全国重点大学(清华北大复旦交大同济等)自主招生保送生试题整理上

大学自主招生数学试题

第 1 页 共 68 页 交通大学2000年保送生数学试题

一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填

在括号内)

1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( )

A ．星期四

B ．星期三

C ．星期二

D ．星期一

2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机

的，恰好组成“MATHEMA TICIAN”一词的概率是 ( )

A ．4813!

B ．21613!

C ．172813!

D ．813! 3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．18m ≤ B ．m >-3 C ．m >-1 D ．138

m -≤≤ 4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是

( )

A ．p m

B ．p 2m

C ．q m

D ．q 2m

5．设f ?(x 0)＝2，则000()()lim h f x h f x h h

→+-- ( ) A ．-2 B ．2

C ．-4

D ．4 二、填空题（本题共24分，每小题3分）

1．设f (x )

1，则

10(2)f x dx =?__________． 2．设(0,)2

x π

∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x ++的最小值是__________． 3．方程316281536x x x ?+?=?的解x ＝__________．

4．向量2a i j =+ 在向量34b i j =+

上的投影()b

a = __________． 5

．函数2y x =+的单调增加区间是__________．

6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．

7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．

8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等

可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．

三、证明与计算（本题61分）

1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=

，1212n n a a a += ． 试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．

2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．

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第 2 页 共 68 页

3．(8分)求极限1

12lim (0)p p p

p n n p n +→∞+++> ．

4．(10分)设2,0(),

0x bx c x f x lx m x ?++>=?+≤?在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)

5．(8分)

证明不等式：3412≤≤，[0,

]2x π∈．

6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是

12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．

7．(11分)如图所示，设曲线1y x

=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1y x

=上．试求A n 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．

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第 3 页 共 68 页 复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）

一、填空题（每小题10分，共60分）

1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，

即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________．

2．222sin sin ()sin ()33ππ

ααα+++-＝______________． 3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞

++-+++＝_________________． 4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底

面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．

5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．

6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车

给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米．

二、解答题（每小题15分，共90分）

1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．

2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光

学性质吗？请叙述但不必证明．

3．正六棱锥的高等于h

，相邻侧面的两面角等于12arcsin

2， 求该棱锥的体积．

(1cos 124π

=)

4．设z 1,z 2,z 3,z 4是复平面上单位圆上的四点，若z 1+z 2+z 3+z 4=0．

求证：这四个点组成一个矩形．

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第 4 页 共 68 页

5

．设(1n n x y +=+x n ,y n 为整数，求n →∞时，n n

x y 的极限．

6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请

证明你的结论．

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第 5 页 共 68 页

2000年交大联读班试题

1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。

2. 已知,,a b c 是ABC 的三边，1a ≠，b c <，且满足log log 2log log b c c b b c c b a a a a +-+-+=，则

ABC 是_______________的三角形。

3. 已知()8

87871031x a x a x a x a +=++++ ，则86420a a a a a ++++=_______________。 4. 已知()f x 满足：()()()

111f x f x f x -+=

+，则()f x 的最小正周期是_______________。

5. 已知()f x 是偶函数， ()2f x -是奇函数，且()01998f =，则()2000f =_______________。

6. ,,a b c 是ABC 的三边，且()()()::4:5:6b c a c a b +++=，则

sin :sin :sin A B C =_______________。

7. n 是十进制的数，()f n 是n 的各个数字之和，则使()20f n =成立的最小的n 是_______________。

8.

7sin sin 12127cos cos 1212

ππππ+=+_______________。 9. 函数(

)f x =()x R ∈的反函数是_______________。

10. 已知数列n n n

a k

=

（k 是不等于1的常数），则123n a a a a ++++= _______________。 11. 从自然数1至100中任取2个相乘，其结果是3的倍数的情况有种_______________。（取

出的数不分先后）

12. 己知()f x 在0x 处可导，则()()

22003lim

h f x h f x h h

→∞

+--=_______________。

13. 已知,x y 为整数，n 为非负整数，x y n +≤，则整点(),x y 的个数为_______________。

14. 抛物线()20y x x =>上，点A 坐标为1,03??

- ???

，抛物线在P 点的切线与y 轴及直线PA 夹角

相等，求点P 的坐标。

15. 在{}n a 中，14a =

，n a =11

333

n n a a --<-②求lim n n a →∞。

16. 已知22u y x =-，2v xy =，

①若点(),x y 在单位圆上以()0,1为起点按顺时针方向转一圈，求点(),u v 的轨迹；

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第 6 页 共 68 页 ②若点(),x y 在直线y ax b =+上运动，而点(),u v 在过点()1,1的直线上运动，求a ，b 的值。

17. 若,x y

满足222120x xy y -++=，求下列函数的最小值：①x y +；②xy ；③

33x y +。

18. 若方程3270x x m -+=有3个不同实根，求实数m 的取值范围。

19. 己知函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++，又()'01f =，求函数()f x 的解析

式。

20. 口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第

n 次两个黄球都被摸出，

即第1n +次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是n P ，求23,,n P P P 。

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第 7 页 共 68 页 2001复旦基地班数学试题

1. 设函数x y x a

=+的反函数是它自身，则常数a =_______________。 2. 不等式()2222log log x x -≥????

的解集是_______________。 3. 直线2780x y -+=与2760x y --=间的距离是_______________。

4. 如果()3n x +的展开式的系数和是()1m

y +的展开式的系数和的512倍，那么自然数n 与m

的关系为_______________。

5. 椭圆342cos ρθ

=-的焦距是_______________。 6. 己知4350x y --=，那么()()2213x y -+-的最小值为_______________。

7. 与正实轴夹角为()arcsin sin 3的直线的斜率记为k ，则arctan k =_______________。（结果

用数值表示）

8. 从n 个人中选出m 名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少1名且名额不

限，则共有_______________种选法()m n <。

9. 正方体1111ABCD A B C D -中，1BC 与截面11BB D D 所成的角为_______________。

10. 1sec50cot10+= _______________。（结果用数值表示） 11. 函数()3cos cos 2g x x x πππ??=?- ??

?的最小正周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2 D ．1

12. 设函数(

)f x =()1f x -，则对于[]0,1内的所有x 值，一定成立的是（ ）

A ．()()1f x f x -≥

B ．()()1f x f x -≤

C ．()()1f x f x -=

D ．()()1f x f x -≠

13. 138除以9所得的余数是（ ）

A ．6

B ．1-

C ．8

D ．1

14. 抛物线()241y x =--的准线方程为（ ）

A ．1x =

B ．2x =

C ．3x =

D ．4x =

15. 由参数方程11x t t y t t ?=+????=-??

所表示的曲线是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆

大学自主招生数学试题

第 8 页 共 68 页 16. 己知抛物线252y x x =-+与2y ax bx c =++关于点()3,2对称，则a b c ++的值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

17. 作坐标平移，使原坐标下的点(),0a ，在新坐标下为()0,b ，则()y f x =在新坐标下的方程

为（ ）

A ．

()''y f x a b =++ B ．()''y f x a b =+- C ．()''y f x a b =++ D ．()''y f x a b =++ 18. 设有四个命题：

①两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件；

②一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件；

③空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。 ④,a b 是平面α外的两条直线，且//a α，则//a b 是//b α的必要而不充分条件，其中真命题的个数是（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

19. 集合,A B 各有四个元素，A B 有一个元素，C A B ü，集合C 含有三个元素，且其中

至少有一个A 的元素，符合上述条件的集合C 的个数是（ ）

A ．55

B ．52

C ．34

D ．35

20. 全面积为定值2a π（其中0a >）的圆锥中，体积的最大值为（ ）

A ．323a π B

3a C ．316

a π D

3a 21. 已知：sin sin a αβ+=，cos cos 1a αβ+=+，求()sin αβ+及()cos αβ+。

22. 设复数12,z z 满足：112z z z =+

，()

121z z a =+，其中i 是虚数单位，a 是非零实数，求

21z z 。 23. 已知椭圆()

2212x a y -+=与抛物线212

y x =在第一象限内有两个公共点,A B ，线段AB 的中点M 在抛物线()2114

y x =+上，求a 。 24. 设数列{}n b 满足11b =，0n b >，()2,3,n = 其前n 项乘积()

1n n n n T a b -=()1,2,n = ，①证

明{}n b 是等比数列。②求{}n b 中所有不同两项的乘积之和。 25. 己知棱柱111ABC A B C -的底面是等腰三角形，AB AC =，上底面的项点1A 在下底面的射

影是ABC 的外接圆圆心，设BC a =，13A AB π

∠=

，棱柱的侧面积为2。

大学自主招生数学试题

第 9 页 共 68 页 ①证明:侧面11A ABB 和11A ACC 都是菱形，11B BCC 是矩形。 ②求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。 ③求棱柱的体积。

26. 在直角坐标系中，O 是原点，,A B 是第一象限内的点，并且A 在直线()tan y x θ=上（其中,42ππθ??∈ ???）

，OA =，B 是双曲线221x y -=上使OAB 的面积最小的点，求：

当θ取,42ππ?? ???

中什么值时，OAB 的面积最大，最大值是多少?

大学自主招生数学试题

第 10 页 共 68 页 2001年交大联读班数学试卷

1. 数12825N =?的位数是_______________。

2. ()()()234342423log log log log log log log log log 0x y z ===????????????求

x y z ++=_______________。

3. 8log 3p =，3log 5q =，则用,p q 表示lg5=_______________。

4. 2sin sin cos αθθ=+，2sin sin cos βθθ=，求cos 2cos 2αβ

=_______________。 5. 0,2x π??∈????

，求()cos sin f x x x x =+的最小值为_______________。 6. 有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边

上的球恰比每边上正方形多2个小球，球数为_______________。

7. 数列1,3,2, 中，21n n n a a a ++=-，求100

1i i a ==∑_______________。

8. ()4212x x +-展开式中7x 系数为_______________。

9. 一人排版，有三角形的一个角，大小为60 ，角的两边一边长x ，一边长9cm ，排版时把

长x 的那边错排成1x +长，但发现角和对边长度没变，则x =_______________。

10. 掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列()1d =的概率为_______________。

11. ()()112a b ++=，则arctan arctan a b +=（ ）

12. A ．2π B ．3π C ．4π D ．6

π 13. 某人向正东走xkm ，再左转150 朝新方向走了3km ，

，则x =（ ）

A

． B

． C ．3 D ．不确定

14. 11132162121212??????+++= ??? ??

????? （ ） A ．11321122-??- ??? B ．1

13212-??- ??? C ．13212- D ．1321122??- ??? 15. 0t ≥，()(){}

222,S x y x t y t =-+≤，则（ ） A ．t ?，()0,0S ? B ．S 的面积[)0,π∈

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第 11 页 共 68 页 C ．对5t ?≥，S ?第一象限 D ．t ?，S 的圆心在y x =上

16. 一个圆盘被2n 条等间隔半径与一条割线所分割，则不交叠区域最多有（ ）个

A ．22n +

B ．31n -

C ．3n

D ．31n +

17. ()400cos 4590k k i k =+=∑

（ ）

A

．2 B

C

)2120i - D

)2120i + 18. 对,x y R +∈，定义*xy x y x y

=+，则()*满足（ ） A ．交换律 B ．结合律 C ．都不 D ．都可

19. ()6090125mod N ≡≡，则81≡（ ）()mod N

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

20. ()222f x x x =++，在[],1x t t ∈+上最小值为()g t ，求()g t 。

21. x R +∈，求()()6

66333121x x x x f x x x x x --??+-+- ???=??+++ ???的最小值。 22. ()1211

x f x x -=+，()()11n n f x f f x +=????，求()28f x 23. 2226cos 9sin 8sin 9y x x t t t =--++（,t R t ∈为参数）

①求顶点轨迹，②求在12y =上截得最大弦长的抛物线及其长。 24. n a 为递增数列，11a =，24a =，

在y =

(n n P a ，以1,n n OP OP +与曲线1

n n P P +围成面积为n S ，若{}n S 为45q =的等比数列，求1i i S ∞=∑和lim n n a →∞。

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第 12 页 共 68 页 2001年上海交通大学联读班数学试题

一、填空题（本题共40分，每小题4分）

1．数12825N =?的位数是________________．

2．若log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝log 4[log 2(log 3z )]＝0，则x +y +z ＝_________．

3．若log 23＝p ，log 35＝q ，则用p 和q 表示log 105为________________．

4．设sin α和sin β分别是sin θ与cos θ的算术平均和几何平均，则cos2α:cos2β＝____________．

5．设[0,]2x π

∈，则函数f (x )＝cos x +x sin x 的最小值为________________．

6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正

方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为____________．

7．若在数列1，3，2，…中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前

100项之和是_______________．

8．在(1+2x -x 2)4的二项展开式中x 7的系数是_______________．

9．某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a

厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a 厘米在排版时比原稿上多1．虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a ＝________________．

10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率

为_________________．

二、选择题（本题共32分，每小题4分）

11．a >0，b >0，若(a +1)(b +1)＝2，则arctan a +arctan b ＝ ( )

A ．2π

B ．3π

C ．4π

D ．6

π 12．一个人向正东方向走x 公里，他向左转150°后朝新方向走了3

x

是

( ) A

B

．C ．3 D ．不能确定 13．1

111

1

3216842(12)(12)(12)(12)(12)-----+++++=

( ) A ．11321(12)2--- B ．1

132(12)--- C ．1

3212-- D ．1321(12)2

-- 14．设[t ]表示≤ t 的最大整数，其中t ≥0且S ＝{(x ,y )|(x -T )2+y 2≤T 2,T ＝t -[t ]}，则 ( )

A ．对于任何t ，点(0,0)不属于S

B ．S 的面积介于0和π之间

C ．对于所有的t ≥5，S 被包含在第一象限

D ．对于任何t ，S 的圆心在直线y ＝x 上

15．若一个圆盘被2n (n >0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的

最大个数是 ( )

A ．2n +2

B ．3n -1

C ．3n

D ．3n +1

16．若i 2＝-1，则cos45°+i cos135°+…+i n cos(45+90n )°+…+i 40cos3645°＝ ( )

A

B

C

20)i - D

20)i +

大学自主招生数学试题

第 13 页 共 68 页 17．若对于正实数x 和y 定义xy x y x y *=+，则 ( )

A ．”*”是可以交换的，但不可以结合

B ．”*”是可以结合的，但不可以交换

C ．”*”既不可以交换，也不可以结合

D ．”*”是可以交换和结合的

18．两个或两个以上的整数除以N(N 为整数，N>1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这

两个或两个以上的整数为同余．若69，90和125对于某个N 是同余的，则对于同样的N ，81同余于

( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．7

三、计算题（本题共78分）

19．(本题10分)已知函数f (x )＝x 2+2x +2，x ∈[t ,t +1]的最小值是g (t )．试写出g (t )的解析表达式．

20．(本题12分)设对于x >0，66633311()()2()11()x x x x f x x x x x

+-+-=+++，求f (x )的最小值．

21．(本题16分)已知函数121()1x f x x -=

+，对于n ＝1,2,3,…定义f n +1(x )＝f 1[f n (x )]．若f 35(x)＝f 5(x )，则f 28(x )的解析表达式是什么？

22．(本题20分)已知抛物线族2y ＝x 2-6x cos t -9sin 2t +8sin t +9，其中参数t ∈R ．

(1) 求抛物线顶点的轨迹方程；

(2) 求在直线y ＝12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．

23．(本题20分)设{x n }为递增数列，x 1＝1，x 2＝4

，在曲线y =

P 1(1,1),P 2

(4,2),33(P x ,…

,(n n P x …，且以O 为原点，由OP n 、OP n +1与曲线P n P n +1所围成部

分的面积为S n ，若{S n }(n ∈N )是公比为45

的等比数列，图形X n X n +1P n +1P n 的面积为332212()3n n x x +-， 试求S 1+S 2+…+S n +…和lim n n x →∞

． P n O Xn +1 Xn P n +1

大学自主招生数学试题

第 14 页 共 68 页 复旦大学2001年选拔生考试数学试题

一、填空(每小题5分，共45分)

1．sin x +sin y =0，则cos 2x -sin 2y =___________________．

2．平面π1, π2成α的二面角，平面π1中的椭圆在平面π2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为

__________．

3．(x 2+2x +2)(y 2-2y +2)＝1，则x +y =________________________．

4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____．

5．2002=83a 3+82a 2+8a 1+a 0，0≤a 0,a 1,a 2,a 3≤7正整数，则a 0=______________．

6

．15(x 的常数项为_________________． 7

．lim n ＝__________________． 8．空间两平面α,β，是否一定存在一个平面均与平面α,β垂直？___________．

9．在△ABC 中，cos(2A -C )＝cos(2C -B )，则此三角形的形状是________________．

二、解答题(共87分)

1．求解：cos3x tan5x ＝sin7x ．

2．数列3，3-lg2，…,3-(n -1)lg2．问当n 为几时，前n 项的和最大？

3．求证：x ∈R 时，|x -1|≤4|x 3-1|．

4．a 为何值时，方程22lg lg()log (1)lg 2lg 2

x a x a -+=-有解？只有一解？

5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正

北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？

6．x 3-2y 3

＝1的所有整数解(x ,y )，试证明：1334|2|||x y y -<．

大学自主招生数学试题

第 15 页 共 68 页 2002复旦基地班数学考题

1. 已知：sin sin 0x y +=则22cos cos x y -=_______________。

2. ,x y R ∈，()()2222221x x y y ++-+=，则x y +=_______________。

3. 空间两平面12,αα，_______________ 3α与12,αα均垂直? （请填“存在”或“不存在”）

4.

从奇偶性看：函数(ln y x =是_______________。

5. 平面12,γγ成α角，一椭圆1E γ∈在2γ内射影为一个圆，求椭圆长轴与短轴之比

_______________。

6. 3232102002888a a a a =+++()17,i i a a N ≤≤∈，3a =_______________。

7. ABC 中，()()cos 2cos 2A C B C -=-，则ABC 为_______________。

8. 若0,1作为特殊号码不能放在首位，则电话号码由7位升至8位后，理论上可以增加

_______________电话资源。

9.

15中不含x 的项为_______________。 10. 解方程：cos3tan5sin7x x x ?=

11. 一艘船以110/v km h =向西行驶，在西南方向300km 处有一台风中心，周围100km 为暴雨

区，且以220/v km h =向北移动，问该船遭遇暴雨的时间段长度。

12. 已知：0.3010lg 20.3011<<，要使数列()3,3lg 2,,31lg 2n --- 的前n 项和最大，求n 。

13. 参数a 取何值时：()21log 2log 1log 2log 2log 2

x a a x a a x x --+= ①有解?②仅有一解?

14. 在[]0,π内，方程cos23sin 20a x a x +-=有且仅有二解，求a 的范围。

15. 证明方程：33

21x y -=的任一组整数解()(),0x y y ≠都有：13342x y y -<。

大学自主招生数学试题

第 16 页 共 68 页 2002年交大联读班数学试卷

1. 31ω=，ω是虚数，则21n n ωω++=_______________。

2. 函数y ax b =+(),a b Z ∈的图象与三条抛物线23y x =+、267y x x =++、245y x x =++分

别有2，1，0个交点，则(),a b =_______________。

3. 若346a b c ==，则1112a b c

+-=_______________。 4. 若222x x --=，则8x =_______________。

5. 函数22sec tan sec tan x x y x x

-=+的值域为_______________。 6. 22211111123n ??????---= ??? ???????

_______________。 7. 正实数,,x y z 满足2221x y z ++=，则222

111x y z ++的最小值是_______________。 8. 一个圆内接四边形ABCD ，已知AB ＝4，BC ＝8，CD ＝9，DA ＝7，则

cos A =_______________。

9. 实数,a b

满足1=，则22a b +=_______________。

10. 9

2112x x ??+- ???的展开式中9x 的系数为_______________。 11.

x =

，1a ≤≤，则方程有_______________个实数解。

12. ABC 三边长,,a b c 满足a b c ≤≤，b n =，()*,,a b c N ∈，则不同的三角形有

_______________个。

13. 掷3个骰子，掷出点数之和为9的倍数的概率为_______________。

14. 若不等式2054x ax ≤++≤只有唯一实数解，则a =_______________。

15. 有两个两位数，它们的差是56，两数分别平方后，末两位数相同，则这两个两位数为

_______________。

16. 在一个环形地带上顺次有五所学校A 、B 、C 、D 、E ，它们各有15、7、11、3、14台机

器，现要使机器平均分配，规定机器的运输必须在相邻学校间进行，为使总的运输台数最少，则A 应给B_______________台，B 应给C_______________台，A 给

E_______________台，总共运输_______________台。

17. ①用数学归纳法证明以下结论：22211111223n n

++++<- ()*2,n n N ≥∈　。

大学自主招生数学试题

第 17 页 共 68 页 ②若有2sin 116x x x -<<，利用①的结论求111lim 1sin12sin sin 2n n n n →∞???+?++? ??

? 18. 若()x f x =，称x 为()f x 的不动点，()2x a f x x b

+=+ ①若()f x 有关于原点对称的两个不动点，求,a b 满足的关系；

②画出这两个不动点的草图。

19. 有50cm 的铁丝，要与一面墙成面积为2144cm 长方形区域，为使用料最省，求矩形的长与

宽。

20. 数列{}n a 满足2121n n

a a +=-，1N a =且11N a -≠，其中{}2,3,4,N ∈ ①求证：11a ≤； ②求证：()12

cos 2N k a k Z π-=∈。 21. 函数()lg f x x =，有0a b <<且()()22a b f a f b f +??== ???

①求,a b 满足的关系；

②证明：存在这样的b ，使34b <<。

22. ,A B 两人轮流掷一个骰子，第一次由A 先掷，若A 掷到一点，下次仍由A 掷：若A 掷不

到一点，下次换B 掷，对B 同样适用规则。如此依次投掷，记第n 次由A 掷的概率为n A 。 ①求1n A +与n A 的关系；

②求lim n n A →∞

。

大学自主招生数学试题

第 18 页 共 68 页 上海交通大学2002年保送生考试数学试题

一、填空题（本题共64分，每小题4分）

1．设方程x 3=1的一个虚数根为2,1n n ωωω++则(n 是正整数)=__________．

2．设a ,b 是整数，直线y =ax +b 和3条抛物线：y =x 2+3,y =x 2+6x +7与y =x 2+4x +5的交点个数分别是2，1，

0，则(a ,b )=___________．

3．投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为___________．

4．若x ,y ,z >0且x 2+y 2+z 2=1，则222111x y z

++的最小值为___________． 5．若2x -2-x =2，则8x =______________．

6．若a ,b ,c 为正实数，且3a =4b =6c ，则

1112a b c +-=_____________． 7．222

111(1)(1)(1)23n --- 的值为_____________． 8．函数22sec sec x tgx y x tgx

-=+的值域为______________． 9．若圆内接四边形ABCD 的边长AB =4，BC =8，CD =9，DA =7，则cos A =__________．

10．若a ,b

满足关系：1=，则a 2+b 2=____________．

11．291(1)2x x

+-的展开式中x 9的系数是_____________． 12

．当1a ≤<

||x =的相异实根个数共有_____________个．

13．若不等式2054x ax ≤++≤有唯一解，则a =_______________．

14．设a ,b ,c 表示三角形三边的长，均为整数，且a b c ≤≤，若b =n （正整数），则可组成这样的三角形______

个．

15．有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_______．

16．某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15，7，11，3，14台，

现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________台．

二、计算与证明题（本题共86分）

17．（本题12分）（1）设n 为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式： (1)22211111223n n

++++<- ；(2)已知当2sin 01,116x x x x <≤-<<时， 试用此式与(1)的不等式求1111lim

(sin12sin 3sin sin )23n n n n →∞++++

18．（本题14分）若存在实数x ，使f (x )=x ，则称x 为f (x )的不动点，已知函数2()x a f x x b +=

+有两个关于

大学自主招生数学试题

第 19 页 共 68 页 原点对称的不动点

(1) 求a ,b 须满足的充要条件；

(2) 试用y =f (x )和y =x 的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）

19．（本题14分）欲建面积为144m 2的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现

有铁丝网50m ，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的

长度．

20．（本题14分）设数列{a n }满足关系2121(1,2,)n n a a n +=-= ，若N 满足1(2,3,)N a N == ，

试证明：(1) 1||1a ≤； (2) 12cos 2N k a π-= （k 为整数）

21．（本题16分）设()|lg |,,f x x a b =为实数，且0,,()()2(

)2a b a b a b f a f b f +<<==若满足 试写出a 与b 的关系，并证明在这一关系中存在b 满足3

22．（本题16分）A 和B 两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，由对方接

着掷，第一次由A 开始掷，设第n 次由A 掷的概率是P n ．试求：(1) P n +1用P n 表示的式子；(2) 极限lim n n P →∞

大学自主招生数学试题

第 20 页 共 68 页 2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4

一、填空题（本大题共40分，每题4分）

1．三次多项式f (x )满足f (3)＝2f (1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________．

2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S 的最大值是_______________．

3．已知,x y R +∈，x +2y ＝1，则22x y

+的最小值是______________． 4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个

数是___________________．

5．已知f (x )=ax 7+bx 5+x 2+2x -1，f (2)=-8，则f (-2)=_______________．

6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________．

7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分．

8．有n 个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法．

9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是___________． 10．100!末尾连续有______________个零．

二、解答题（本大题共60分，每题10分）

11．数列{a n }的a 1=1，a 2=3，3a n +2=2a n +1+a n ，求a n 和lim n n a →∞

．

12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．

13．已知x 1000+x 999(x +1)+…+(x +1)1000，求x 50的系数．

14．化简：(1) 11!22!!n n ?+?++? ； (2) 1212k

n n n k C C C ++++++ ．

15．求证：342231

a a a a +++为最简分式．

16．证明不等式()!()23n n

n n n >>，当自然数n ≥6时成立．

大学自主招生数学试题

第 21 页 共 68 页 复旦大学2003年暨保送生考试数学试题

一、填空题(本大题共80分，每题8分)

1．函数1()2y f t x x

=-，当x =1时，252t y t =-+，则f (x )＝________________． 2．方程x 2+(a -2)x +a +1=0的两根x 1,x 2在圆x 2+y 2=4上，则a =_______________．

3．划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有________种分配方法．

4．A ＝{x |log 2(x 2-4x -4)>0}，B ＝{x ||x +1|+|x -3|≥6}，则A B ?=_______________．

5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a k =k ·p k (1-p ),(p ≠1)，则S k ＝______________．

6．若(x -1)2+(y -1)2=1，则13

y x --的范围是___________________． 7．边长为4的正方形ABCD 沿BD 折成60o 二面角，则BC 中点与A 的距离是_________． 8．已知|z 1|=2，|z 2|=3，|z 1+z 2|=4，则

12z z =______________． 9．解方程3

log 2a x x x a

=，x ＝________________． 10．(a >0)，lim 2n

n n

n a a →∞+＝______________． 二、解答题(本大题共120分)

11．已知|z |＝1，求|z 2+z +4|的最小值．

12．a 1,a 2,a 3,…,a n 是各不相同的自然数，a ≥2，求证：1231111(

)()()()2a a a a n a a a a ++++< ．

13

．已知sin cos 2αβ+=

，cos sin αβ+=tan cot αβ?的值．

14．一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数21x y x

=+(x >0)的图象上，