四年级 奥数精讲与测试 方阵问题

EET国际教育三年级数学 第七讲 方阵问题

知识点，重点，难点

学生排队，士兵列队，横着排叫行，竖着排叫列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形叫方队，也叫方阵（亦叫乘方问题）。

方阵的基本特点：

1. 方阵不论在那一层，每边上的人（或物）数量都相同，每向里一层每边上的人数就减少2.

2. 每边人（或物）数的关系：

四周人（或物）数=【每边人（或物）数-1】×4； 每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4+1。

3. 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。

例1：有一个正方形操场，每边都栽17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？ 分析：在正方形边上种树，者正方形边长都相等，四个角上栽的树是相邻的两条边公有的一棵，所以每边栽种的棵树为17-1=16（棵）这样就能求出正方形操场四条边上共栽的棵树了。

例2：某校四年级的同学排成一个方阵，最外一层的人数为80人，问最外一层每边上有多少人？这个方阵共有四年级学生多少人？ 分析：根据四周人数和每边人数的关系可知： 每边人数=四周人数÷4+1，这样就可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

例3：妈妈用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16个，妈妈摆这个方阵共用了多少个围棋子？

分析一：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个。知道最外面一层每边放16个就可以求出第二层及第三层每边个数。知道各层每边的个数，就可以求出的总数了。

分析二：中空方阵总个数=（最外层每边棋子数－层数）×层数×4进行计算。

例4：一堆棋子，排成一个实心方阵，后来又填进21只棋子，是横竖个增加一排，成为一个新的实心方阵，求原来实心方阵用了多少只棋子？

分析：添进的21个棋子中，有1只是放在横，竖排的交点上，所以其余20只分别放在横排上，竖排上，这样也就能求出原方阵中横排和竖排中每排的只数，也

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就求出原方阵的总只数。

例5：一个街心花园如图1所示，它有四个大小相等的四个等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀载有9棵花，问大三角形边上栽有多少只棵花？整个花园共载有多少棵花？ 分析：（1）从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形的边长的2倍，又知道每个小三角形的边上均匀栽9棵，则大三角形边上栽的棵数为9×2－1=17（棵）； （2）又知道这个大三角形三个顶点栽的一棵花是相邻的两边公有的，所以大三角形三条边上共栽花：（17－1）×3=48（棵）； （3）再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上，在计算大三角形栽花的棵树时，已经算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵树为：9—2=7（棵）。

图1

例6：有一堆棋子排成实心方阵多3只，如果纵横各增加一排，则缺8只，问一共有棋子多少？

分析：这堆棋子排成实心方阵多余3只，如果纵横各增加一排，则缺8只，说明纵的一排和横的一排共需11只，那么增加后的每排是（3+8+1）÷2=12÷2=6（只），6×6=36只是现在棋子的只数，这样原来棋子的只数也很快求出来了。 A卷

1. 用棋子排成一个6×6的正方形，共需用棋子多少枚？

2. 用棋子排成一个正方形，共排成9排，每排9个，排成这个正方形共用多少枚棋子？

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3. 一个正方形棋盘，四边各放5枚围棋子（四个角都要有一枚），那么一共有几枚围棋子？

4. 有一个正方形池塘，四个角都栽1棵树，如果每边栽6棵，四边一共栽几棵树？

5. 有一个正方形池塘，四个角都栽1棵树，四边一共栽24棵树，每边载多少棵树？

6. 在大楼的正方形平顶四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装25盏，四周共装彩灯几盏？

7. 在一块正方形场地的四边竖电线杆，四个角都是一根，一共竖28根，则场地每边竖几根？

8. 有16个学生站在正方形场地四周，四个角上都站1人，如果每边站的人数相等，那么每边站几个学生？

9. 169人排成一个实心方阵，这个方阵每边有多少人？

10. 有100个少先队员参加广播体操比赛，排成了一个正方形队，问这个四边形四周站了多少少先队员？

11. 同学们排练团体操，排成两层空心方阵，最外层每边12人，排成这样的方阵共需要多少人？

12. 五一节前夕，街心喷水池的周围用216盆鲜花围成一个每边三层的空心方阵，问最外面一层每边有鲜花多少盆？ 13.

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B卷

1. 方阵每边的实物数量是？相邻两层每边实物数量差是？相邻两层实物数量相差多少？

2. 小明用棋子排成一个五层空心方阵，外层每边有15个棋子，每个空心方阵共有棋子多少个？

3. 用棋子排成两层空心方阵，外面每边有8个棋子，这个空心方阵的棋子总数有几个棋子？

4. 福山路小学三年级同学排成正方形队列共三层，当中是空的，知道外面一层每边有14人，三年级参加队列表演共有几人？

5. 向阳小学有576名学生，进行队列训练。若排成三层空心方阵，这个方阵最外层有机人呢？

6. 有少先队员若干人，参加体操表演排排列成一个中空的方阵，外面每边12人，共三层，一共有几人参加表演？

7. 有战士若干，排成4层的中空方阵，最外层每边人数是10人，问有战士几人？

8. 有一队学生，排列成一个中空的方阵，最外层人数共60人，最内层人数共28人，这堆学生有几人？

9. 希望小学四年级同学排成正方形方阵，共两层，当中是空的，只知道外面一层每边有16人，四年级共有几人？

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10. 小明用棋子排成一个四层空心方阵，外层每边有棋子11个，这个空心方阵共有棋子共有棋子多少个？

11. 新民小学学生120人，排成一个三层空心三层方阵，这个方阵外层每边多少人？

12. 有一对学生排列成一个中空方阵，最外层人数共52人，最内层人数共28人，问这队学生有几人？

13. 有一个花坛方阵共有15层，最内层每边有20株花草，问花坛的花草花草总数有几棵？

14. 设计一个团体操表演队形，想排成一个6层中空方阵。一直参加表演的人只有360人，最外层每边应排挤几人？

15. 请你自己动手画一画，为第13，14题各配上图，进一步理解每一题的进算方法。 C卷

1. 有一堆棋子排列成正方形，多余3个。如果正方形纵，横两个方向各增加一层，则缺少8个，一共有几个旗子？

2. 一堆棋子排成正方形，多余5个棋子，若正方形纵，横两个方向各增加一层，则缺少10个棋子？

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3. 新华小学四年级学生排成一个实心方阵，还多9人，如果横竖各增加一排，成为大一点的实心方阵，又差24人，求四年级学生共有几人？

4. 有一批正方形的转，排成一个大正方形，余下32块，如果将它该改排成每边比原来多一块砖的正方形，就要差49块，这批砖原有多少块？

5. 一堆棋子，排成正方形，多余4个棋子。若正方形纵，横两个方向各增加一层，则缺少9个棋子，那么共有棋子几个？

6. 在第十七届校运动会开幕式上，红星小学个组成一大型方阵队，方阵队外层每边30人，共有10层，中间5层得位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，这个方阵队共有几个学生组成？

7. 原计划每边栽24棵树，形成一个实心方阵，现在要留出中间地方打一眼井，如树的棵树增加24棵，想栽成5层中空方阵，最外层栽几棵树？

8. 有一队战士排成三层空心方阵，多出16人。如果在空心部分再增加一层，又差28人，求这队战士共有几人？如果排成一个实心方阵，每边几人？

9. 有柳树若干棵，若排成三层的中空方阵，尚余9棵。在中空部分增加一层，则缺7棵，柳树有几棵？

10. 有武术队员若干人，如果分成两队可排成甲，乙两个实心方阵，其中甲方阵每边8人；如果两队合并，排成一个三层空心丙方阵，原甲方阵的人数正好填满丙的空心方阵，问武术队员共有多少人？

11. 有一个瓷砖拼成的正方形，要在横,竖方向分别增加3排瓷砖，拼成一个大正方形，一共需要增加159块瓷砖，问原来的正方形是由几块瓷砖拼成的？、

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12. 每边长25米的正方形池水边铺正方形水泥块，这种水泥块每边为50厘米。如果紧靠水池边铺三层水泥块（水泥块紧靠在一起），成为三层空心方阵，共要水泥块多少块。

13. 甲，乙两队种树，要把树种成正方形。第一次每队种10棵，第二队每队又种10棵，这样一直种下去，最后一次甲队仍种10棵，而乙队种的不足10棵。收工后，老师问他们两队共种了多少棵树，两队队长都说：“共种了二百多棵树”，你能说出他们种树的准确数吗？

14. 解放军战士若干分成两队，可排成甲，乙两个方阵，其中甲方阵每边人数是12人。如果两队合并，可以排成一个空心丙方阵，丙方阵最外层每边人数比乙方阵最外层每边的人数多4人，甲方阵的战士正好能填满丙方阵的空心，问解放军战士有多少人？

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