苏州市高新区2015届中考数学二模试卷含答案解析

2015年江苏省苏州市高新区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案写在答题卡相对应的位置上．） 1．计算A．±3

2．下列计算正确的是（ ） A．（a7）2=a9

3． 从2名男生和3名女生中随机抽取1名2015年苏州世乒赛志愿者，恰好抽到女生的概率是（ ）A．

4．某学校组织学生进行社会主义核心价值观的知识竞赛，进入决赛的共有20名学生，他们的决赛成绩如下表所示： 决赛成绩/分 人数 95 4 90 6 85 8 80 2 B．

C．

D．

B．x3?x3=x9 C．x6÷x3=x3 D．2y2﹣6y2=﹣4 的结果是（ ） B．3

C．3

D．

那么20名学生决赛成绩的众数和中位数分别是（ ） A．85，90

5．一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（ ） A．七边形 6．已知

是方程组

C．3

D．4

的解，则a+b的值是（ ）

B．六边形

C．五边形

D．四边形

B．85，87.5 C．90，85

D．95，90

A．﹣1 B．2

7．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）

第1页（共32页）

A．20πcm2 B．20cm2

C．40πcm2 D．40cm2

8．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线AC的长是（ ）

A．1

B． C．2 D．2

9．在直角坐标系中，一直线a向下平移3个单位后所得直线b经过点A（0，3），将直线b绕点A顺时针旋转75°后所得直线经过点B（﹣A．y=﹣x

10．如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接AE，则sin∠AED=（ ）

，0），则直线a的函数关系式为（ ）

x+6

B．y=﹣x+6 C．y=﹣x+3 D．y=﹣

A．

B． C． D．

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相对应的位置上 11．

12．函数y=

13．2014年的一份调查报告显示，苏州城市人口（常驻人口加流动人口）跨入千万行列，达到10460000人，数字10460000用科学记数法表示为 ．

第2页（共32页）

的相反数是 ．

中，自变量x的取值范围是 ．

14．某校规定：学生的数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分，90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是 分．

15．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是 °．

16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，O（0，0），A（1，﹣2），B（3，1），反比例函数y=的图象过C点，则k的值为 ．

17．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，点G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E．若BC=6cm，则GE= cm．

第3页（共32页）

18．如图，已知点D是Rt△ABC的斜边BC上的一点，tanB=，BC=（k+1）BD，CE⊥AD，则= （用含k的代数式表示）．

三、解答题：本大题共11小题，共76分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 19．计算：

20．解不等式组

21．先化简，再求值：（

22．解方程：

23．已知矩形ABCD，现将矩形沿对角线BD折叠，得到如图所示的图形． （1）求证：△ABE≌△C′DE； （2）若∠ABE=28°，求∠BDC′的度数．

． +

）÷

，其中x=

﹣1．

．

+（π﹣

）0﹣|﹣2|+（）﹣1．

第4页（共32页）

24．如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向． （1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由； （2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°≈0.75）

25．小明、小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a层出电梯，乙在b层出电梯． （1）小明想求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；

（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？若公平，说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平．

26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+n与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y=在第一象限内交于点C（1，m）． （1）求m和n的值；

（2）过x轴上的点D（a，0）作平行于x轴的直线l（a＞1），分别与直线AB和双曲线y=交于点P、Q，且PQ=2QD，求△APQ的面积．

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27．如图，⊙O的半径为10，点C为

的中点，过点C作弦CD∥OA，交OB于E．

（1）当∠D=44°时，∠AOB= °； （2）若已知AB=16，求弦CD的长；

（3）当AB的长为多少时，△OED为直角三角形？请写出解答过程．

28．如图所示，在△ABC中，BC=40，AB=50，AC=30，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以7个单位长度/秒的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以4个单位长度/秒的速度匀速运动，过Q点作射线QKWAB，交折线BC﹣CA于点G．点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）△ABC的形状是 （直接填写结论）；

（2）当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；

（3）射线QK能否把四边形CDEF分成周长相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

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29．如图，已知抛物线y=x2+（b+1）x+与x轴交于点A、B（点A位于点B的右侧），与y轴负半轴交于点C，顶点为D．

（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；（用含b的代数式表示） （2）当△ABD时等腰直角三角形时

①在抛物线上找一点P，使得∠PAO=∠OAC，求出符合条件的P点坐标；

②若点Q（x，y）是x轴下方的抛物线上一点，记△QCA的面积为S，试确定使得S的值为整数的Q点的个数．

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2015年江苏省苏州市高新区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案写在答题卡相对应的位置上．） 1．计算A．±3

的结果是（ ） B．3

C．3

D．

【考点】立方根． 【专题】计算题．

【分析】原式利用立方根定义计算即可得到结果． 【解答】解：故选B

【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．

2．下列计算正确的是（ ） A．（a7）2=a9

B．x3?x3=x9 C．x6÷x3=x3 D．2y2﹣6y2=﹣4 =

=3，

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据幂的乘方，可判断A，根据同底数幂的乘法，可判断B，根据同底数幂的除法，可判断C，根据合并同类项，可判断D．

【解答】解：A、底数不变指数相乘，故A错误； B、底数不变指数相加，故B错误； C、底数不变指数相减，故C正确； D、系数相加字母部分不变，故D错误； 故选：C．

【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．

3． 从2名男生和3名女生中随机抽取1名2015年苏州世乒赛志愿者，恰好抽到女生的概率是（ ）

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A． B． C． D．

【考点】概率公式．

【分析】根据女生人数除以学生总数即为所求概率，即可得出答案． 【解答】解：∵2名男生和3名女生， ∴抽取1名，恰好是女生的概率为． 故选：B．

【点评】此题主要考查了求概率问题；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．

4．某学校组织学生进行社会主义核心价值观的知识竞赛，进入决赛的共有20名学生，他们的决赛成绩如下表所示： 决赛成绩/分 人数 95 4 90 6 85 8 80 2 那么20名学生决赛成绩的众数和中位数分别是（ ） A．85，90

B．85，87.5 C．90，85

D．95，90

【考点】众数；中位数．

【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数． 【解答】解：85分的有8人，人数最多，故众数为85分； 处于中间位置的数为第10、11两个数， 为85分，90分，中位数为87.5分． 故选B．

【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

5．一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（ ） A．七边形

B．六边形

C．五边形

D．四边形

【考点】多边形内角与外角．

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【分析】首先求得外角的度数，然后利用360除以外角的度数即可求解． 【解答】解：外角的度数是：180﹣108=72°， 则这个多边形的边数是：360÷72=5． 故选C．

【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理 6．已知

是方程组

C．3

D．4

的解，则a+b的值是（ ）

A．﹣1 B．2

【考点】二元一次方程的解． 【专题】计算题．

【分析】把x与y的值代入方程组求出a+b的值即可． 【解答】解：把

代入方程组得：

，

①+②得：3（a+b）=6， 则a+b=2， 故选B

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

7．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A．20πcm2 B．20cm2 【考点】圆锥的计算． 【专题】计算题．

【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：圆锥的侧面积=2π×4×5÷2=20π． 故选：A．

【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．

第10页（共32页）

C．40πcm2 D．40cm2

8．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线AC的长是（ ）

A．1 B． C．2 D．2

【考点】菱形的性质． 【专题】计算题．

【分析】连结AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC，AD=AB=2，则可判断△ADB为等边三角形，根据等边三角形的性质得OA=【解答】解：连结AC交BD于O，如图， ∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC，AD=AB=2， 而∠DAB=60°，

∴△ADB为等边三角形， ∴OA=

AB=

， ．

AB=

，所以AC=2OA=2

．

∴AC=2OA=2故选D．

【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了等边三角形的判定与性质．

9．在直角坐标系中，一直线a向下平移3个单位后所得直线b经过点A（0，3），将直线b绕点A顺时针旋转75°后所得直线经过点B（﹣A．y=﹣x

，0），则直线a的函数关系式为（ ）

x+6

B．y=﹣x+6 C．y=﹣x+3 D．y=﹣

【考点】一次函数图象与几何变换．

第11页（共32页）

【分析】根据题意画出图象，进而利用旋转的性质得出C点坐标，进而得出其解析式，再求出平移前的解式即可．

【解答】解：如图所示：由题意可得：∠BAC=75°， ∵A（0，3），B（﹣，0），

∴BO=

，AO=3，

∴tan∠BAO=，

则∠BAO=30°， ∴∠OAC=45°，

则AO=CO=3，故C（3，0）， ∴设直线b的解析式为：y=kx+3， 则0=3k+3， 解得：k=﹣1，

则直线b的解析式为：y=﹣x+3，

∵一直线a向下平移3个单位后所得直线b， ∴直线a的函数关系式为：y=﹣x+6． 故选：B．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，解决本题的关键是得到直线b的解析式．

10．如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接AE，则sin∠AED=（

第12页（共32页）

）

A． B． C． D．

【考点】勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质；锐角三角函数的定义．

【分析】过A点作AG⊥ED，根据等腰直角三角形的性质得出AG和EG的长度，再根据勾股定理得出AE的长度，最后利用三角函数解答即可． 【解答】解：过A点作AG⊥ED，如图：

设正方形ABCD的边长为a， ∵等腰直角△CDE，DE=CE， ∴DE=

a，∠CDE=45°，

∴△AGD也是等腰直角三角形， ∴AG=GD=∴AE=∴sin∠AED=故选C．

【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得出边的长度，利用三角函数计算．

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相对应的位置上 11．

的相反数是 ．

=a，

=，

a，

【考点】相反数．

【分析】由a的相反数是﹣a，可知求一个数的相反数只需在它的前面添上负号． 【解答】解：

的相反数是﹣（

）=．

第13页（共32页）

【点评】要掌握相反数的概念．相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．

12．函数y=

中，自变量x的取值范围是 x≤3 ．

【考点】函数自变量的取值范围． 【专题】计算题．

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，3﹣x≥0， 解得x≤3． 故答案为：x≤3．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

13．2014年的一份调查报告显示，苏州城市人口（常驻人口加流动人口）跨入千万行列，达到10460000人，数字10460000用科学记数法表示为 1.046×107 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将10460000用科学记数法表示为1.046×107． 故答案为：1.046×107．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

14．某校规定：学生的数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分，90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是 88 分． 【考点】加权平均数．

第14页（共32页）

【分析】按3：3：4的比例算出本学期数学学期综合成绩即可．

【解答】解：本学期数学学期综合成绩=90×30%+90×30%+85×40%=88（分）． 故答案为：88．

【点评】本题考查了加权成绩的计算，平时成绩：期中考试成绩：期末考试成绩=3：3：4的含义就是分别占总数的30%、30%、40%．

15．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是 35 °．

【考点】切线的性质；圆周角定理． 【专题】几何图形问题．

【分析】首先连接OC，由BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°，可求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得答案． 【解答】解：连接OC，

∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线， ∴OC⊥CD，OB⊥BD， ∴∠OCD=∠OBD=90°， ∵∠BDC=110°，

∴∠BOC=360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD=70°， ∴∠A=∠BOC=35°． 故答案为：35．

第15页（共32页）

【点评】此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，O（0，0），A（1，﹣2），B（3，1），反比例函数y=的图象过C点，则k的值为 6 ．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．

【分析】设C（x，y），再由平行四边形的对角线互相平分即可得出结论． 【解答】解：设C（x，y），

∵O（0，0），A（1，﹣2），B（3，1）， ∴=

， =

，解得x=2，y=3，

∴C（2，3）， ∴k=2×3=6． 故答案为：6．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

17．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，点G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E．若BC=6cm，则GE= 2 cm．

【考点】三角形的重心；直角三角形斜边上的中线．

第16页（共32页）

【分析】根据在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半得到AB=2BC=12cm，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半CD=AB=6cm，根据重心的性质得到CG=CD=4cm，根据30°所对的直角边是斜边的一半得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠A=30°， ∴AB=2BC=12cm，

在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点， ∴CD=AB=6cm，

∵点G是Rt△ABC的重心， ∴CG=CD=4cm，

∵CD=AD，∴∠DCA=∠A=30°， ∴GE=CG=2cm， 故答案为：2．

【点评】本题考查的是三角形的重心的性质和直角三角形的性质，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键，注意在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半．

18．如图，已知点D是Rt△ABC的斜边BC上的一点，tanB=，BC=（k+1）BD，CE⊥AD，则= （用含k的代数式表示）．

【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】根据题意结合平行线的性质得出tan∠ACE=tan∠DAF=

=

=

=，进而利用锐角三角函数关系得出

，进而得出答案．

【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F， ∵∠CAB=90°，DF⊥AB，

第17页（共32页）

∴AC∥DF， ∴

=

，

∵BC=（k+1）BD， ∴

=

=，

∴AF=k?BF ∵tanB=， ∴

=，

∴DF=FB，

∴===，

∵CE⊥AD， ∴tan∠ACE=

，

∵∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE+∠DAB=90°， ∴∠ACE=∠DAF， ∴tan∠ACE=tan∠DAF=故答案为：

．

=

=

．

【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及锐角三角函数关系等知识，正确得出tan∠ACE=tan∠DAF=

三、解答题：本大题共11小题，共76分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 19．计算：

+（π﹣

）0﹣|﹣2|+（）﹣1．

第18页（共32页）

=是解题关键．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 【专题】计算题．

【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=3+1﹣2+3=5．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．解不等式组

【考点】解一元一次不等式组．

【分析】本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解． 【解答】解：由①得：去括号得，x﹣3x+6≤4， 移项、合并同类项得，﹣2x≤﹣2， 化系数为1得，x≥1．

由②得：去分母得，1+2x＞3x﹣3， 移项、合并同类项得，﹣x＞﹣4， 化系数为1得，x＜4

∴原不等式组的解集为：1≤x＜4．

【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x同时＜某一个数，那么解集为x＜较小的那个数．

21．先化简，再求值：（【考点】分式的化简求值． 【专题】计算题．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．

第19页（共32页）

．

+）÷，其中x=﹣1．

【解答】解：原式=?

=?

=当x=

，

﹣1时，原式=

．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．解方程：

【考点】解分式方程． 【专题】计算题．

【分析】观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

【解答】解：方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得 x（x+1）+1=x2﹣1， 解得x=﹣2．

检验：把x=﹣2代入（x+1）（x﹣1）=3≠0． ∴原方程的解为：x=﹣2．

【点评】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

23．已知矩形ABCD，现将矩形沿对角线BD折叠，得到如图所示的图形． （1）求证：△ABE≌△C′DE； （2）若∠ABE=28°，求∠BDC′的度数．

．

第20页（共32页）

【解答】解：（1）∵OD=OC， ∴∠1=∠2，

∵AO∥CD，∠2=44°， ∴∠3=∠1=∠2=44°， ∵点C为

的中点，

∴∠3=∠BOC，∠AOB=2∠3=88°， 故答案为88°．

（2）延长CO交⊙O于F，连接DF． ∵点C为

的中点，

∴OC⊥AB，垂足为K， ∵CF是直径，

∴∠FDC=∠AKO=90°， ∵∠1=∠3， ∴△OKA∽△CDF， ∴

，

∵AO=10，AK=AB=8， ∴OK=∴

，

=6，

∴CD=12．

（3）当∠AOB=90°，由（1）可知∠3=∠BOC=∠1=45° ∴∠OEC=90°， ∴OE⊥DE， ∴△ODE是RT△， ∴AB=

=10

．

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【点评】本题考查了垂径定理、直径的性质、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，寻找相似三角形利用相似三角形性质求线段是常用的数学方法．

28．如图所示，在△ABC中，BC=40，AB=50，AC=30，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以7个单位长度/秒的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以4个单位长度/秒的速度匀速运动，过Q点作射线QKWAB，交折线BC﹣CA于点G．点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）△ABC的形状是 直角三角形 （直接填写结论）；

（2）当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；

（3）射线QK能否把四边形CDEF分成周长相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）由勾股定理可以判定）△ABC的形状是直角三角形． （2））①当点P在EF上（等，可以求出t的值； ②当点P在FC上（5≤t≤

）时，PB=PF+BF就可以得到；

）时根据△PQE∽△BCA，根据相似三角形的对应边的比相

（3）连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，由四边形CDEF为矩形，QK把矩形CDEF分为周长相等的两部分，根据△HBF∽△CBA，对应边的比相等，就可以求得t的值； 【解答】解：（1）∵在△ABC中，BC=40，AB=50，AC=30，

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∴AB2=BC2+AC2，

∴△ABC的形状是直角三角形． （2）①当点P在EF上（如图1，QB=4t，DE+EP=7t 由△PQE∽△BCA，得∴t=

．

）时，

）时，

②当点P在FC上（5≤t≤如图2，已知QB=4t，从而∴PB=5t，

由PF=7t﹣35，BF=20，得5t=7t﹣35+20． 解得t=

．

（3）射线QK能把四边形CDEF分成周长相等的两部分． 如图3，连接DF，过点P作PH⊥AB于点H， ∵D，F是AC，BC的中点，

∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形

∴QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为周长相等的两部分， 此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16． 故t=

=

=

．

【点评】本题主要运用了相似三角形性质，对应边的比相等，正确找出题目中的相似三角形是解题的关键．在本题中还要学会分类讨论的思想的应用．

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29．如图，已知抛物线y=x2+（b+1）x+与x轴交于点A、B（点A位于点B的右侧），与y轴负半轴交于点C，顶点为D．

（1）点B的坐标为 （﹣1，0） ，点C的坐标为 （0，） ；（用含b的代数式表示） （2）当△ABD时等腰直角三角形时

①在抛物线上找一点P，使得∠PAO=∠OAC，求出符合条件的P点坐标；

②若点Q（x，y）是x轴下方的抛物线上一点，记△QCA的面积为S，试确定使得S的值为整数的Q点的个数．

【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题．

【分析】（1）计算出自变量为0时的函数值即可得到C点坐标，且b＜0，再根据抛物线与x轴的交点问题，通过解x2+（b+1）x+=0即可得到B点坐标；

（2）①如图1，作DH⊥AB于H，根据等腰直角三角形的性质得DH=AB，由于AB=﹣b+1，顶

点D的纵坐标为，则﹣

=（﹣b+1），解得b1=1

（舍去），b2=﹣5，于是得到抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，A（5，0）；设PA交y轴于点E，如图1，利用∠PAO=∠OAC，OA⊥CE，则OE=OC=，所以E（，0），再利用待定系数法得到

直线AE的解析式为y=﹣x+，然后通过解方程组即可得到P点坐标；

②分类讨论：当0＜t＜5时，作GF∥y轴交AC于F，如图2，先利用待定系数得到直线AC的解析式为y=x﹣，根据二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，设Q（t， t2﹣t﹣），F（t，

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t﹣）?5=﹣t2+，则FQ=﹣t2+t，根据三角形面积公式得到S=S△FQC+S△FQA=?（﹣t2+t）t，配成顶点式得到S=﹣（t﹣）2+

，根据二次函数的性质得当t=时，S有最大值

，则当

S取整数值时，S可取1、2、3、4、5，此时对应的Q点有10个；当﹣1＜t＜0时，由于S△CBA=5，则0＜S＜5，所以当S取整数值时，S可取1、2、3、4，此时对应的Q点有4个，所以Q点的个数为14．

【解答】解：（1）当x=0时，y=x2+（b+1）x+=，则C（0，），b＜0，

当y=0时， x2+（b+1）x+=0，整理得x2+（b+1）x+b=0，解得x1=﹣1，x2=﹣b，则B（﹣1，0），A（﹣b，0），

故答案为（﹣1，0），（0，）； （2）①如图1，作DH⊥AB于H， ∵△ABD时等腰直角三角形， ∴DH=AB，

∵B（﹣1，0），A（﹣b，0）， ∴AB=﹣b+1，

∵顶点D的纵坐标为，

∴﹣=（﹣b+1），

整理得b2+4b﹣5=0，解得b1=1（舍去），b2=﹣5， ∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，A（5，0）； 设PA交y轴于点E，如图1， ∵∠PAO=∠OAC， 而OA⊥CE， ∴OE=OC=， ∴E（，0），

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设直线AE的解析式为y=mx+n，

把A（5，0），E（0，）代入得，解得，

∴直线AE的解析式为y=﹣x+，

解方程组得或，

∴满足条件的P点坐标为（﹣2，）；

②当0＜t＜5时，作GF∥y轴交AC于F，如图2， 设直线AC的解析式为y=px+q，

把A（5，0），C（0，﹣）代入得，解得，

∴直线AC的解析式为y=x﹣，

设Q（t， t2﹣t﹣），则F（t， t﹣）， ∴FQ=t﹣﹣（t2﹣t﹣）=﹣t2+t， ∴S=S△FQC+S△FQA=?（﹣t2+t）?5 =﹣t2+

t

，

，

=﹣（t﹣）2+

∴当t=时，S有最大值

∴当S取整数值时，S可取1、2、3、4、5，此时对应的Q点有10个， 当﹣1＜t＜0时，

∵S△CBA=?（5+1）?=5， ∴0＜S＜5，

∴当S取整数值时，S可取1、2、3、4，此时对应的Q点有4个， ∴Q点的个数为14．

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【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式，能通过解方程组求一次函数与二次函数的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住三角形面积公式．

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