山东省各地市2014届高三一模数学试题 - 图文

山东省各地市2014届高三一模数学试题?威海一模?理科数学

1.已知集合A?{1,2},B?{1,a,b},则“a?2”是“A?B”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 2. i?z?1?i（i为虚数单位），则z?

1?i （B）1?i （C）?1?i （D）?1?i （A）

3.若a?b，则下列不等式成立的是

（A）lna?lnb （B）0.3a?0.3b （C）a?b （D）3a?3b 4.根据给出的算法框图，计算f(?1)?f(2)? （A）0 （B）1 （C）2 （D）4

5.某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的 频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为

分组 人数 频率 输出1212开 始 输入x 是 x?0 否 f(x)?4x f(x)?2x ?60,70? 5 0.1 ?70,80? 15 0.3 ?80,90? 20 0.4 ?90,100? 10 0.2 f(x) 结束 （A）80 （B）81 （C）82 （D）83

6.已知l,m是两条不同的直线，?是一个平面，且l∥?，列命题正确的是

（A）若l∥m，则m∥? （B）若m∥?，则l∥m （C）若l?m，则m?? （D）若m??，则l?m 7.已知函数f(x)?sin2x向左平移（A）图象关于点(?（C）在区间[?第4题图

则下

?6个单位后，得到函数y?g(x)，下列关于y?g(x)的说法正确的是

?3,0)中心对称 （B）图象关于x???6轴对称

5????,?]单调递增 （D）在[?,]单调递减 126638.任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为 （A）0.125 （B）0.25 （C）0.5 （D）0.875 9.二项式(x?1n)的展开式中第4项为常数项，则常数项为 3x（A）10 （B）?10 （C）20 （D）?20

10.函数f(x)?(x?2)(ax?b)为偶函数，且在(0,??)单调递增，则f(2?x)?0的解集为 （A）{x|x?2或x??2} （B）{x|?2?x?2} （C）{x|x?0或x?4} （D）{x|0?x?4}

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x211.双曲线y??1的离心率e?2，则以双曲线的两条渐近线与抛物线y2?mx的交点为顶点的三角形

m2的面积为

（A）3 （B）93 （C）273 （D）363

12.已知a?1，设函数f(x)?ax?x?4的零点为m，g(x)?logax?x?4的零点为n，则mn的最大值为

（A）8 （B）4 （C）2 （D）1 13.若函数y?cos2x?3sin2x?a在?0,???上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为__________. ??2?x2y214.已知圆O过椭圆??1的两焦点且关于直线x?y?1?0对称，则圆O的方程为__________________.

62?x?2y?2?15.设x,y满足约束条件?ex?y?0，则M(x,y)所在平面区域的面积为___________.

?0?x?2?16.函数y?f(x)的定义域为(??,?1)四个命题：

①函数y?f(x)一定是偶函数； ②函数y?f(x)可能是奇函数；

③函数y?f(x)在(1,??)单调递增；④若y?f(x)是偶函数，其值域为(0,??) 其中正确的序号为_______________.（把所有正确的序号都填上） 17. 已知向量a?(cos?,sin?)，b?(1+cos?,?sin?). （Ⅰ）若??(1,??)，其图象上任一点P(x,y)满足x2?y2?1，则给出以下

?3，??(0,?)，且a?b，求?；

（Ⅱ）若?=?，求a?b的取值范围.

18. 一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）. （Ⅰ）求取出的小球中有相同编号的概率；

（Ⅱ）记取出的小球的最大编号为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

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19. 如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，

AD?AF?1，?BAF?60，O，P分别为AB，CB的中

点，M为底面?OBF的重心. （Ⅰ）求证：PM∥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AC与平面CBF所成角的正弦值.

D

C

P B

M E O

F A

20. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足8Sn?an2?4an?3,且a2是a1和a7的等比中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ) 符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记bn?[log2(

an?3)]，求b1?b2?b3?4b2n.

x2y221. 过椭圆2?2?1(a?b?0)的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的

ab交点为C，已知AB?6BC. 13（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设动直线y?kx?m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x?4相交于点Q，若x轴上存在

一定点M(1,0)，使得PM?QM，求椭圆的方程.

22. 设函数f(x)?ae(x?1)（其中e?2.71828....），gx()x?bx??2切线.

(Ⅰ)求函数f(x)，g(x)的解析式；

(Ⅱ)求函数f(x)在[t,t?1](t??3)上的最小值；

（Ⅲ）若对?x??2,kf(x)?g(x)恒成立，求实数k的取值范围.

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x2，已知它们在x?0处有相同的

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高三理科数学参考答案

A D D A C, D C D B C, C B

13. (?2，-1] 14. x2?(y?1)2?5 15. e?2 16. ②

17. 解：（Ⅰ）∵a?b∴a?b?cos??cos?cos??sin?sin??0 ----------------1分

2333?1整理得cos(??)?? ----------------------3分

32?2??4??2k?过????2k?,k?z ----------------------4分 ∴???3333∵??(0,?)∴??（Ⅱ）a?b?cos??cos2∵???3∴cos??cos?cos??sin?sin??0

?3 --------------6分

??sin2??cos??2cos2??1 ----------------------8分

29 ----------------------9分 819∴当t?1时，a?bmax?2，当t??时，a?bmin?? ----------------------11分

489∴a?b的取值范围为[?,2]. ----------------------12分

818．解(Ⅰ)：设取出的小球中有相同编号的事件为A，

令t?cos?,t???1,1? a?b?2t?t?1?2(t?)?214编号相同可分成一个相同和两个相同 ----------------------2分

112(C2C3?C32)?119P(A)?? ----------------------4分 4C735 (Ⅱ) 随机变量X的可能取值为：3，4，6 --------------------6分

P(X?3)?11? ， ----------------------7分 4C735132C2C4?C42， ----------------------8分 P(X?4)??4C753C64P(X?6)?4? ----------------------9分

C77所以随机变量X的分布列为：

X

3 4 6 4 / 9

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P 1 352 54 7----------------10分 124179?4??6?? . ----------------------12分 35573519.解（Ⅰ）连结OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，

∴PH∥CF，又∵AF?平面AFC，∴PH∥平面AFC -------------------2分 连结PO，则PO∥AC，AC?平面AFC，PO∥平面AFC -----------------4分 POPO1?P∴平面POO1∥平面AFC， ----------------5分

所以随机变量X的数学期望EX?3?PM?平面AFC 所以PM//平面AFC ----------------------6分 （Ⅱ）矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB?AB

所以CB?平面ABEF，又AF?平面BDC1，所以CB?AF ----------------7分 又AB?2，AF?1，?BAF?60，

222由余弦定理知BF?3，AF?BF?AB得AF?BF ----------------8分

AFCB?B∴AF⊥平面CFB ---------------------9分

所以?ACF为直线AC与平面CBF所成的角， ---------------------10分 在直角三角形ACF中sin?ACF?AF15 ----------------------12分 ??AC55法二：以O为原点建立如图所示空间直角坐标系，

13A(1,0,0),B(?1,0,0),C(?1,0,1),F(,,0), -----------------7分

22z C 设平面CBF的法向量为n?(x,y,z)，

D 33FC?(?,?,1),CB??0,0,?1?， -------------------8分

22P B O A M F E ???z?0,?n?CB?0,由? 所以?

3x?y?0,????n?FC?0,y

x ?x?1?令x?1，则?y??3 ，所以n?(1,?3,0)，-----------------10分

?z?0?AC???2,0,1?

∴ cos?n,AC???25 ---------------------11分 ??55?4 5 / 9

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∴直线AC与平面CBF所成角的正弦值为20. 解：(Ⅰ) 由8Sn?an2?4an?3①

知8Sn?1?an?12?4an?1?3(n?2,n?N)② ----------------------1分

由①-②得8an?(an?an?1)(an?an?1)?4an?4an?1

整理得(an?an?1?4)(an?an?1)?0(n?2,n?N) ----------------------2分 ∵{an}为正项数列∴an?an?1?0,，∴an?an?1?4(n?2,n?N) ----------------------3分 所以{an}为公差为4的等差数列，由8a1?a12?4a1?3,得a1?3或a1?1 ----------4分 当a1?3时，a2?7,a7?27，不满足a2是a1和a7的等比中项. 当a1?1时，a2?5,a7?25，满足a2是a1和a7的等比中项.

所以an?1?(n?1)4?4n?3. ----------------------6分 (Ⅱ) 由an?4n?3得bn?[log2(5 -------------------12分 5an?3)]?[log2n]， ----------------------7分 4mm?1由符号[x]表示不超过实数x的最大整数知，当2?n?2所以令S?b1?b2?b3?时，[log2n]?m，----------------------8分

b2n?[log21]?[log22]?[log23]?[log22n]

?4??n?1??n

?0?1?1?2??3?∴S?1?21?2?22?3?23?4?24?(n?1)?2n?1?n① ----------------------9分

2S?1?22?2?23?3?24?4?25?(n?1)?2n?2n② ----------------------10分

①-②得

?S?2?22?23?24?...?2n?1?(n?1)2n?n 2(1?2n?1)nn??(n?1)2?n?(2?n)2?n?21?2?S?(n?2)2n?n?2

即b1?b2?b3?b2n?(n?2)2n?n?2. ----------------------12分

21. 解:（Ⅰ）∵A(?a,0),设直线方程为y?2(x?a),B(x1,y1)

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令x?0,则y?2a,∴C(0,2a), ----------------------2分 ∴AB?(x1?a,y1),BC?(?x1,2a?y1) ----------------------3分

6BC 13661312(2a?y1),整理得x1??a,y1?a --------------------4分 ∴x1?a=(?x1),y1?13131919∵AB?132122a2b23∵B点在椭圆上,∴()?()?2?1,∴2?, ----------------------5分

1919ba431a2?c2321?e?e??,∴即,∴ ----------------------6分 242a4b2322（Ⅱ）∵2?,可设b?3t.a?4t,

a4∴椭圆的方程为3x2?4y2?12t?0 ----------------------7分

?3x2?4y2?12t?0由?得(3?4k2)x2?8kmx?4m2?12t?0 ----------------------8分 ?y?kx?m∵动直线y?kx?m与椭圆有且只有一个公共点P ∴??0,即64k2m2?4(3?4m2)(4m2?12t)?0

整理得m?3t?4kt ----------------------9分 设P(x1,y1)则有x1??∴P(?223m8km4kmy?kx?m???, 113?4k22(3?4k2)3?4k24km3m,) ----------------------10分

3?4k23?4k2又M(1,0),Q(4,4k?m)

若x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM?QM, ∴(1?4km3m,?)?(?3,?(4k?m))?0恒成立

3?4k23?4k222整理得3?4k?m, ----------------------12分

22∴3?4k?3t?4kt恒成立,故t?1

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x2y2所求椭圆方程为??1 ----------------------13分

4322. 解：(Ⅰ) f?(x)?aex(x?2)， g?(x)?2x?b ----------------------1分

由题意，两函数在x?0处有相同的切线.

?f?(0)?2a,g?(0)?b,?2a?b,f(0)?a?g(0)?2,?a?2,b?4，

?f(x)?2ex(x?1),g(x)?x2?4x?2. ----------------------3分

(Ⅱ) f?(x)?2ex(x?2)，由f?(x)?0得x??2，由f?(x)?0得x??2，

?f(x)在(?2,??)单调递增，在(??,?2)单调递减. ----------------------4分

t??3,?t?1??2

① 当?3?t??2时，f(x)在[t,?2]单调递减，[?2,t?1]单调递增，

∴f(x)min?f(?2)??2e?2. ----------------------5分

② 当t??2时，f(x)在[t,t?1]单调递增，?f(x)min?f(t)?2et(t?1)；

?2???2e(?3?t??2)?f(x)??t ----------------------6分

??2e(t?1)(t??2)（Ⅲ）令F(x)?kf(x)?g(x)?2kex(x?1)?x2?4x?2，

由题意当x??2,F(x)min?0 ----------------------7分 ∵?x??2,kf(x)?g(x)恒成立，?F(0)?2k?2?0,?k?1 ----------------------8分

F?(x)?2kex(x?1)?2kex?2x?4?2(x?2)(kex?1)， ----------------------9分

111,?x?ln；由F?(x)?0得x?ln kkk11∴F(x)在(??,ln]单调递减，在[ln,??)单调递增 ----------------------10分

kk12①当ln??2，即k?e时，F(x)在[?2,??)单调递增，

k2F(x)min?F(?2)??2ke?2?2?2(e2?k)?0，不满足F(x)min?0. ----------------11分

e1222② 当ln??2，即k?e时，由①知，F(x)min?F(?2)?2(e?k)?0，满足

kex??2，由F?(x)?0得ex? 8 / 9

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F(x)min?0. ---------------12分

③当ln111??2，即1?k?e2时，F(x)在[?2,ln]单调递减，在[ln,??)单调递增 kkk1F(x)min?F(ln)?lnk(2?lnk)?0，满足F(x)min?0.

k综上所述，满足题意的k的取值范围为[1,e2]. ----------------------13分

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