2014届高三人教A版数学一轮复习精练 2.5 函数的图像 Word版含解

双基限时练

巩固双基,提升能力

一、选择题

1．y ＝x ＋cos x 的大致图像是(

)

A.

B.

C.

D. 解析：当x ＝0时，y ＝1；当x ＝π2时，y ＝π2；当x ＝－π2时，y ＝

－π2，观察各选项可知B 正确．

答案：B

2．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )

A ．没有根

B ．有且仅有一个根

C ．有且仅有两个根

D ．有无穷多个根

解析：如图所示，由图像可得两函数图像有两个交点，故方程有且仅有两个根．

答案：C

3．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )

A ．a ＜－1

B ．|a |≤1

C ．|a |＜1

D ．a ≥1

解析：如图所示，由图可知，当－1≤a ≤1，即|a |≤1时不等式恒

成立．

答案：B

4．给出四个函数，分别满足①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，②g(x＋y)＝g(x)·g(y)，③h(x·y)＝h(x)＋h(y)，④m(x·y)＝m(x)·m(y)．又给出四个函

)

数的图像，那么正确的匹配方案可以是(

乙

丙

丁

A ．①甲，②乙，③丙，④丁

B ．①乙，②丙，③甲，④丁

C ．①丙，②甲，③乙，④丁

D ．①丁，②甲，③乙，④丙 解析：图像甲是一个指数函数的图像，它应满足②；图像乙是一个对数函数的图像，它应满足③；图像丁是y ＝x 的图像，满足①.

答案：D

5．已知f (x )＝?????

x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈(0，1]，则如图中函数的图像错误的是(

)

y ＝f (x －1)

A.

y ＝f (－x )

B.

y ＝f (|x |)

C.

y ＝|f (x )|

D.

解析：因为f (x )＝?????

x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈(0，1]， 其图像如图，验证知f (x －1)，f (－x )，f (|x |)的图像均正确，只有|f (x )|的图像错误．

答案：D

6．(2013·烟台调研)f (x )的定义域为R ，且f (x )＝?????

2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x ＞0)，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )

A ．(－∞，1)

B ．(－∞，1]

C ．(0,1)

D ．(－∞，＋∞)

解析：x ≤0时，f (x )＝2－x －1,0＜x ≤1时，－1≤x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1，故x ＞0时，f (x )是周期函数．如图：

欲使方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数解，即函数f (x )的图像与直线y ＝x ＋a 有两个不同的交点，故a ＜1.

答案：A

二、填空题

7．已知y ＝f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)、B (3,1)是其图像上两个点，则不等式|f (x ＋1)|＜1的解集是__________．

解析：|f (x ＋1)|＜1?－1＜f (x ＋1)＜1?f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，又y

＝f (x )是R 上的增函数，∴0＜x ＋1＜3.

∴－1＜x ＜2.

答案：{x |－1＜x ＜2}

8．已知a ＞0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是__________．

解析：由题知，当x ∈(－1,1)时，f (x )＝x 2－a x ＜12，即x 2－12＜a x

.

在同一坐标系中分别作出二次函数y ＝x 2－12，指数函数y ＝a x 的

图像，如图，当x ∈(－1,1)时，要使指数函数的图像均在二次函数图

像的上方，需12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值范围是12≤a ＜1或1＜

a ≤2.

答案：????

??12，1∪(1,2] 9．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]的图像如下图所示：

则方程f [g (x )]＝0有且仅有__________个根，方程f [f (x )]＝0有且仅有__________个根．

解析：由图可知f (x )＝0有三个根，设为x 1，x 2，x 3，－2＜x 1＜－1，x 2＝0,1＜x 3＜2.

令g (x )＝x 1，由g (x )图像可知方程g (x )＝x 1有两个根，令g (x )＝0得两个根，令g (x )＝x 3得两个根，∴f [g (x )]＝0有6个根，同理可看出f [f (x )]＝0有5个根．

答案：6 5

三、解答题

10．若方程2a ＝|a x －1|(a ＞0，a ≠1)有两个实数解，求实数a 的取值范围．

解析：当a ＞1时，函数y ＝|a x －1|的图像如图①所示，显然直线y ＝2a 与该图像只有一个交点，故a ＞1不合适；当0＜a ＜1时，函数y ＝|a x －1|的图像如图②所示，要使直线y ＝2a 与该图像有两个交

点，则0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.综上所述，实数a 的取值范围为?

????0，12.

图①

图②

11．当x∈(1, 2)时，不等式(x－1)2＜log a x恒成立，求a的取值范围．

解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝log a x，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜log a x恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1, 2)上的图像在f2(x)＝log a x的下方即可．当0＜a＜1时，综合函数图像知显然不成立．当a＞1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝log a x的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤log a2，log a2≥1，∴1＜a≤2.

∴a 的取值范围是(1,2]．

12．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图像关于直线x ＝m 对称；

(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图像的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值．

解析：(1)设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图像上任意一点，则y 0＝f (x 0)． 又P 点关于x ＝m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)． 由已知f (x ＋m )＝f (m －x )，得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)]＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0.

即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图像上．

∴y ＝f (x )的图像关于直线x ＝m 对称．

(2)对定义域内的任意x ，有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立．

∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立，即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立．

又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/8k5l.html