生活中的三角函数问题

生活中的三角函数问题

一、教学背景

在现实生活中，特别是普通老百姓把数学看似一个非常遥远的独立的神秘王国，人们误

解数学就是搞难题，没有什么实际用途。这与我们在数学教学中不讲数学的意义，不讲数学与生活的联系，不讲数学与其他学科的关系及其在实际社会生活中的应用价值，而是讲解题，把数学教学变成了一种纯粹的演题训练，使学生看不见数学的本来面目和它的真正 意义，失去了对大自然的“好奇心”有着很大的关系。本课题是在学生学完三角函数这部分内容以后，通过书47页的第4题的启发，把几何图形变式后联系三角函数在生活中的实例，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

二、教学目标

1、知识目标：巩固三角函数知识，建立函数模型；

2、能力目标：掌握数学建模的方法和应用；培养学生的化归的思想和抽象概括及计算能力；

3、情感目标：渗透数学建模的思想，培养数学的应用意识；体会具体的实际问题如何转化为抽象的数学问题，让学生意识到数学来源于生活，数学有用。

三、教学方法

1、启发式讲授法； 2、探究发现法；

以主体——主导相结合，情景——探究模式。

四、教学分析

1、重点：如何把问题转化为数学问题，并通过变式对问题加深理解； 2、难点：如何把问题转化为数学问题（如何建立数学模型）；

五、教学过程

1、设置情景

欣赏图片说明随着人类的进步和科技的发展，数学的应用已经渗透到社会的各个方面。人们的日常生活和工作都离不开数学，“数学已无处不在”。让学生举一些生活中有关数学的例子，那么对于我们这学期所学的三角函数有哪些应用呢？这就是我们这节课所要学习的内容——三角函数的应用问题。（引出课题） 2、探索研究

前一段时间，针对三角函数在生活中的 老师用几何画板动画演示在纵多矩 应用，我们学习了这样一个例题： 形中内接矩形的面积慢慢变大，学 把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩 生简述两种方法解题过程，比较两 形的木料，问怎样锯才能使横截面积最大？ 种方法得出三角函数方法解题的优

越性。引出变式题让学生用三角函

数方法解题。

生1：设边为自变量的方法

生2：设角为自变量的方法

师：学生讲述完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引出变式例题：

在一住宅小区里，有一块空地，这块空 两种情况分小组探究解决，小组 地可能有这样两种情况： 探究时，是把两种图形放在几何 （1）是半径为10米的半圆；如图（1） 画板中，让学生把静的数学图形 （2）是半径为10米，圆心角为60的扇形； 通过电脑转化成动态，培养学生 如图（2）

现在要美化小区，准备在这块空地里分别种 的动手能力和观察能力，通过图 植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上且 形观察结果，再用数学知识来求 内接于这块空地，应如何设计，使得此草皮 解，然后找小组代表发布探究成 面积最大？并求出面积的最大值。 果，小组间相互评价成果，培养 学生的数学的应用意识和小组合

作意识。

(各个小组的代表用实物投影展示小组成果，并解释设计方案：)

E 生3：(略)

C D

生4：(略) C D

O θ 生5：(略) θ E F O A B F B A 生6：(略) （图1） （图2）

?学生展示完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引导学生分析此题与引例中的题的联系。归纳出求解应用题的步骤过三关,走四步： （先由学生总结，老师再归纳总结。）

三关：

（一）、事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读理解能力；

（二）、文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数量关系；

（三）、数理关：在构建数学模型的过程中，要根据已知的知识结构，构建相应的函数模型，完成由实际问题向数学问题的转化。

四步：

（一）、读题理解题意；

（二）、挖掘数量关系，建立数学模型； （三）、求解数学问题； （四）、回归实际，进行答题。

3、随堂练习：（试试身手，看谁做得快又准确）

如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建在一个边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值。 解：设?PAB??(0????90?)

延长RP交AB于M，则AM?90cos?，MP?90sin?

?PQ?AB?AM?MB?100?90cos?

PR?MR?MP?100?90sin? 故矩形PQCR的面积为

D S

R

C Q B

P A

S?PQ?PR?(100?90cos?)(100?90sin?) ?10000?9000(sin??cos?)?8100sin??cos?

θ M T t2?1令t?sin??cos? (1?t?2) 则 sin??cos??

2t2?1810010?S?10000?9000t?8100??(t?)2?950

229故 当t?当t?2时 Smax?1405?090002?132(m42)

10时 Smin?95(0m2) 9答：长方形停车场PQCR面积的最大值是1324平方米，最小值是950平方米。

4、课时小结

通过我们的研究，我们领会了数学建模的思想，同时也深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，在以后的学习过程中，只要我们勇于探索，就可能会成为真正的发明家、创造者，我们现在的研究让它作为一个奠基，通过我们的研究开拓思路，为将来成为一名数学家、发明家创造良好的条件。 5、课后作业

其实在我们生活中，还有许多关于三角函数的问题，请同学们课后研究一下我们自己周围可以研究的事物，例如以下两个作业题：

㈠、书面作业：

在变式例题中的扇形空地中，把条件“使得其 一边在半径上”去掉而只要求矩形在空地内且内接空 地，看结果又是怎样的是不是比我们有这个条件限制 时的面积更大？（如右图所示）

E C D B

O A F ㈡、课后实习作业

学生自己先收集自己身边有关三角函数的例子，在小组内讨论研究，然后在班上发布小组成果。或研究下面给定的两个例子。

（1）：下表是某城市1971-2000年月平均气温（华氏℉） 月份 平均气温 21.8 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据数据，运用函数的图象进行直观分析处理。

以月份为x轴，以平均气温为y轴，作出散点图，把这些离散点用光滑曲线连结起来，然后观察用何种曲线，拟合这些数据，求出函数解析式。

（2）：受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是时间t（0?t?24，单位：时）的函数，记作y=f(t)，下面是该港口在某季节每天水深的数据。 t（时） 0 3 6 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据数据求出y=f(t)的拟合函数，求出函数解析式，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时间） 六、教学评价

本节是一节习题课，其目的一方面是要巩固所学过的函数知识，更重要的是，让学生通过本节的学习活动认识到学习数学的意义，认识到数学与生活的联系.本节在教学中注重这一目的的实现，首先从简单有趣的实例引入，激发学生的兴趣，通过动手对几个变式实例的研究，抽象出三角函数模型，并通过背景更丰富的实例解释这一模型的内涵，让学生深切地感受到数学抽象的魅力.此外还将生活中的实例揉在教学过程中，将丰富的现实世界，有机的穿插在理性的数学教学活动中，让学生轻轻松松学数学. 七、教学多媒体

（powerpoint课件、几何画板课件、实物投影）

八、板书设计 课题： 引 例： 题型变式： 归纳三关四步： 随堂练习： 课时小结： 课后作业： 九、教学流程图

开始 图片欣赏 教师导入课题 引例 题型变式 变式1 变式2 分小组探索，讨论 展示小组成果 教师评价总结 随堂练习 教师评价总结 结束

设?CAB??，则AB?2Rcos?,CB?2Rsin?

?4D O A C S矩形ABCD?AB?BC?4R2sin?cos??2R2sin2?当且仅当sin2??1时，即??时，Smax?2R2

θ B 所以在圆木的横截面上截取内接正方形时，才能使横截面积最大。

师：很好，在这里提供这样一个生活中的问题，看看它们与三角函数的联系。（让学生合作探究解决）

在一住宅小区里，有一块空地，这块空地可能有这样两种情况：

（1）是半径为10米的半圆；

（2）是半径为10米，圆心角为60的扇形；

?现在要美化小区，准备在这块空地里分别种植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上，应如何设计，使得此草皮面积最大？并求出面积的最大值。

（两种情况分小组探究解决，小组探究时，是把两种图形放在几何画板中，让学生把静的数学图形通过电脑转化成动态，培养学生的动手能力，通过图形观察结果，再用数学知识来求解，然后找小组代表发布探究成果，小组间相互评价成果，培养学生的数学的应用意识和小组合作意识。）

小组1：我们选的是第一种情况，如图所示：连结OC， 设?BOC??，则BC?10sin?，OB?10cos?，

?20co?s AB?2OB

S矩形?AB?BC?200sin?cos??100sin2?

? sin2??1 ?S矩形?100

即 2??90?，??45?

这时BO?AO?10cos45?52,BC?52 ?D E A O θ C B F

此时，点A、D分别位于点O的左右方52处时S取得最大值100。 小组2：我们选的是第二种情况，连结OC，

设?BOC??，则BC?10sin?，OB?10cos?，

OA?BCcot60??103sin? 3E D C S矩形?AB?BC?(OB?OA)?BC

103 ?(10cos??sin?)?10sin?3O θ A B F 10032sin?3

503 ?50sin2??(1?cos2?)3?100sin?cos???1003?503sin(2??)? 363?6)?1时，即??当且仅当sin(2???6时，Smax?5032m 3所以使矩形的长约为8.66米，宽为5米且使其内接扇形时为最大值。

学生发言完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引导学生分析此题与引例中的题的联系。：

再归纳出求解应用题的步骤过三关,走四步：

三关：

1、 事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读理解能力；

2、 文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数量关系；

3、 数理关：在构建数学模型的过程中，要根据已知的知识结构，构建相应的函数模型，完成由实际问题向数学问题的转化。

四步：

1 读题理解题意；

2 挖掘数量关系，建立数学模型； 3 求解数学问题； 4 回归实际，进行答题。

3、试试身手，看谁做得快又准确

(1) 如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半径为90米的

扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建在一个边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值。

D S

延长RP交AB于M，则AM?90cos?，MP?90sin?

解：设?PAB??(0???90)

??R

C Q B

?PQ?AB?AM?MB?100?90cos?

PR?MR?MP?100?90sin?

故矩形PQCR的面积为

P A M T S?PQ?PR?(100?90cos?)(100?90sin?)

?10000?9000(sin??cos?)?8100sin??cos?t2?1令t?sin??cos? (1?t?2)则sin??cos??

2t2?1810010?S?10000?9000t?8100??(t?)2?950

229故 当t?当t?

2时Smax?14050?90002?1324(m2)

10时Smin?950(m2) 9(2 ) 点P在直径AB=1的半圆上移动，过P点作圆的切线PT，使PT=1，∠PAB=α，当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？最大值是多少？

4、课时小结

老师小结：通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，在以后的学习过程中，只要我们勇于探索，有些同学可能会成为真正的发明家、创造者，我们现在的研究让它作为一个奠基，通过我们的研究开拓思路，为将来成为一名数学家、发明家创造良好的条件。 5、课后作业

其实在我们生活中，还有许多关于三角函数的问题，如果同学们有兴趣的话，课后我们还可以关注一下可以研究的事物，例如以下两个问题：

（1）：下表是某城市1971-2000年月平均气温（华氏℉） 月份 平均气温 21.8 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据数据，运用函数的图象进行直观分析处理。

以月份为x轴，以平均气温为y轴，作出散点图，把这些离散点用光滑曲线连结起来，然后观察用何种曲线，拟合这些数据，求出函数解析式。

（2）：受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是时间t（0?t?24，单位：时）的函数，记作y=f(t)，下面是该港口在某季节每天水深的数据。 t（时） 0 3 6 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据数据求出y=f(t)的拟合函数，求出函数解析式，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时间） 五、教学评价

本节是一节习题课，其目的一方面是要巩固所学过的函数知识，更重要的是，让学生通过本节的学习活动认识到学习数学的意义，认识到数学与生活的联系.本节在教学中注重这一目的的实现，首先从简单有趣的实例引入，激发学生的兴趣，通过动手对几个变式实例的研究，抽象出三角函数模型，并通过背景更丰富的实例解释这一模型的内涵，让学生深切地感受到数学抽象的魅力.此外还将生活中的实例揉在教学过程中，将丰富的现实世界，有机的穿插在理性的数学教学活动中，让学生轻轻松松学数学.

六、教学流程图

开始 图片欣赏 教师导入课题 引例 变式1 变式2 分小组探索，讨论 展示小组成果 教师评价总结 随堂练习 教师评价总结 结束

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