2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线

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十年高考真题汇编推荐度：
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2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线

2012高考真题分类汇编：圆锥曲线

一、选择题

1.【2012高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：

1（a,b＞0）的左、右焦点，

B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点

M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是

【答案】B

y x b, bacbc c

,)，【解析】由题意知直线F1B的方程为：y x b，联立方程组得点Q(

cc ac axy 0

abb

y x b,22 acbcacc c

,)，所以PQ的中点坐标为(2,)，所以PQ的垂直联立方程组得点P( c ac abb x y 0

平分线方程为：y

acb

)，令y 0，得x c(1

)，所以c(1

) 3c，所以

a 2b 2c 2a，即3a 2c，所以e

222222

。故选B

2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y 16x的

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线

准线交于A,B

两点，AB C的实轴长为（）

(A)

) (C) (D)

【答案】C

【解析】设等轴双曲线方程为x2 y2 m(m 0)，抛物线的准线为x 4，由AB 43,则

yA 23,把坐标( 4,23)代入双曲线方程得m x y 16 12 4，所以双曲线方程为

x y

4，即

1，所以a

4,a 2，所以实轴长2a 4，选C.

3.【2012高考真题新课标理4】设F1F2是椭圆E:

3a2

1(a b 0)的左、右焦点，P为直线

上一点， F2PF1是底角为30 的等腰三角形，则E的离心率为（）

(A) (B)

(C)

(D)

【答案】C

【解析】因为 F2PF1是底角为30 的等腰三角形，则有F2F1 F2P,因为 PF1F2 30，所以 PF2D 60, DPF

3a2 c

2c c，所以

3a2

2c，即

ca 34

，

1234

PF2

F1F2，即

，所以F2D

，所以椭圆的离心率为e ，选C.

4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM| （）

、 B

、 C、4 D

、

【答案】B

【解析】设抛物线方程为y

2px，则点M(2, 2

Q焦点 ,0 ，点M到该抛物线焦点的距

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线

离为3， 2 4P 9，解得p

2，所以OM

5.【2012高考真题山东理10】已知椭圆C:

1(a b 0)的离心学率

为

.双曲线

x y 1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的

方程为（A）

1 （B）

1 （C）

1 （D）

【答案】D

【解析】因为椭圆的离心率为

，所以e

，c

a，c

a b，所以

，即a 4b，双曲线的渐近线为y x，代入椭圆得

1，即

5x4b

1，所以x

b,x

b，y

b，则第一象限的交点

坐标为(

b)，所以四边形的面积为4

165

16，所以b 5，所以椭圆

方程为

1，选D.

6.【2012高考真题湖南理5】已知双曲线C ：上，则C的方程为 A．

=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线

=1 B.

=1 C.

=1 D.

=1【答案】A

【解析】设双曲线C ：

=1的半焦距为c，则2c 10,c 5.

又 C 的渐近线为y

x，点P （2,1）在C 的渐近线上， 1 2，即a 2b.

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线

又c a

b， a

222

C的方程为

=1.

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.

7.【2012高考真题福建理8】已知双曲线曲线的焦点到其渐近线的距离等于

B. C.3 D.5

1的右焦点与抛物线y=12x的焦点重合，则该双

【答案】Ａ．

【解析】由抛物线方程y2 12x易知其焦点坐标为(3,0)，又根据双曲线的几何性质可知

4 b 3，所以b

5，从而可得渐进线方程为y x，即 5x 2y 0，所以

| 5 3 2 0|

5 4

5，故选Ａ．

8.【2012高考真题安徽理9】过抛物线y2 4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，若AF 3，则 AOB的面积为（）

(A)

【答案】C

) (C

) (D)

【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。

【解析】设 AFx (0 )及BF m；则点A到准线l:x 1的距离为3，

得：3 2 3cos cos

又m 2 mcos( ) m

21 cos

，

AOB的面积为S OF AB sin 1 (3 )

。

9.【2012高考真题全国卷理3】椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A x

=1 B

=1C

=1 D

【答案】C

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【解析】椭圆的焦距为4，所以2c 4,c 2因为准线为x 4，所以椭圆的焦点在x轴上，且a

4，所以a

4c 8，b a c 8 4 4，所以椭圆的方程为

222

1，选C.

10.【2012高考真题全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)

（B）

(C)

(D)

【答案】C

【解析】双曲线的方程为

1，所以a b 2,c 2，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双

曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=22,所以解得|PF2|=22，|PF1|=42，所以根据余弦定理得

cosF1PF2

(22) (42) 14

2 22 42

,选C.

11.【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为【答案】3

【解析】由y2 4x可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为60 ，所以直线的斜率为k tan60

y 3x

3，将直线和曲线联立

2 y 4x

3．

3，

利用点斜式，直线方程为y 3x

A(3,23)

123，因

) B(, 3 3

此S OAF

OF yA

1 23

二、填空题

12.【2012高考真题湖北理14】如图，双曲线

B1，B2，两焦点为F1，F2

1 (a,b 0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为

. 若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A,B,C,D. 则

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（Ⅰ）双曲线的离心率e ；

（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值

5 12

S1S2

【答案】e ;

S1S2

2 2

【解析】（Ⅰ）由于以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，因此点O到直线F2B2的距离为a，又由于虚轴两端点为B1，B2，因此OB2的长为b，那么在 F2OB2中，由三角形的面积公式知，

12bc

a|B2F2|

a(b c)，又由双曲线中存在关系c

a b联立可得出(e 1) e，

22222

根据e (1, )解出e

5 12

;

（Ⅱ）设 F2OB2 ,很显然知道 F2A2O AOB得sin

bb c

,因

S2 2asin(2 ).在 F2OB2中求

,cos

cb c

,故S2 4asin cos

4abcb cS1S2

；

菱形F1B1F2B2的面积S1 2bc，再根据第一问中求得的e值可以解出

2 2

13.【2012高考真题四川理15】椭圆

1的左焦点为F，直线x m与椭圆相交于点A、B，

当 FAB的周长最大时， FAB的面积是____________。【答案】3

【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.

【解析】当直线x m过右焦点时 FAB的周长最大， m 1；

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将x 1带入解得y

；所以S FAB

14.【2012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，

水位下降1米后，水面宽米【答案】26.

【解析】设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为

（2，-2）.设抛物线方程为x2 2py，带入点A得p 1，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为(x0, 3)，则x0 2 3,x0 6，所以水面宽度为26.

15.【2012高考真题重庆理14】过抛物线y2 2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，若

2512

,AF BF,则AF= .

【答案】

【解析】抛物线y 2x的焦点坐标为(,0)，准线方程为x

，设A,B的坐标分别为的

(x1,y1),(x2,y2)，则x1x2

，设AF m,BF n，则x1 m ,x2 n

，所以有

111 (m )(n ) 555 224

m n AF ，解得或，所以.

646 m n 25

16.【2012高考真题辽宁理15】已知P，Q为抛物线x 2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4， 2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为__________。【答案】 4

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【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4， 2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2. 由x2 2y,则y

x, y x,所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4， 2，所以过点P，

Q的抛物线的切线方程分别为y 4x 8,y 2x 2,联立方程组解得x 1,y 4,故点A的纵坐标为 4

【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。

曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。

17.【2012高考真题江西理13】椭圆

1(a b 0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分

别是F1，F2。若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.

【答案】

【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率。

【解析】椭圆的顶点A( a,0),B(A,0),焦点坐标为F1( c,0),F2(c,0)，所以AF1 a c,F1B a c，F1F2 2c,又因为AF1，F1F2，F1B成等比数列，所以有4c2 (a c)(a c) a2 c2，即

5c a，所以a

5c，离心率为e .

18.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线则m的值为 ▲ ．【答案】2。

【考点】双曲线的性质。【解析】由

1得abc

∴e=

m2 4m 4=0，解得m=2。

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三、解答题

19.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆

1(a b 0)的左、右

e焦点分别为F1( c，0)，F2(c，0)．已知(1，

e)和

都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． 2

（1）求椭圆的方程；

（2）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．

（i

）若AF1 BF2

AF1的斜率；

（ii）求证：PF1 PF2是定值．

【答案】解：（1）由题设知，a2=b2 c2，e=

，由点(1，e)在椭圆上，得

=1 b c=ab a=ab b=1，∴c=a 1。

2222222222

e由点

在椭圆上，得

2 b

a 1a

1 a 4a 4=0 a=2

422

∴椭圆的方程为

y 1。

（2）由（1）得F1( 1，0)，F2(1，0)，又∵AF1∥BF2，

∴设AF1、BF2的方程分别为my=x 1，my=x 1，A x1，y1 ，B x2，y2 ，y1>0，y2>0。

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x12

y1 1 22

∴ 2。 m 2y1 2my1 1=0 y1=

m 2 my=x 1

∴

AF1

m 2

m 1 2

m 2

。

①

m 1 2

同理，BF2=

m 2

。②

（i）由①②得，AF1

BF2

m 2

得m2=2。

∵注意到

m>0，∴m ∴直线AF1

的斜率为（

）

证

1m=

PBPF1

BF2AF1

明：∵

AF1

∥

BF2

，∴

，即

PBPF1

BF2AF

PB PFPF

BF AF2

。

∴PF1=

AF1AF1 BF2

BF1。

由点B在椭圆上知，BF1 BF

2 ，∴PF1=

AF1AF1 BF2

BF2。

同理。PF2=

BF2AF1 BF2

AF1AF1 BF2

AF1。

∴PF1+PF2=

BF2

BF2AF1 BF2

AF1

2AF BF2AF1

BF2

由①②得，AF1 BF=

∴PF1+PF22

m 1m 2

，AF

BF=

m 1m 2

，

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∴PF1 PF2是定值。

20.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C：

1(a＞b＞0)的离心率为

，

其左焦点到点P(2，1)

的距离为O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线

OP平分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求 ABP的面积取最大时直线l的方程．

【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。

【答案】(Ⅰ)由题：e

ca 12

； (1)

左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)

的距离为：d由(1) (2)可解得：a2

4，b 3，c 1．

(2)

∴所求椭圆C的方程为：

1．

(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝

112

x0．

∵A，B在椭圆上，

∴

xA4xB4

yA3yB3

kAB

yA yBxA xB

xA xByA yB

2x02y0

．

设直线AB的方程为l：y＝﹣

x m

(m≠0)，

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x2y

+ 1 43代入椭圆：

y＝-3x m 2

3x 3mx m 3 0

．

显然

(3m) 4 3(m 3) 3(12 m) 0

222

．

∴﹣m

m≠0．由上又有：xA xB＝m，yA yB＝∴|AB|

＝

m 33

．

xA xB|

＝

∵点P(2，1)到直线l

的距离表示为：d

∴S ABP＝

d|AB|＝|m＋

当|m＋2|

＝

m＝﹣3 或m＝0(舍去)时，(S ABP)max＝

32x

．

此时直线l的方程y＝﹣．

21.【2012高考真题辽宁理20】(本小题满分12分)

xy222

b t1 a。如图，椭圆C02 2 1(a b 0，a，b为常数)，动圆C1:x y t1，点A1,A2

分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点。 (Ⅰ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;

222////

(Ⅱ)设动圆C2:x y t2与C0相交于A,B,C,D四点，其中b t2 a，

////

t1 t2。若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：t1 t2为定值。

【答案】

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【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点M的轨迹方程时，要注意首先写出直线AA1和直线A2B的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。

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22.【2012高考真题湖北理】（本小题满分13分）

设A是单位圆x2 y2 1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x 轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM| m|DA|(m 0,且m 1). 当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为

点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的k 0，都有PQ PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）如图1，设M(x,y)，A(x0,y0)，则由|DM| m|DA|(m 0,且m 1)，

可得x x0，|y| m|y0|，所以x0 x，|y0|

1m|y|.

①

因为A点在单位圆上运动，所以x02 y02 1. ② 将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x

1 (m 0,且m 1).

因为m (0,1) (1, )，所以

当0 m 1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，0)；当m 1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0, ，(0,

（Ⅱ）解法1：如图2、3， k 0，设P(x1,kx1)，H(x2,y2)，则Q( x1, kx1)，N(0,kx1)，

直线QN的方程为y 2kx kx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得

(m 4k)x 4kx1x kx1 m 0.

依题意可知此方程的两根为 x1，x2，于是由韦达定理可得

x1 x2

4kx1m 4k

，即x2

mx1m 4k

2kmx1m 4k

因为点H在直线QN上，所以y2 kx1 2kx2

于是PQ ( 2x1, 2kx1)

4kx1

，PH (x2 x1,y2 kx1) (

m 4k

2kmx1m 4k

)

4(2 m2)k2x2

0而PQ PH等价于PQ PH 22

m 4k

，

即2 m2 0，又m 0，得m 故存在m

1上，对任意的k 0，都有PQ PH.

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线

解法2：如图2、3， x1 (0,1)，设P(x1,y1)，H(x2,y2)，则Q( x1, y1)，N(0,y1)，

2222 mx1 y1 m,

因为P，H两点在椭圆C上，所以 22

mx2 y2 m,

两式相减可得

m(x1 x2) (y1 y2) 0. ③

依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合，故(x1 x2)(x1 x2) 0. 于是由③式可得

(y1 y2)(y1 y2)(x1 x2)(x1 x2)

. ④

2y1x1

y1 y2x1 x2

又Q，N，H三点共线，所以kQN kQH，即于是由④式可得kPQ kPH

y1x1

y1 y2x1 x2

1(y y2)(y1 y2)m 1 2(x1 x2)(x1 x2)2

而PQ PH等价于kPQ kPH 1，即

故存在m

1，又m

0，得m

1上，对任意的k 0，都有PQ PH.

23.【2012高考真题北京理19】（本小题共14分）

【答案】解：（1）原曲线方程可化简得：

85 m

8m 2

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线

8 8 5 mm 2

由题意可得：，解得： m 5 0

2 5 m

m 2

（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：(2k2 1)x2 16kx 24 0，

=32(2k 3)

，解得：k2

①，xMxN

242k 1

由韦达定理得：xM xN

16k2k 1

，②

设N(xN,kxN 4)，M(xM,kxM 4)，G(xG，1)

kxM 6xM

MB方程为：y

3xM

x 2，则G ，1

kxM 6

，

3x M

， 1 ，AN xN，xNk 2 ， AG

xMk 6

欲证即

A，G，N三点共线，只需证AG

(xNk 2) xN

，AN

共线

3xMxMk 6

成立，化简得：(3k k)xMxN 6(xM xN)

将①②代入易知等式成立，则A，G，N三点共线得证。 24.【2012高考真题广东理20】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：到Q（0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

【答案】本题是一道综合性的题目，考查直线、圆与圆锥曲线的问题，涉及到最值与探索性问题，意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。

1(a b 0)的离心率

，且椭圆C上的点

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线

25.【2012高考真题重庆理20】（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分）

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1,F2，线段的中点分别为B1,B2，且△AB1B2 是面积为4的直角三角形. （Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；

（Ⅱ）过做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2 QB2，求直线l的方程

【答案】

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线

【命题立意】本题考查椭圆的标准方程，平面向量数量积的基本运算，直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综合问题

26.【2012高考真题四川理21】(本小题满分12分) 如图，动点M到两定点A( 1,0)、B(2,0)构成 MAB，且 MBA 2 MAB，设动点M的轨迹为C。

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

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（Ⅱ）设直线y 2x m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ| |PR|，求

|PR||PQ|

的

取值范围。

【答案】本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线的定义等基础知识，考查基本运算能力，逻辑推理能力，考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想

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27.【2012高考真题新课标理20】（本小题满分12分）

设抛物线C:x2 2py(p 0)的焦点为F，准线为l，A C，已知以F为圆心，

FA为半径的圆F交l于B,D两点；

（1）若 BFD 900， ABD的面积为42；求p的值及圆F的方程；

（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，

求坐标原点到m,n距离的比值.

【答案】（1）由对称性知： BFD是等腰直角，斜边BD 2p

点A到准线l

的距离d FA FB

S ABD

BD d p 2

圆F的方程为x2 (y 1)2 8 （2）由对称性设A(x0,

)(x0 0)，则F(0,

)

点A,B关于点F对称得：B( x0,p

) p

x0 3p

得：A

3p2

)，直线m:y x p x

x 2py y

x p

切点P3

)

直线n:y

) x

p 0

坐标原点到m,n

距离的比值为

28.【2012高考真题福建理19】如图，椭圆E：心率

的左焦点为F1，右焦点为F2，离

.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.

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（Ⅰ）求椭圆E的方程.

（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

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