是________． 分析：对x分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，?求二次函数最值问题．

2??2(x?1)?3,x?0, 解：y=2（│x│+1）-3=? 其图象如 图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1． 2??2(x?1)?3,x?0.2

答案：-1．

评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值． 例4 设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2-23x-1│的最值．

分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．?然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值．【解】：如图，先作抛物线y=x2-23x-1，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│x-23x-12

│的图象，对称轴是直线x=3，方程x2-23x-1=0的两根是3±2．由此可知，0与3?位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为： f（3）=|（3）-2323-1|=4， 而最小值为f（0），f（3）中较小者∵f（0）=1，f（3）=63-8>1，∴最小值为1．

评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），?转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．

例5 设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值． 分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．解：由△=（-4m）2-4323（2m2+3m-2）≥0得m≤

2， 3 2

327323322m2?3m?227x1+x2=2m，x1x2=，x12+x22=2（m-）+=2（-m）+，?∵m≤，∴-m≥->0， 484834433 从而当m=

23278时，x+x取得最小值，且最小值为23（-）2+=． 34389评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．

例6 求函数y=（4-x）+2x2?9的最值．

分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值． 解：设u=2x2?9-x，则u>0，且y=4+u． 于是（u+x）2=4（x2+9），即 3x2-2u2x+36-u2=0．∵x∈R，∴上式的判别式△=（2u）2-4333（36-u）≥0， 即u2≥27，故u≥33． ∴y=4-x+2x2?9的最小值为4+33（当x=3时取到）．

2

评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．

例7 （2002年太原市竞赛题）已知二次函数y=x2-x-2及实数a>-2，求（1）函数在-2

分析：本题由于字母a的不确定性，因此需要分类讨论，并通过数形结合的方法来解． 解：函数y=x2-x-2的图象如图． （1）当-2

119时，ymin=y│x=a=a2-a-2；当a≥时，ymin= y|1=-．

x?2242 （2）当-2

131，即-2

319≤a<时，ymin= y|1=-．评注：将a相对于抛物线对称轴的位置进行分类讨论是解题关键，

x?2242?而数形结合的方法可以直观地帮助求解．

例8 （2004年全国初中数学联赛试题江西赛区加试题）函数y=x2-2（2k-1）x+3k2-2k+6的最小值为m，则当m达到最大时x=_______．

分析：可通过配方法将原函数配成a（x+n）2+m的形式，再根据m的形式确定m的最大值．

3

解：y=（x-2k+1）2-k2+2k+5，当x=2k-1时，y最小值是m=-k2+2k+5=-（k-1）2+6，所以当k=1时，m达到最大值．此时x=2k-1=1． 评注：配方法是求取二次函数最值问题中最常用的基本方法，对于二次函数的最小值的最大值问题，可通过反复配方来确定．

例9 （2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是_______．

分析：由条件可构造以x、y为根的一元二次方程，再根据其有实数根求出的范围． 解：∵x+y=5-z，xy=3-z（x+y）=3-z（5-z）=z2-5z+3． ∴x、y是关于t的一元二次方程t2-（5-z）t+z2-5z+3=0的两实根． ∵△=（5-z）2-4（z2-5z+3）≥0，即 3z2-10z-13≤0，（3z-13）（z+1）≤0． ∴z≤z=

131，当x=y=时，331313． 故z的最大值为． 33 评注：?利用一元二次方程根的判别式的值“非负”或“为负”来求解函数最值的方法称为判别式法． 例10 （2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（-1，4）与点B（2，1），并且与x?轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为________． 分析：应用二次函数y=ax2+bx+c过已知两点可确定a、b、c之间关系，并利用根的判别式求出b+c最值．解：由于二次函数的图象过点A（-1，4），点B（2，1），所以??a?b?c?4,?b??a?1, 解得?4a?2b?c?1,c?3?2a.??因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以△=b2-4ac>0，（-a-1）2-4a（3-2a）>0，即（9a-1）（a-1）>0，由于a是正整数，故a>1， 所以a≥2，又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，满足题意，故b+c?的最大值为-4． 评注：借助二次函数图象与x轴的交点是所对应二次方程的根，?通过根的判别式可确定相关字母（或式）的取值范围，进而可确定其最值是解决这类问题常用方法． 例11 （2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知a<0，b≤0，c>0，?且b2?4ac=b-4ac，求b-4ac的最小值．

分析：由b2-4ac容易想到一元二次方程ax+bx+c=0根的判别式，

2

且b2-4ac>0，故可构造抛物线y=ax2+bx+c来解．解：令y=ax2+bx+c，

由a<0，b≤0，c>0，判别式△=b2-4ac>0，?所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线， 且与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），因为x1x2=

c<0，不妨设x1

2a

4

评注：有的给出的问题不是二次函数，但经过适当变形后，?可以转化为二次函数的问题，我们要领会这种转化思想．

例12 （2003年天津市竞赛题）已知函数y=（a+2）x2-2（a2-1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．

33a2?1 分析：将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为x==（a-2）+，因0<≤1，

a?2a?2a?2a2?1a2?1a-2<≤a-1，故函数的最小值只可能在x取a-2，a-1，时达到，所以，?解决本例的关键在于

a?2a?23a2?12(a2?1)2a2?1分类讨论． 解：y=（a+2）（x-）+1-，其对称轴为x==（a-2）+．

a?2a?2a?2a?23a2?1 因为a为正整数，故0<≤1，a-2<≤a-1． 因此，函数的最小值只可能在x取a-2，a-1，

a?2a?2a2?1a2?1a2?1时达到．（1）当=a-1时，a=1，此时，x=1使函数取得最小值．（2）当a-2< 1时，由于x是正整数，而为小数，故x=不能达到最小值． 当x=a-2时，y=（a+2）（a-2）

a?2a?22

-2（a2-1）（a-2）+1，当x=a-1时，y=（a+2）（a-1）2-2（a2-1）（a-1）+1．y1-y2=4-a．（i）当4-a>0，

即1

?1,当a?1时,??a?1,当1?a?4时,或3；（iii）当4-a<0，即a>4且为整数时，x取a-2，使y1为最小值． 综上，x=??2或3,当a?4时,?a?2,当a?4时.?（其中a为整数） 评注：求二次函数y=ax2+bx+c在给定范围的最值，?关键是看对称轴方程是否在给定范围内，并与端点一并比较．

例13 （1997年湖北省荆州市初中数学联赛试题）已知二次函数y=（a2-a+1）x2+bx+轴交点为A（x1，0），B（x2，0），其顶点横坐标为

1a的图象与x61，设t=x13+x23． （1）试用a把t表示出来； 2 （2）问实数a取何值时，t取最小值，最小值是多少？ 分析：应用一元二次方程根与系数关系可求出t的表达式；?再通过根的判别式法求出t的最值．

5

?b?1??,2?22(a?a?1)?ba?, ∴b=- 解：根据题意得?x1?x2??2（a2-a+1），x1+x2=1． 此时，△=b2-4（a2-a+1）2=

6a?a?1?a??6.?x1?x2?2a?a?1?2513511（a2-a+1）2-a（a2-a+1）=（a2-a+1）（a2-a+1）=[（a-）2+][（a-）2+]>0，∴a可取任意

33246361a2a2?3a?22a2?3a?2?实数值．1）t=（x1+x2）-3x1x2（x1+x2）=1-3x1x2=1-22． （2）将t=22a?a?12a2?2a?22a?2a?23

变形，得 2（t-1）2a2+（3-2t）a+2（t-1）=0， 显然，当a=0时，t=1．当t≠1时，△a=（3-2t）2-432（t-1）32（t-1）≥0，即12t2-20t+7≤0，∴

171≤t≤． 综上所述，tmin=，仅当a=1时取得． 262评注：在求二次函数的最值时，若二次函数有字母系数，则应考虑△≥0与二次项系数不为0的条件． 例14 生产某商品xt需费用1000+5x+

12xx元，出售该商品xt时的价格是每吨a+元，?其中a，b10b是常数，如果生产出的商品都能卖掉，并且当产量是150t时利润最大，这时的价格是每吨40元，求a，b的值．

分析：首先表示出利润是y的函数关系式，然后再求取二次函数的最值． 解：设卖出xt的利润是y元，则 y=x（a+

x1211）-（1000+5x+x）=（-）x2+（a-5）x-1000． 又由题设知，当x=150时，b10b10a?5???150,?300?a??35,11?11?2(?)?by最大，因此?解得a=45，b=-30． 当b=-30时，-<0， 即?b10b10150?150?a??40.?40.??a?b?b? ∴函数有最大值．∴a=45，b=-30为所求．

评注：这是一个关于商品的利润问题，解决此类问题的关键是函数建模，使之转变为函数问题，再利用一元二次函数在顶点处取最值的方法来求解．

例15 （2000年全国数学竞赛题）一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，?它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32?人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层．问：电梯停在哪一层，?可以使得这32个人满意的总分达到最小？最小值是多少？（?有些人可以不乘电梯而直接从梯梯上楼）．

分析：设电梯停在第x层，在第一层有y个人没有乘电梯而直接上楼，?那么首先用x、y表示出不满

6

意总分的函数关系式，再用配方法来求取最值． 解：对于每一个乘电梯上、下楼的人，他所住的楼层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设P层的人乘电梯，而住Q层的人直接上楼，PQ．设电梯停在第x层，在第一层有y个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为

S=3[1+2+3+?+（33-x）]+3（1+2+?+y）+[1+2+?+（x-y-2）]

3(34?x)(33?x)3(y?1)y(x?y?2)(x?y?1)2

?? =2x-（y+102）x+2y2+3y+1684=2

222y?1022156?102)?（y-6）2+316≥316． 当y=6，x=（x-=27时S取最小值为316． 484=

评注：通过配方，把S?的代数表达式用非负数与常数的和或积表示而求最值是常用的方法应掌握． 例16 在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季度即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式； （2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=-0.125（x-8）2+12.1?≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？ 分析：由于时间不同所建立的函数解析式就不同，故本题需要分类讨论． 解：依题意，可建立的函数关系式为：

?20?2(x?1)(1?x?6)?2x?18(1?x?6)??(6?x?11)即y=?30(6?x?11) （2）设销售利润为W，则W=售价-进价 y=?30?30?2(x?11)(12?x?16)??2x?52(12?x?16)??1??12220?2x?(x?8)?14(1?x?6)??8x?14(1?x?6)8??1??12(6?x?11) 化简得W=?x2?2x?26(6?x?11) 故W=?30?(x?8)?128??8?1?122(x?8)?2x?40(12?x?16)?8?8x?4x?48(12?x?16)??12

x+14时，∵x≥0，函数y随着x增大而增大，∵1≤x≤6 ∴当x=6时，W有最大值，最811大值=18.5． ②当W=x2-2x+26时，∵W=（x-8）2+18，当x≥8时，函数y随x增大而增大

88111 ∴在x=11时，函数有最大值为19． ③当W=x2-4x+48时，∵W=（x-16）2+16，∵12≤x≤16，

888 ①当W=

当x≤16时，函数y随x增大而减小， ∴在x=12时，函数有最大值为18． 综上所述，当x=11时，函数有最大值为19

1． 评注：本题以分段函数为背景，与分类讨论思想相结合，解题时要紧扣题设条件，8根据自变量的不同取值范围，实施分类解答，并做到不重不漏，逐层讨论求解． 巩固练习：一、选择题

7

1．已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-1，1），则ab有（ ） （A）最小值0 （B）最大值1 （C）最大值2 （D）有最小值-2．如图，四个二次函数的图象，哪一个函数在x=2时，有最大值（ ）

3．正实数x、y满足xy=1，那么

1 411?的最小值为（ ） x44y4 （A）

155 （B） （C）1 （D） （E）2 284二、填空题

1．函数y=-2x2+x图象的对称轴是_______，最大值是______． 2．如果二次函数y=x2-6x+m的最小值是1，那么m的值是_______． 3．已知二次函数y=（x-1）2+（x-3），当x=_______时，函数达到最小值． 4．当0≤x≤3时，二次函数y=-x2+4x-2的最大值是_______，最小值是_______． 5．已知二次函数y=

1（x-1）2+1，如果当1≤x≤a（a>1）?，?y?的最大值恰好是a，?则a=_______． 26．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底与池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低造价为______元．

7．用长为16米的细绳围成一个矩形，矩形的长为x，面积为y，则y与x?之间的函数关系式为，y的最大值为_______．

8．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为________、________米．

9．设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根，则（x1-2x2）（x2-2x1）的最大值为_________．

10．若抛物线y=x2-（k-1）x-k-1与x轴的交点为A、B，顶点为C，则△ABC的面积最小值为________．

11．如图，B船在A船的西偏北45°处，两船相距102km，若A船向西航行，B?船同时向南航行，且B船的速度为A船速度2倍，那么A、

8

B两船的最近距离为_______km．

12．销售某种商品，如果单价上涨m%，则售出的数量就将减少么m的值应该确定为________． 三、解答题

1．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下

x/元 15 20 30 ? y/元 25 20 10 ? 表：

若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

m，为了使该商品的销售金额最大，那150 （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？

2．某商厦试销一种成本为50元/件的商品，规定试销时的销售单价不低于成本，?又不高于80元/件，试销中销售量y（件）与销售单价x（元/件）?的关系可近似的看作一次函数（如图）．

（1）求y与x的关系式；（2）设商厦获得的毛利润（毛利润=销售额-成本）为s（元），?则销售单价定为多少时，该商厦获利最大？最大利润是多少？此时的销售量是多少件？

3．某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面

20m，与篮圈中心的9水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？

（2）此时，若对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大模高为3.1m，那么他能否获得成功？

9

4．某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．?考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．

设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）． （1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数； （2）求y与x之间的函数关系式；

（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？?最大利润为多少？ 5．用总长为32m的篱笆墙围成一个扇形的花园．

（1）试写出扇形花园的面积y（m2）与半径x（m）之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）用描点法作出函数的图象；

（3）当扇形花园半径为多少时，花园面积最大？最大面积是多少？此时这个扇形的圆心角是多少？（精确到0.1度）

（4）请回答：如果同样用32m的篱笆围成一个面积最大的矩形花园，这个花园的面积是多少？对比上面的结论，你有什么发现？ 6．如图，已知抛物线y=轴．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（点E在点D的上方），DE=2，过D、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于F、G，若设D点的横坐标为x，四边形DEGF的面积为y，求x与y之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并回答x为何值时，y有最大值．

12

x+mx+n（n≠0）与直线y=x交于A、B两点，?与y?轴交于点C，OA=OB，BC∥x2

7．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租车的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出_______辆车（直接填写答案）； （2）设每辆车的月租金为x（x≥3000）元，用含x的代数式填空：

10

未租出的车辆数 租出的车辆数 所有未租出的车辆 租出的车每辆 每月的维护费 的月收益 （3）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？?最大月收益是多少元？

8．某商品的价格下降x%，则卖出的商品增长mx%（常数m>0）． （1）当m=1.25时，应降价百分之几，才能使售出总金额最大？ （2）如果适当地降价，能求使售出总金额增加m的取值范围．

9．某公司生产一件产品的成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，?为了获得更好效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入广告费是x（万元）时，产量的年销售量将是原销售量

x277?x?，?如果把利润看作销售额减去成本费和广告费， 的y倍，且y=-101010 （1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获利最大，最大利润是多少万元．

（2）把（1）中的最大利润再留出3万元作广告费用，其余用于投资新项目，?现有六个项目供选择，各项目每股投资金额和预计收益如下表所示：

项 目 A B 2 C 6 D 4 E 6 F 8 每股（万元） 5 收益（万元） 0.55 0.4 0.6 0.5 0.9 1 如果每个项目只能投资一股，且要求所有投资项目的收益总额不低于1．6万元，?问有几种符合要求的投资方案．写出每种投资方案所选项目．

10．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系． （1）求y关于x的函数关系式； （2）试写出该公司销售这种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）?的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支），当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；

（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

11

11．某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：?当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（?维护费、管理费等）20元．设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入-支出费用）为y（元）．

（1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费； （2）求y与x之间的二次函数关系式；

（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？?此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；

b24ac?b2 （4）请把（2）中所求出的二次函数配方成y=a（x+）+的形式，并据此说明：当x?为

2a4a何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？

12．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米．两个动点P、Q?分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为t（秒）．

（1）当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米； （2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化，设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

12

13．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通．．过的水的流量最大．

初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，?水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，?他们对水槽的横截面进行了如下探索： （1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图a）．

若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？

方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图b）．若∠ABC=120°，?请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．

（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，?使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．

14．（1997年太原市初中数学竞赛试题）对于x的二次三项式ax2+bx+c（a>0）． （1）当c<0时，求函数y=-2│ax2+bx+c│-1的最大值；

k2 （2）若不论k为任何实数，直线y=k（x-1）-与抛物线y=ax2+bx+c?有且只有一个公共点，求a，b，4c的值． 答案:

11， 2．10 3．2。4．2，-2．提示：∵y=2-（x-2）2，0≤x≤3， 481∴当x=2时，ymax=2，当x=0时，ymin=-2．5．3．提示：因为当1≤x≤a时，y=（x-1）2+1随x增

211大而增大，∴ymax=（x-1）2+1，又ymax=a，∴（x-1）2+1=a?a2-4a+3=0?a=1，3，但a>1，所以

2244a=3．6．1760．提示：设池底的尺寸为xm与m，则水池的总造价W表示为x的函数为W=480+320（x+），

xx一、1～3．DAC。二、1．x=

4(x?2)2x>0，∵x+-4=≥0，∴当m=2（m）时，Wmin=480+32034=1760．7．y=-x2+8x，16 8．3、2

xx9．-

63963．提示：原式=-2（x1+x2）2+9x1x2=-2（a-）2-．10．设A（x1，0），B（x2，0），

488(x1?x2)?k?2k?522AB=

，又

13

C（

k?1k2?2k?5,?24），

1S△ABC=

2k2?2k?51k?2k?5?|?|=2(k2?2k?5)3．∵k2+2k+5=（k+1）2+4≥4，当k=-1时，?

842等号成立，∴S△ABC≥

18提示：设经过t小时后，A、B船分别航行到A1、B1，设AA1=x，43=1．11．25．222BB1=2x，A1B1=|10?x|?|10?2x|?5(x?6)?20．12．设原来商品单价为a元时，售出的数量

为b，则单价上涨m%时，销售的总金额W=ab（1+m%）（1-

mab）= [-（m-25）2+15625]，故当W=2515015000时，Wmax=15625．三、1．（1）y=-x+40． （2）产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．2．（1）设y=kx+b，将（60，40），（70，30）代入得： ??60k?b?40?k??1 ∴y=-x+100． 解得:??70k?b?30?b?100b=75时， 2a（2）S=（-x+100）（x-50）=-x2+150x-5000．∵a=-1，b=150，c=-5000，∴当x=-

4ac?b24?(?1)?(?5000)?150220000?22500S最大值===625．当x=75时，y=-75+100=25．所?4a4?(?1)4a以当销售价是75元时，最大利润是625元，此时销量为25件．3．（1）设解析式为y=a（x-4）2+4，当x=7，y=3时，解得a=∴能获得成功．

4．（1）每个面包的利润为（x-5）角，卖出的面包个数为（300-20x）或[160-（x-7）320]）． （2）y=（300-20x）（x-5）=-20x2+400x-1500，即y=-20x2+400x-1500． （3）y=-20x2+400x-1500=-20（x-10）2+500，∴当x=10时，y的最大值为500．∴当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润为500角．

5．（1）∵扇形半径为xcm，∴扇形的弧长为（32-2x）m，由扇形面积公式得y=（32-2x）x，即y=-x2+16x．自

变量的取值范围是0

x 2 4 6 8 10 12 14 1120，∴y=-（x-4）+4，当x=0时，y=．∴能准确投中； （2）当x=1，y=3<3．1，99912y 28 48 60 64 60 48 28 其图象如图所示．

14

（3）由图象可知，当x=8时，有最大值64． 即当扇形半径为8m时，花园面积最大，最大面积为64m．设此时扇形的圆心角约为n°，则

2

n22?28=16，解得n≈114.6°．因此，扇形的圆心角约为360114.6°．（4）这个矩形花园的面积也是54m2，与最大扇形花园面积相等（或答：?周长相等的最大矩形面积与最大扇形的面积相等）．

6．（1）∵抛物线y=

12

x+mx+n与y轴交于点C，∴C（0，n），∵BC∥x轴，∴B点的纵坐标为n． 2?12n?mn?n?n??2∵B、A在y=x上，且OA=OB，∴B（n，n），A（-n，-n）．∴? 解得：n=0（舍去），

1?n2?mn?n??n??2n=-2；m=1．∴所求解析式为：y=

12

x+x-2． 2

（2）作DH⊥EG于H，∵D、E在直线y=x上，∴∠EDH=45°，∴DH=EH．

∵DE=2，∴DH=EH=1．∵D（x，x），∴E（x+1，x+1）．

121x+x-2，G的纵坐标：（x+1）2+（x+1）-2． 2211∴DF=x-（x2+x-2）=2-x2，

2211EG=（x+1）-[（x+1）2+（x+1）-2]=2-（x+1）2．

22∴F的纵坐标：

15

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