数值分析上机实验报告

数值分析上机实验

实验报告

1．计算实习2 2．计算实习3 3．计算实习4 4．计算实习5 5．计算实习6

班级：计科姓名：赵亚男学号：

1101 1111080123

１上机实验

实验序号：数值分析 日期：2013 年 12月 26 日

班级 实验 名称 计科1101 姓名 赵亚男 学号 1111080123 数值分析的计算实习 实验目的： 通过使用MATLAB编程，加强对数值分析中学会的计算方法的应用。 实验内容与过程： 计算实习2 分别用二分法、牛顿迭代法、割线法、斯蒂芬森迭代法求方程f?x??x2?1?x?1??0的5??根x?1，观察不同初值下的收敛性，并给出你的结论。 利用MATLAB编程，程序如下： ２

二分法选用的区间为：[0.5,2]；牛顿迭代法选择的初值为0；割线法选择的初值为0，0.1；斯蒂芬森迭代法选择的初值为0。 将初值变为0.8，计算的结果如下所示： 计算的结果如下所示： 从计算结果可以看出：斯蒂芬森迭代法的收敛速率最快，接着是二分法，牛顿迭代法，最后是割线法。并且，初始值取的越接近根值，收敛越快，特别是牛顿迭代法与割线法。 二分法的优点是算法简单，对f?x?的光滑度要求不高；缺点是收敛较慢且不能求偶重根。二分法一般不单独用于求根，通常用于确定某迭代法的初始近似值。 牛顿迭代法是局部的，超线性收敛的。如果f?x?在x的某邻域内具有连续二阶导数，则牛顿*迭代法产生的序列至少平方收敛到x。割线法产生的序列也是超线性收敛的，且收敛阶*1?5p??1.618 2斯蒂芬森迭代法的优点是，不用求导且是平方收敛的方法。 ３

计算实习3 1.区间[-1,1]作等距划分： xk??1?kh?k?0,1,?,n?,h?以xk为节点对函数f?x??2 n1进行插值逼近。 5?x2（1）分别取n?1,5,10,20,25,用牛顿插值对f?x?进行逼近，并在同一坐标系下作出函数的图形，进行比较，写出插值函数对f?x?的逼近程度与节点个数的关系，并分析原因。 （2）试用三次样条插值对f?x?进行逼近，在同一坐标系下画出图形，观察样条插值函数对f?x?的逼近程度与节点个数的关系。 （3）整体插值有何局限性？如何避免？ 解： （1）使用MATLAB编写的程序如下： 画出的图形如下所示： 从图形中可以看出，当n越大时，函数的逼近程度越好。随着节点个数的增加，牛顿插值的最高次数也在不断的增加，逼近的效果也在不断的变好。这个图形中，只能看出n=1与n>1的逼近效果的明显不同。在这个函数条件下，当n>1时，牛顿插值的逼近效果差不多，都十分的接近原始函数。 ４

（2）三次样条插值，使用MATLAB编写的程序如下： 画出的图形如下所示： 从图中可以看出，当n=1时，插值的逼近效果不太好，但是比牛顿插值的效果好。当n>1时，插值的逼近效果就特别好，基本与原函数重合了。 （3）对于整体插值，如果节点数目较少，插值函数就不怎么精确；如果节点数目增多，就有可能会发生龙格现象；解决方法是分段低次插值。 ５

2.已知一组数据如下，求其拟合曲线。 i xi 0 2 1 3 2 4 3 7 110 4 8 5 10 6 11 7 14 8 16 9 18 111 10 19 111.2 yi 106.42 108.2 109.5 109.93 110.49 110.59 110.6 110.76 2（1）求以下数据形如y?x??c0?c1x?c2x的拟合曲线及其平方误差； （2）求以上数据形如y?x??ae?bx的拟合曲线及其平方误差； （3）通过观察（1）（2）的结果，写出你对数据拟合的认识。 解： （1）使用最小二乘法求二次多项式的MATLAB程序如下： 运行的计算结果如下： 即拟合的函数为： y?x??106.2927?0.6264x?0.0205x2 平方误差为： ?2?2.77960901211800 拟合的曲线图如下所示： ６

（2）拟合y?x??ae?bx这种类型的曲线，可以先变形，即：f?x??ln?y?x???ln?a??b，接着变x成线性函数，即：取t?MATLAB程序如下： 1，则，z?t??a0?bt x 计算结果为： 则，a?e4.7140?111.4940，b?0.0903 0.0903x拟合的函数为： f?x??111.4940e平方误差为： ? ?2?0.47193209161228 拟合的曲线如图所示： （3）将（1）（2）的拟合曲线，放在一个图中的效果如右上角所示。 同一组数据，选择不同的模型，拟合的效果完全不同。在数据拟合中，选择一个适合的拟合模型至关重要！ ７

计算实习4 设计区间分半求积算法、龙贝格求积算法和自适应辛普森求积算法的程序，观察n?1,10,100,500时，积分?1x2cos?nx?dx的结果，并给出相应的评价。 ?1解：区间分半求积算法的程序如下： 计算的结果如下： 龙贝格求积算法的程序如下： 计算结果如下： ８ 自适应辛普森求积算法的程序如下： 计算的结果如下： 计算精度是??10； 将区间分半求积算法、龙贝格求积算法和自适应辛普森求积算法的结果进行比较 n 区间分半 龙贝格 自适应辛普森 1 0.4789 0.4783 0.4779 5 4 1 10 -0.1396 -0.1402 -0.1402 7 6 7 100 0.6122 0.6112 0.6111 6 3 1 500 -0.0013 -0.2492 -0.2491 10 5 3 ?3 相同的计算精度，自适应辛普森的收敛速度最快，区间分半最慢，且准确度不高。龙贝格，算法简单，计算量不大。 ９

计算实习5 分别取步长h?0.5,0.1,0.05,0.01,?,用显示欧拉法求解y??ty,y?1??1,计算到t?2,并与精确解y?t???13?t?2??比较，观察欧拉法的收敛性。 3???2?32解： 显示欧拉法求解的程序如下： 求解的结果如下： 从结果可以看出，步长越短，收敛性越好，越与真实结果接近。 使用四级四阶龙格--库塔法求解的程序如下： 求解结果如下： 从结果可以看出，四级四阶龙格--库塔法求解的结果比显示欧拉法求解的结果更接近真实解，收敛性更好。

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计算实习6 试用列主元高斯消去法解希尔伯特矩阵H?hij??n?n方程组Hx?b,考察给定的n?5,10,20,50,100及相应的b时结果的变化，分析其中的原因并给出结论。其中 hij?解： 1 i?j?1假设b?0，则，使用列主元高斯消去法解希尔伯特矩阵H?hij??n?n方程组Hx?b,的程序如下： 求解结果都是0； 如果bt?bt?a，则，计算的程序如下： '通过这个程序，我们可以分析b变化时，计算结果的变化。 取t?2,a?1，不同的n的取值情况下，?x的二范数变化如右图： 从图中可以看出，随着n的增大，计算结果的误差二范数集中在0处。当n?10时，误差最大，二范数也最大。 １１

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