广东省阳春市第一中学2018届高三第九次月考数学（理）试题

阳春一中2018届高三级月考(9)

理科数学

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A?{x|(x?4)(1?x)?0}，B?{y|y?1?x}，则A?B?( ) A．(??,1] B．[0,1] C．[?4,??) D．(??,?4]?[0,??)

2i20182. 复数z?在复平面内的对应点关于虚轴对称的点的坐标为( )

1?iA．(1,1) B．(?1,?1) C．(?1,1) D．(1,?1) 3. “不等式x?x?m?0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A．m?21 B．0?m?1 C．m?0 D．m?1 44. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题:“今有勾五步股一十二步，问勾中容圆.径几何?其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点则此点取自内切圆内的概率是( ) A．

?22?4? B． C. D． 15515155. 已知定义在[2?m,2m?6]上的偶函数f(x)在[2?m,0]上单调递减则函数f(x)的解析式不可能 为( )

A．f(x)?x2?m B．f(x)??m|x| C. f(x)?xm D．f(x)?1ogm(|x|?1)

y2x26. 已知双曲线?:2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线与直线3x?2y?1?0垂直，则双

ab曲线的离心率为( ) A．1351313 B． C. D．

423227. 若(x?x?)(1?1x1n11n)的展开式的各项的系数和为32，则(x2?x?)(1?)的展开

xxx式的常数项为( )

A．?5 B．?15 C. 5 D．15 8. 下图给出的是计算1?111????的程序框图，判断框和处理框应分别填的是( ) 3599

A．i?101,i?i?2 C. i?99,i?i?1

B．i?98,i?i?1 D．i?99,i?i?2

9. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy最大值为( )

A．32 B．327 C. 64 D．647 10. 将函数f(x)?sin4x?23sin2x?3的图象向右平移的图象，则函数g(x)的图象的对称中心是( )

2?个单位长度，得到函数g(x)6k?5??,0),k?Z 224k???,0),k?Z C. (412A．(k?5??,0),k?Z 424k???,0),k?Z D．(212B．(11. 已知点P在棱长为1的正方体ABCD?A1BC11D1的体对角AC1线上运动，当异面直线

BP与AD1所成的角取得最小值时，A1P的长度为( )

A．0 B．

32322 C. D． 33312. 已知函数f(x)(x?R)的导函数为f?(x)，若2f(x)?f?(x)?2，且f(0)?8，则不等式f(x)?7e?2x?1的解集为( )

A．(??,0) B．(0,??) C. (??,?1)?(0,??) D．(1,??) 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 命题“?x?R,?n?N，使得n?x”的否定形式是 ．

2?y?x?1?x?21?14. 已知x,y满足不等式组?y??x?4，则z?的取值范围为 ．

y2???x?115. 已知抛物线?以原点O为顶点，以x轴为对称轴，且?与圆C:x2?y2?4y?0相交于两点若这两点间的距离为3，则?的焦点到其准线的距离为 ．

????1????2????16. 已知在?ABC中， O为其外心，且满足AO?AB?AC，则cos?BAC的值

55为 ．

三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分. 17. 已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与

2(1)求证:数列{Sn}为等差数列；

1的等差中项. an(?1)n(2)设bn?，求{bn}的前n项和Tn.

an18. 已知四棱锥P?ABCD，底面ABCD为菱形， PD?PB，H为PC上的点，过A的平面分别交PB,PD于点M,N，且BD∥平面AMHN

(1)证明: MN?PC

(2)当H为PC的中点， PA?PC?3AB，PA与平面ABCD所成的角为60， 求二面角P?AM?N的余弦值.

19. 某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A,B,C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率)： 工种类别 赔付频率 ?A B C 1 1052 1051 104已知A,B,C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元. (1)求保险公司在该业务所获得利润的期望值： (2)现有如下两个方案供企业远择:

方案1:企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；

方案2:企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支. 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.

x2y220. 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1(?c,0)和F2(c,0)椭圆交y轴

ab正半轴于S,S?OSF2?13，离心率e?，直线l交椭圆于D,E两点，当直线l过点F2时，

22?F1DE的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线t经过点P(1,0)，且与椭圆C有两个交点A,B，是否存在直线l0:x?x0(其中

x0?2)使得A,B到l0的距离dA,dB满足。

在，请说明理由.

dA|PA|恒成立?若存在，求出x0的值，若不存?dB|PB|21. 已知函数f(x)?axe2?x?2(x?1)2,a?R， (1)当a??4时，讨论函数f(x)的单调性：

(2)当0?a?1时，求证:函数f(x)有两个不相等的零点x1,x2，且x1?x2?2. 22.选修4-4：坐标系与参数方程

??x?2?22cos?在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为? (?为参数).

??y??2?22sin?以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立直角坐标系. (1)求曲线C的极坐标方程； (2)过点P(2,0)作倾斜角为标.

23.选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?|x?p|.

(1)当p?2时，解不等式f(x)?4?|x?1|； (2)若f(x)?1的解集为(??,0]?[2,??)，

?的直线l与曲线C交于A,B两点，求|AB|和AB的中点M坐412??p(m?0,n?1)，求证: mn?1m?2n?11.

阳春一中2018届高三级月考(9)参考答案

理科数学

一、选择题

1-6: CDCCBC 6-12: ADCCDB 二、填空题

213. ?x?R,?n?N，使得n?x 14. [,] 15. 6372277 5616.

6 4三、解答题

17. 解:(1)由题意得2Sn?an?12，即2Snan?an?1 an当n?2时，有an?Sn?Sn?1，代入上式得2Sn(Sn?Sn?1)?(Sn?Sn?1)2?1

22整理得Sn?Sn?1?1(n?2).

2又当n?1时， 2S1a1?a1?1解得S1?1； 2?数列{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列. 2 (2)由(1)可得Sn?1?n?1?n，

?数列是各项都为正数，?Sn?n，

?当n?2时，an?Sn?Sn?1?n?n?1又a1?S1?1满足上式，

?an?n?n?1. (?1)n(?1)nbn???(?1)n(n?n?1)

ann?n?1当n为奇数时，

Tn??(1?0)?(2?1)?(3?2)???(n?1?n?2)?(n?n?1)??n 当n为偶数时，

Tn??(1?0)?(2?1)?(3?2)???(n?1?n?2)?(n?n?1)?n ?数列{bn}的前n项和Tn?(?1)nn 18. (1)证明:连结AC交BD于点O，连结PO

因为ABCD为菱形，所以BD?AC，且O为AC、BD的中点 因为PD?PB，所以PO?BD

因为AC?PO?O，且AC,PO?平面PAC，所以BD?平面PAC 因为PC?平面PAC，所以BD?PC

因为BD∥平面AMHN且平面AMHN?平面PBD?MN， 所以BD∥MN，所以MN?PC

(2)由(1)知BD?AC且PO?BD，因为PA?PC，且O为AC的中点，所以PO?AC， 所以PO?平面ABCD，所以PA与平面ABCD所成的角为?PAO，所以?PAO?60，

?所以AO?133PA，PO?PA，因为PA?3AB，所以BO?PA. 226????????????以OA,OB,OP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，记PA?2，所以

O(0,0,0)，A(1,0,0),B(0,3313,0)，C(?1,0,0),D(0,?，0)，P(0,0,3)，H(?,0,) 3322????????????????23333,0)，AH?(?,0,)，AB?(?1,,0)，AP?(?1,0,3) 所以DB?(0,3223?23??????y?0?????n1?DB?0?31记平面AMHN的法向量为n1?(x1,y1,z1)，所以???????，即?，

???3x?3z?0?n1?AN?011??22??令x1?1，解得y1?0，z1?3，所以n1?(1,0,3)，

????????3????n?AB?0y2?0??x2??2记平面PAB的法向量为n2?(x2,y2,z2)，所以???，即?， 3????????x?3z?0?n2?AP?0?22???33) 令x2?1，解得y2?3，z2?，所以n2?(1,3,33??????????n?n239?|?记二面角P?AM?N的大小为?所以cos??|cos?n1,n2?|?|??1?? 13|n1|?|n2|所以二面角P?AM?N的余弦值为

39. 1319. 解:(1)设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则

X、Y、Z的分布列为

保险公司的期望收益为:

E(X)?25?(1?114(25?100?10)??15 )?10510522E(Y)?25?(1?5)?(25?100?104)?5?5

101011E(Z)?40?(1?4)?(40?50?104)?4??10

1010保险公司的利润的期望值为:

12000?E(X)?6000?E(Y)?2000?E(Z)?100000?90000

保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元.

(2)方案1:企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为:

12000?100?104?124?2000?50?104??6000?100?10?5510101?12?104?46?104； 410方案2:企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：

(12000?25?6000?25?2000?40)?0.7?37.1?104，

因为46?10?37.1?10，故建议企业选择方案2. 20. 解:(1) ?当直线l过点F2时， ?F1DE的周长为

44|F1D|?|F1E|?|DE|=|F1D|?|F2D|+|F1E|?|F2E|?4a?8，?a?2

由S?OSF2?223，可知bc?3 22又?a?b?c，离心率e?1?c?3，b?a2?c2?1 2x2?椭圆C的标准方程为?y2?1

4 (2)存在x0?4符合题意，理由如下:

当直线t的斜率存在时，设直线t的方程为y?k(x?1)，设A(x1,y1),B(x2,y2) 联立??y?k(x?1)22?x?4y?4，得(4k2?1)x2?8k2x?4k?4?0

2??(?8k2)2?4(4k2?1)(4k2?4)?0

8k24k2?4?x1?x2?2，x1x2? 24k?14k?1不防设x1?1?x2，?x0?2

?dA|PB|?dB|PA|?1?k2[|x0?x1||x2?1|?|x0?x2||x1?1|]

?1?k2[2x0?(x0?1)(x1?x2)?2x1x2]?0，

8(x0?1)k28(k2?1)?2x0???0

4k2?14k2?1整理得2x0?8?0，即x0?4满足条件 当直线t的斜率不存在时，显然x0?4满足条件 综上，x0?4时符合题意

21.解:(1)当a??4时，f(x)??4xe2?t?2(x?1)2，f?(x)?4(x?1)(e2?t?1)，

令f?(x)?0，得x?1或x?2. 当x?1时，x?1?0，e2?t?1?0，所以f?(x)?0，故f(x)在(??,1)上单调递减；

2?t当1?x?2时，x?1?0， e?1?0，所以f?(x)?0，故f(x)在(1,2)上单调递增；

当x?2时x?1?0e2?t?1?0，所以f?(x)?0，故f(x)在(2,??)上单调递减；

所以f(x)在(??,1)，(2,??)上单调递减，在(1,2)上单调递增. (2)证明:由题意得f?(x)?(1?x)(ae2?t?4)，其中0?a?1， 由f?(x)?0得x?1，由f?(x)?0得x?1，

所以f(x)在(??,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减.

?f(1)?ae?0，f(0)??2?0，f(2)?2a?2?2(a?1)?0，

?函数f(x)有两个不同的零点，且一个在(0,1)内，另一个在(1,2)内.

不妨设x1?(0,1),x2?(1,2)，要证x1?x2?2，即证x1?2?x2， 因为0?2?x2?x1?1，且f(x)在(0,1)上是增函数， 所以f(x1)?f(2?x2)，且f(x1)?0，即证f(2?x2)?0.

x2??f(2?x)?a(2?x)e2?2(x2?1)由?， 2?x22?2(x2?1)?0??f(x2)?ax2e得f(2?x2)?a[(2?x2)e2?x2e令g(x)?(2?x2)ex?xe2?xx2?x2]

,x?(1,2)，

e2?e2x则g?(x)?(x?1).

ex?1?x?2，?x?1?0，e2?e2x?0，

?x?(1,2)时，g?(x)?0，即g(x)在(1,2)上单调递减， ?g(x)?g(1)?0，且?f(2?x2)?ag(x)，0?a?1， ?f(2?x)?0，即?f(2?x2)?0，故x1?x2?2得证.

??x?2?22cos?22.解:(1)由?得x2?y2?4x?4y?0，

??y??2?22sin???p2?4pcos??4psin?即: p?42cos(??)

4?圆C的极坐标方程为p?42cos(??).

4?2t?x?2??2 (为参数)

(2)直线L1的参数方程为?t?y?2t??2设A,B两点对应的参数分别为t1，t2，

?2t?x?2??2 (为参数)和圆的方程联立得: t2?22t?4?0.

直线l: ?t?y?2t??2所以，t1?t2??22，t1t2??4，tM?所以，|AB|?|PA|?|PB|?|t1?t2|?t1?t2??2 2(t1?t2)2?4t1t2?26 xM?2?22?(?2)?1，yM??(?2)??1 22所以M的坐标为(1,?1)

23.解:(I)当p?2时，不等式化为|x?2|?|x?1|?4

?2x?3,x?2?因为|x?2|?|x?1|??1,1?x?2

?3?2x,x?1?所以不等式的解集为(??,?]?[,??)

(2)根据f(x)?1得|x?p|?1?x?p?1?p?1

1272?p?1?012?1， 因为f(x)?1的解集为(??,0]?[2,??)故??p?1，所以?mn?1p?1?2??m?0,n?0

?m?2(n?1)?[m?2(n?1)](122m2(n?1)?)?2???9， mn?1n?1m当且仅当m?3,n?4时取等号，所以m?2n?11.

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