高等数学复旦大学出版第三版课后答案习题全1(陈策提供)
更新时间:2023-05-09 14:20:01 阅读量: 实用文档 文档下载
1 习题一
1. 下列函数是否相等,为什么
?
222(1)()();(2)sin (31),sin (31);1
(3)(),() 1.
1f x g x y x u t x x f x g x x x =
==+=+-==+- 解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;
由
x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等.
因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.
2. 求下列函数的定义域
211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).
1y y x x x
y y x x =
=-==- 解: (1)要使函数有意义,必须
400x x -≥??≠?
即 40x x ≤??≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞ .
(2)要使函数有意义,必须
30
lg(1)010x x x +≥??-≠??->? 即
301x x x ≥-??≠??
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
210x -≠ 即 1x ≠±
所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ .
(4)要使函数有意义,必须
2 12sin 1x -≤≤ 即 1
1
sin 22x -≤≤ 即π
π2π2π66k x k -+≤≤
+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数). 也即π
π
ππ66k x k -+≤≤+ (k 为整数). 所以函数的定义域是π
π
[π,π]66k k -
++, k 为整数. 3. 求函数1sin ,00,0x y x
x ?≠?=??=?的定义域与值域.
解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1x 可以是不为零的任意实数,此时,1
sin x 可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].
4. 没1()1x
f x x -=+,求1
(0),(),().f f x f x - 解: 10
(0)110f -==+,1()
1(),1()1x x f x x x --+-==+--1
111().111x x f x x x --==++ 5.设1,
10()1,02x f x x x -≤=?+≤≤?,求(1)f x -.
解: 1,1101,01(1).(1)1,
012,13x x f x x x x x -≤-<≤?-==??-+≤-≤≤≤?? 6. 设()2,()ln x f x g x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x .
解: ()ln (())22,g x x x f g x ==
(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==?=?
()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).
x
f x f f x
g g x g x g x x x x x ==== 7. 证明:3()21f x x =-
和()g x =.
证:由321y x =-
解得x =
3
故函数3()21f x x =-
的反函数是)y x =
∈R ,
这与()g x =
是同一个函
数,所以3()21f x x =-
和()g x =
.
8. 求下列函数的反函数及其定义域:
25
3
1(1); (2)ln(2)1;1(3)3
; (4)1cos ,[0,π].
x x y y x x
y y x x +-=
=+++==+∈
解: (1)由11x y x
-=
+解得11y x y
-=
+,
所以函数11x y x
-=
+的反函数为1(1)1x y x x
-=≠-+.
(2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-,
所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e 2()x y x -=-∈ R .
(3)由253x y +=解得31(log 5)2
x y =
-
所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2
y x x =
-> .
(4)由31cos y x =+
得cos x =
,又[0,π]x ∈,
故arccos x =.
又由1cos 1x -≤≤得3
01cos 2x ≤+≤,
即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数3
1cos ,[0,π]y x x =+∈的反函
数为arccos
(02)y x =≤≤.
9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:
2
(1); (2)ln 1x y y x x x
=
=++
解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有2
01x x
≤+,当0x >时,有
2
1122
x x x
x
≤
=
+,
故(,),x ?∈-∞+∞有12
y ≤.即函数2
1x y x
=
+有上界.
又因为函数2
1x y x
=
+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函
数必有下界,因而函数2
1x y x
=+有界.
4
又由1212121222221
2
1
2
()(1)11(1)(1)
x x x x x x y y x
x
x x ---=
-
=
++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而
当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数2
1x y x
=
+在定义域内不单调.
(2)函数的定义域为(0,+∞),
10,0M x ?>?> 且12;e
0M
x M x >?>>,使2ln x M >.
取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<
故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增. 10. 判断下列函数的奇偶性:
22(1)()(2)e
e
sin .x
x
f x y x -=
=-+
解
: (1)()()f x f x -=
=
=
()f x ∴=
+
.
(2)222222()e
e sin()e
e
sin (e
e
sin )()x
x
x
x
x
x
f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=-
∴函数22e
e
sin x
x
y x -=-+是奇函数.
11. 设()f x 定义在(-∞,+∞)上,证明:
(1) ()()f x f x +-为偶函数; (2)()()f x f x --为奇函数. 证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ?∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.
(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ?∈-∞+∞,
有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=-
5
故()()f x f x --为奇函数.
12. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为x , 则准备费为103
x ;
又每批有产品
6
10x
件,库存数为
6
10
2x
件,库存费为
6
10
0.052x
?元.
设总费用为,则6
3
100.05
102y x x
?=+
.
13. 邮局规定国内的平信,每20g 付邮资0.80元,不足20 g 按20 g 计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y 与重量x 的关系. 解: 当x 能被20整除,即[
]2020x x =
时,邮资0.8020
25
x x y =
?=
;
当x 不能被20整除时,即[]20
20
x x ≠时,由题意知邮资0.80120x y ??
=
?+????
. 综上所述有,02000;2520200.80,02000.120
20
20x
x x x y x x x x ???
<≤=????
??=?
????
??<≤≠+??????????且且
其中
20x ??????,120x ??
+????
分别表示不超过20x ,120x +的最大整数. 14. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角?=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域
.
图1-1
解:
011()(2cot )(cot )2
2
S h A D B C h h B C B C h B C h ??=
+=
++=+
从而 0cot S B C h h
?=
-.
000()2
2
cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40
L AB BC C D AB C D S h h BC h h
S S h h
h
h
?????
=++==+=+---=
+
=+
6 由0
0,cot 0S h B C h h ?>=->
得定义域为.
15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?
51
2241
2(1)(1);(2)sin (12);
1(3)(110);(4).
1arcsin 2x y x y x y y x -=+=+=+=+
解: (1)124(1)y x =+是由1
24,1y u u x ==+复合而成.
(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110)x y -=+是由1
52,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成. (4)11arcsin 2y x =+是由1
,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.
16. 证明:
11(1)arcsin h ln( (2)arctan h ln ,11
21x
x x x x x +=+=-<<- 证: (1)由e e
sinh 2x x
y x --==得2e 2e 10x x y --=
解方程2e 2e 10x x y --=
得e x y =±因为e 0x >,
所以e x y =+
ln(x y =+ 所以sinh y x =
的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==+-∞<<+∞
(2)由e e
tanh e e x x
x x y x ---==+得21e 1x y y +=-,得11
12ln ,ln 121y
y x x y y ++==--; 又由101y
y +>-得11y -<<,
所以函数tanh y x =的反函数为
11arctan h ln (11).21x
y x x x +
==-<<-
17. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:
1
2
3
4
579
(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,; (3)3,,,,.3456357----
解: 1
(1),1n n x n -=+当n →∞时,1n x →.
1
(2)cos π2n n x n -=,
7
当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.
21(3)(1)
21
n
n n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.
18. 对下列数列求lim n n a x →∞
=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有
n x a ε-<
:
1π(1)sin
,0.001; (2)0.0001.2
n n n x x n εε=
==
=
解: (1)lim 0n n a x →∞
==,0ε?>,要使11π0sin
2
n n x n
n
ε-=
<
<,只须1
n ε
>
.取1N ε??
=
????
,则当n N >时,必有0n x ε-<. 当0.001ε=时,110000.001N ??
=
=????
或大于1000的整数.
(2)lim 0n n a x →∞
==,0ε?>,
要使2210n x ε-=
=
<
=
<
只要1
ε
>
即2
1
n ε
>
即可.
取21N ε??
=
????
,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 8
21100.0001N ??=
=????
或大于108的整数. 19. 根据数列极限的定义证明:
2
1313(1)lim
0;(2)lim ;
21
2
(3)lim
1;(4)lim 0.999 1.
n n n n n n n
n n
→∞
→∞
→∞
→∞
-==
+==
个
证: (1)0ε?>,要使
2
2
110n
n
ε=
<-,
只要n >
.
取N =,则当n>N 时,恒有2
10n
ε<-.故2
1lim
0n n
→∞
=.
(2) 0ε?>,要使
555313,2(21)
421
2
n n n
n
n ε-=
<
<
<-
++只要5
n ε
>
,取5N ε??
=
????
,则当
8
n>N 时,恒有
31321
2
n n ε-<-
+.故313lim
21
2
n n n →∞
-=
+.
(3) 0ε?>,要
使
2
22
1a n
ε=
<
<,只
要n >
,
取
n =,则当n>N 时,
1ε<,
从而lim 1n n
→∞
=.
(4)因为对于所有的正整数n ,有
10.99991
n <- 个,故0ε?>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<- 个只要ln ,ln 10n ε->取ln ,ln 10N ε-??=????
则当n N
>时,恒有
,0.9991n ε<- 个
故lim 0.9991n n →∞
=
个
. 20. 若lim n n x a →∞
=,证明lim n n x a →∞
=,并举反例说明反之不一定成立.
证: lim 0n n x →∞
= ,由极限的定义知,0,0N ε?>?>,当n N >时,恒有n x a ε-<.
而 n n x x a a ε-<-<
0,0N ε∴?>?>,当n N >时,恒有n x a ε-<,
由极限的定义知lim .n n x a →∞
=
但这个结论的逆不成立.如(1),lim 1,n
n n n x x →∞
=-=但lim n n x →∞
不存在.
21. 利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值
:
1111(1)1,2,; (2)1,1,1,2,.1n n n n
x x x n x x n x ++=
=
===+
=+
证
: (1)12x =< ,不妨设2k x <,则
12k x +=
<
=.
故对所有正整数n 有2n x <,即数列{}n x 有上界.
又1n n n x x x +-==
0>,又由2n x <
<
从而10n n x x +->即1n n x x +>,
即数列{}n x 是单调递增的.
9
由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限. 设lim n n x a →∞
=,
则a =
,于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞
∴=.
(2) 因为110x =>,且111n n n
x x x +=+
+,
所以
n x <<
, 即数列有界
又 1
1
1111111(1)(1)n
n n n n n n n n n x x x x
x x x x x x --+---?
??
?
++-=-=
? ?++++???
? 由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号, 从而可推得1n n x x +-与21x x -同号, 而 1221
131,1,02
2
x x x x ==+=
-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +>
所以数列{}n x 单调递增,由单调有界准则知,{}n x 的极限存在. 设lim n n x a →∞
=, 则11a a a
=+
+,
解得
11,2
2
a a +-=
=(不合题意,舍去).
所以
1lim 2
n n x →∞
+=
22. 用函数极限定义证明:
2
2
2
2
2
10
2
sin 314(1)lim
0; (2)lim
3; (3)lim 4;
4
2
141(4)lim
2; (5)lim sin
0.
21
x x x x x x x x x
x x x
x x x
→+∞→∞
→-→→-
--===-++-==+
证:(1)0ε?>,要使
1sin sin 0x x x
x
x ε=
≤<-,
只须1
x ε
>
,取1
X ε
>
,则当x X >时,必有
sin 0x x
ε<-,
10 故sin lim 0x x
x →+∞=.
(2)0ε?>,要使
2222131331
3||44x x x x ε-=<<-++,
只须x >
取X =X x >时,必有
223134x x ε
-<-+, 故2
231lim 34x x x →∞-=+.
(3) 0ε?>,要使
24
(4)22x x x ε-=<--++,
只要取δε=,则 当02x δ<<+时,必有24
(4)2x x ε-<--+, 故
2
24lim 42x x x →--=-+.
(4) 0ε?>,要使
2
1
142221221x x x x ε-==<
+-++, 只须1
22x ε
<+,取2ε
δ=,则 当102x δ<<+时,必有2
14221x x ε-
<-+ 故2
1
214lim 221x x x →--=+.
(5) 0ε?>,要使
1
1
sin 0sin x x x x x ε=≤<-,
只要取δε=,则
11
当00x δ<<-时,必有1sin
0x x
ε<-,
故0
1lim sin
0x x x
→=.
23. 求下列极限:
2
2
24
2
3
1
2324
2
2
3
3(1)lim
;(2)lim
;1
311(3)lim
;(4)lim
;
2131
1(1)(2)(3)
(5)lim
;(6)lim
;
21
5x x x x x n x x x x x x x x x
x x x x x n n n x n
→→→∞
→∞
→∞
→∞
-++-+-----++++++
(7)若21
1lim 2
21x x ax b x →∞
??+=-- ?+??,求a 和b .
解:()
()22
3
2
23
3
lim 33933(1)lim
1
lim 91
5
1x x x x x x x →→→---=
=
=
+++.
2
22
1
4
2
4
2
4
2
1
1
22
2
2
3
3342
2424lim ()11(2)lim
2.
31
lim (31)
1311
1111(3)lim
lim
.
1121
2
2111
1
lim (4)lim lim 0.3131311lim 1(5x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→∞
→∞
→∞→∞→∞→∞+++=
=
=--+-+-?+-
-==
---
-??--
?
-??===-+??
-+-+ ?
?
?22
2
2
22
12
1lim 21)lim
lim 0
111
1lim 1x x x x x x x x
x
x x
x →∞
→∞
→∞
→∞??++
?+??===+?
?+
+ ??
? 由无穷大与无穷小的关系知, 2
1
l i m
21x x x →∞+=∞+. 3
(1)(2)(3)
1
123(6)lim
lim 111551
1123lim lim lim .11155
n n n n n n n n n
n n n n n n →∞
→∞→∞→∞→∞+++?
?????=
+++ ? ? ???????
?????
?=??=+++ ? ? ???????
12
24. 解:因为
2
2
1(1)()(1)
1
1
x a x a b x b ax b x x +--++---=
++
由已知21
1lim 2
1x x ax b x →∞
??+=-- ?+??知,分式的分子与分母的次数相同,且x 项的系数之
比为
12
,于是
10a -= 且
()
11
2
a b -+=
解得 31,2
a b ==-
.
25. 利用夹逼定理求下列数列的极限:
(1)lim[(1)],01;k
k
n n n k →∞
+-<<
(2)lim
n →∞
其中11,,,m a a a 为给定的正常数
;
1
(3)lim (123);
(4)lim
n
n
n n n →∞
→∞
++
解: 111
1(1)0(1)(1)1(1)1k k k k k
k n n n n n
n n -????<+-=<=+
-+-?
????
??? 而lim 00n →∞
=,当1k <时,11lim
0k
n n
-→∞
=
lim[(1)]0k k
n n n →∞
∴+-=.
(2)记12m ax{,,,}m a a a a = 则有
<
<
即
1
n a m a <
而 1
l i m , l i m ,
n n n a a m
a a →∞
→∞
=?= 故
lim
n a →∞
=
即
12
l i m a x {,,,}
m n a a a →∞
=
. (3)11
1
(3)(123)(33)n
n
n
n
n n n <++
13
即 113(123)3
n n n
n n
+<++<
而 1
l i m 3
3,
l i m 33
n n n n +→∞
→∞==
故 1
l i m (1
23)3
n
n
n
n →∞
++
=.
(4)111n
<<+
而 1l i m 1
0,
l i m (1)1
n n n
→∞
→∞=+= 故
l i 1
n →∞
=. 26. 通过恒等变形求下列极限:
2
2
2
2
2
1
4
123(1)
11(1)lim
; (2)lim ;122
2168(3)lim
; (4)lim
;
1
54
n
n n x x n n
x x x x x x x →∞
→∞
→→++++-?
?
+++ ???
-+-+--+
3
2
2
3
3
π5
4
22
(5)lim ; (6)lim 1cot (7)lim
lim
;
2cot cot (9)lim (1)(1)(1)(1);(10)n
x x x x x x x x x x x x x →+∞
→→→
→∞
----+++<
1
1
2
2
31
10
(1(1lim
;
(1)
11
3(11)lim ; (12)lim ;(1)11log (1)
1(13)lim
; (14)lim
n x x x x
a x x x x x x x x x a x
x -→→→→→-
-
-
--+??
- ?---??
+- 3
sin 0
;sin (15)lim (12); (16)lim ln
.
x x x x
x x
→→+解:2
2
123(1)
(1)111(1)lim
lim
lim
.1222
n n n n n n n
n
n →∞
→∞
→∞
++++--??===- ???
14
1
2
2
1
1
1
224
4
4
11112(2)lim lim
2.
11221221(1)(3)lim
lim
lim (1)0.
11
68(2)(4)22(4)lim
lim
lim
.
54
(1)(4)
1
3n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +→∞→∞
→→→→→→??- ?
????
==+++ ???-
-+-==-=---+---===-+---
32
2
4
(5)lim lim lim
2.
(6)lim
lim
lim (1 2.
x x x x x x x x
→+∞
→+∞
→+∞
→→→===-
==-+=--
5
5
5
5(7)lim
lim lim
lim
x x x x →→→→====
=
3
33
3
ππ4
4
2
2π4
2
2π4
1cot 1cot (8)lim
lim
2cot cot (1cot )(1cot )(1cot )(1cot cot )lim
(1cot )(11cot cot )1cot cot 3lim
.
2cot cot 4
x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x x x
→
→
→
→
--=---+--++=-+++++==
++
1
22
22
2
(9)lim (1)(1)(1)(1)
(1)(1)(1)(1)
lim 111lim
.
11n
n
n x x x x x x x x x x x x
x
x
x
+→∞
→∞
→∞
+++<-+++=--==
--
15
1
1
11
1
(1(1(10)lim
(1)
lim
lim
1
1.
234!n x n x x x n
n -→-→→--
-
-===
=
????
22
2231112
2
1
1
1321
3(11)lim lim lim (1)(1)(1)(1)11(1)(2)(2)lim
lim
1.
(1)(1)
1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
→→→→→++-+-??==- ?-++-++--??-+-+===--++++
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
lim (1)(1)
(12)lim
1lim (1)
1lim
.
(1)
x x x x x x x x x x x x x →→→→--=
=-+-+-+∴=∞-
1
log (1)
(13)log (1)a x a x x x
+=+
而1
lim (1).x x x e →+= 而1lim log log ln a a u e
u e a
→==
log (1)
1lim
.ln a x x x
a
→+∴=
(14)令1,x
u a =-则log (1),a x u =+当0x →时,0u →.
所以0
11lim
lim
ln log (1)
log (1)
lim
x
x u a a u a u a u x
u u
→→→-===++(利用(13)题的结果).
1
1
22000
3
3
6ln(12)
ln(12)
sin sin 2sin 0
lim 6ln(12)6lim
lim ln (12
)sin sin
61ln e
6
(15)lim (12)lim e lim e e e
e
e .
x
x
x x x x
x x x x
x x
x x x x x x x x
x
x →→→++→→→?
?+??+??+======
(16)令sin x u x
=
, 则0
sin lim lim
1x x x u x
→→==
16
而1
lim ln 0u u →= 所以0
sin lim ln
0.x x x
→=
27. 利用重要极限1
lim (1)e u u u →+=,求下列极限:
2
2
21
2
3
2cot 0
1
13(1)lim ;(2)lim ;
12(3)lim (13tan )
;(4)lim (cos 2);
1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim
.
ln x
x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
+→∞→∞
→→→∞
→+????
+ ? ?-????
+-+-
解:11
1
2222111(1)lim lim e 1lim 11x
x
x
x x x x x x →∞→∞
→∞??????????====
+++ ????? ? ??????
?????
10
2
21
21
5
53555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞
→∞
→∞??+??
?
??
???==?++?? ? ? ?
+ ?---??
?
??
???-????10
2
5
510510
55lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞????????=?=?=+?? ?+??
?-?
?????-????
2
223
3
1
1
2cot 323tan 23tan 0
00(3)lim (13tan )
lim e .lim (13tan )(13tan )x
x x x x x x x x →→→????+===+??+??????
[][]
[]
cos 21
1cos 2122
2
1
cos 21
2
1
cos 21
2
2
2
03
3
3
ln ln cos 21(cos 21)0
3(cos 21)
ln 1(cos 21)0cos 21
3lim
lim ln 1(cos 21)2sin 3lim
ln lim (4)lim (cos 2)
lim e
lim e
lim e
e e x x x x x x x x x
x x x
x
x x x x x x
x x x x
x
x
x ----→→→→????
??+-????
→→→-+-→-?+--?=====[]1cos 212
2
01(cos 21)sin 6ln e
lim 611
6
e
e
e .
x x x x x -→????
?
?+-???
?
?
?-?? ?-??-??
===
22222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln
lim 2ln 12
222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.
x
x x x x
x
x x x x x x x x
x x x →∞
→∞
→∞
→∞
→∞+?
?+-=?
?=+ ??
???????==?+ ? ?+ ? ????
???==
(6)令1x t =+,则当1x →时,0t →.
17
1
1
1
011
1
1lim
lim
1.ln ln(1)
ln e
ln lim ln(1)lim (1)x t t
t
t t x t x
t t t →→→→-=-=-
=-
=-
=-+??++????
28. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限:
()1
100
2(1)lim ;(2)lim ;e 3111(3)lim ;(4)lim .
sin cos 1x x x
x
x
x
x x x x
x x a b c x x x x →→→∞→∞
??+++ ??????
?++ ? ????
?
解:(1)令1
(e )x x y x =+,则1ln ln(e )x
y x x
=+
于是:
()0000ln e ln 111e lim ln lim ln lim ln e lim 1e e x
x x x x x x x x x x y x x x x →→→→??++ ?
?
???===++ ??
? e
000
1e 1lim 1lim lim ln 1ln 11e e e e 11ln e 2
x
x
x
x x x x x x x x x x →→→?????
?==+?+?++ ? ?????????=+?=
即()0lim ln 2x y →= 即2
lim e x y →= 即()1
20lim e e x
x x x →=+. (2)令1
3x x x
x
a b c y ??++= ?
??
,则1ln ln 3x x x
a b c y x ++= 于是
3
3
3
303
3
001lim (ln )lim
ln
3
1
3lim ln 133
3lim
lim ln 1331111lim ln lim 13x x x
x x x x
x x
x x x
x x a b c x x x a b c x x x x
x x x
a
b c x x x
x
x
x x x x x a b c
y x a b c x a b c a b c x
a b c a b c x x x →→++-++-→++-→→→→++=????++-=??+ ???????
++-??++-=?+ ???
??---++=?++ ?+?
?3
3331(ln ln ln )ln e ln
3
x x x a b c a b c ++-????-?? ???????
=
++?=
18
即0
lim (ln )ln
x y →= 即(
)
lim ln ln
x y →=
故0
lim x y →=
即
1
l i m 3x x
x x
x a b c →??
++= ???
.
(3)令11sin cos x
y x x ??=+ ???,则11ln ln sin cos
y x x x ?
?
=+ ??
?
于是
11sin cos 11
11sin cos 11
11sin cos 1
11lim ln lim ln 1sin cos 11111lim ln 1sin cos 1sin cos 111sin 1cos lim ln lim 11x x x x
x x x x
x x y x x x x x x x x x x x x ?
?+- ?
?
?+-→∞→∞+-→∞
→∞????????=??++- ??
?????????
????
??=?++-+- ? ???
?????
???- ?=-? ? ?
??
1
11sin cos 1111sin cos 1x x
x x x +-→∞??????????++- ???????????
2
111
sin 2ln e (10)ln e 1lim lim 11x x x x x x →∞→∞???? ?
???=?=-?= ?- ?
?
??
即lim ln 1x y →∞
= 从而()lim ln 1x y →∞
= 故lim e x y →∞
= 即 11lim e sin cos x
x x x →∞
?
?=+ ??
?.
(4)令211x
y x ??=+ ???,则21ln ln 1y x x ?
?=+ ??
?
于是:
2
2
2
2
1
222211lim (ln )lim ln lim ln 111
1
11lim
ln lim
lim ln 110ln e 0
x x x x x x
x
x x x y x x x x x x x x →∞→∞
→∞→∞
→∞
→∞??
?
???==+??
?+ ??
??
????
??
?==?++ ? ???
??
=?=
即 ()l i m
l i m (l n )0,l n 0
x x y y →∞
→∞
==
19
lim 1x y →∞∴= 即21lim 11x
x x →∞
?
?=+ ??
?. 29. 当0x →时,22x x -与23x x -相比,哪个是高阶无穷小量?
解:2
32
2
lim
lim
022x x x x x x
x x
x
→→--==--
∴当0x →时,23x x -是比22x x -高阶的无穷小量.
30. 当1x →时,无穷小量1x -与22
1(1)1,(2)
(1)2
x x --是否同阶?是否等价?
解:2
1
1
111(1)lim
lim
112
x x x x
x
→→-==
-+
∴当1x →时,1x -是与21x -同阶的无穷小.
2
1
1
1
(1)12
(2)lim lim
112
x x x x x
→→-+==-
∴当1x →时,1x -是与
2
1
(1)2
x -等价的无穷小.
31. 利用0
sin lim
1x x x
→=或等价无穷小量求下列极限:
2
sin (1)lim
;(2)lim cot ;
sin 1cos 2(3)lim
;(4)lim
sin arctan 3(5)lim
;(6)lim 2sin
;
2
x x x x x n
n
x n m x x x nx
x x x x
x x
→→→→→→∞
-
2
2
10
2
3
2
2
41arctan (7)lim
;(8)lim
;
arcsin(12)sin
arcsin 2
tan sin cos cos (9)lim
;(10)lim
;
sin 1cos 4(11)lim
(12)lim
ln(1)2sin t x x x x x x x x x x x
x x x x
x x
x x x x αβ→→
→→→→------+ 2
2
2
20
;
an ln cos ln(sin e )(13)lim
;(14)lim
.
ln cos ln(e
)2x
x
x x x
ax x x bx
x x
→→+-+- 解:(1)因为当0x →时,sin ~,sin ~,mx mx nx nx
20
所以0
sin lim
lim
.sin x x m x m x m nx
nx
n
→→==
2
lim cos cos (2)lim cot lim
cos lim
1.
sin sin sin lim 1cos 22sin sin (3)lim
lim
2lim
2.
sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x
x x x x x
x x
x
→→→→→→→→=?==
=-===
(4)因为当0x →
时,222
1ln(1e sin )~e sin 1~
2
x x x x x +,所以
2
2
2
00
2
e sin sin lim
lim
lim 2e lim 2.12x
x x
x x x x x x x x
→→→→??
==?= ???
(5)因为当0x →时,arctan 3~3,x x 所以
00
arctan 33lim
lim
3x x x
x x
x →→==.
sin
sin
2
2
(6)lim 2sin
lim lim
.2
2
2
n
n
n
n
n n n n n x x x x x x x x →∞
→∞
→∞
=?
==
(7)因为当12
x →
时,arcsin(12)~12x x --,所以
2
2
11112
2
2
2
4141(21)(21)
lim
lim
lim
lim (21) 2.arcsin(12)
1212x x x x x x x x x x x
x
→
→
→
→
---+===-+=----
(8)因为当0x →时,22
arctan ~,sin
~,arcsin ~,22
x x x x x x 所以
2
2
arctan lim
lim
2sin
arcsin 2
2
x x x x x x x
x
→→==?.
(9)因为当0x →时,233
1sin ~,1cos ~,sin ~2
x x x x x x -,所以
2
3
3
3
1
tan sin sin (1cos )2
lim
lim
lim
sin sin cos cos 11lim
.
2cos 2x x x x x x
x x x x x
x x x x x
→→→→?
--==?==
(10)因为当0x →时,sin
~
,sin
~
2
2
2
2
x x x x αβ
αβ
αβ
αβ
++--,所以
21 22
002022
2sin sin cos cos 22lim lim 222lim 1().
2x x x x x
x x x x x x
x αβ
αβ
αβαβαβ
βα→→→
+---=+--??==- (11)因为当0x →
时,arcsin ~ln(1)~,x x --所以
000lim lim lim 1.ln(1)x x x x x →→→==-=--- (12)因为当0x →时,sin ~,sin 2~2,x x x x 所以
2
2222002
222
0020
1cos 42sin
2lim lim 2sin tan sin (2sec )
2(2)8
lim lim (2sec )2sec 8
4.
lim (2sec )x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x →→→→→-=++?==++==+ (13)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时,cos 10,cos 10ax bx -→-→
故 l n [1(c o s 1)]~c o s 1,l n [1(c o s 1)]a x a x b x b x +--+-- 又当x →0进,2222
111cos ~,1cos ~,22ax a x bx b x --所以
2222000022
1
ln cos cos 11cos 2
lim lim lim lim .
1ln cos cos 11cos 2x x x x a x ax ax ax a
bx bx bx b b x →→→→--====-- (14)因为当0x →时,22
2sin 0,0e e x x x
x →→
故 2
2
2222sin sin ln ~,ln ~,11e e e e x x
x x x x x x ????++ ? ????? 所以
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